Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số mối liên hệ giữa Iđêan đơn thức và đồ thị

VI›N H€N L…M KHOA H¯C V€ C˘NG NGH› VI›T NAM VI›N TON H¯C É TR¯NG HO€NG M¸T S¨ M¨I LI–N H› GIÚA I–AN ÌN THÙC V€ ˙ THÀ LUŠN N TI˜N Sž TON H¯C H Nºi - 2015 VI›N H€N L…M KHOA H¯C V€ C˘NG NGH› VI›T NAM VI›N TON H¯C É TR¯NG HO€NG M¸T S¨ M¨I LI–N H› GIÚA I–AN ÌN THÙC V€ ˙ THÀ Chuy¶n ng nh: ⁄i sŁ v Lþ thuy‚t sŁ M¢ sŁ: 62. 46. 01. 04 LUŠN N TI˜N Sž TON H¯C Ng÷íi h÷îng d¤n: GS.TSKH. L¶ Tu§n Hoa H Nºi - 2015 Tâm t›t Cho S = k[x1;:::;xn] l v nh a thøc n bi‚n tr¶n tr÷íng k. Cho G l ç thà ìn tr¶n t“p ¿nh fx1;:::;xng v t“p c⁄nh E(G). I¶an sinh bði c¡c ìn thøc b“c hai khæng chøa b…nh ph÷ìng li¶n k‚t vîi ç thà G nh÷ sau: I(G) = (xixjjxixj 2 E(G)) S ÷æc gåi l i¶an c⁄nh cıa G. ç thà G gåi l Cohen-Macaulay (t÷ìng øng Gorenstein) n‚u S=I(G) l Cohen-Macaulay (t÷ìng øng Gorenstein). Lu“n ¡n nghi¶n cøu t‰nh Cohen-Macaulay v Gorenstein cıa i¶an c⁄nh v c¡c lôy thła cıa nâ. ƒu ti¶n, lu“n ¡n ÷a ra mºt sŁ k‚t qu£ v• c§u tróc cıa mºt sŁ lîp ç thà. Ti‚p theo, lu“n ¡n ÷a ra °c tr÷ng cho t‰nh Cohen-Macaulay cıa i¶an c⁄nh cıa c¡c ç thà câ º vÆng lîn hìn ho°c b‹ng 5, v t‰nh Gorenstein cıa i¶an c⁄nh cıa c¡c ç thà khæng chøa tam gi¡c. Düa v o c¡c °c tr÷ng n y, lu“n ¡n ÷a ra c¡c °c tr÷ng cho t‰nh Cohen-Macaulay cıa lôy thła thø hai v b¢o hÆa cıa lôy thła thø hai cıa i¶an c⁄nh. Lu“n ¡n ÷æc chia th nh bŁn ch÷ìng. Trong Ch÷ìng 1, chóng tæi giîi thi»u mŁi quan h» giœa i¶an ìn thøc v phøc ìn h…nh; nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t cıa phøc ìn h…nh Gorenstein ” sß döng cho c¡c ch÷ìng sau; v tr…nh b y cæng thøc Takayama nh÷ l mºt cæng cö ch‰nh cıa c¡c ch÷ìng sau. Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi nghi¶n cøu c§u tróc mºt sŁ lîp ç thà: ç thà phı tŁt, lîp ç thà W2, ç thà câ ph¥n t‰ch ¿nh, lîp PC, lîp SQC. Trong Ch÷ìng 3, chóng tæi °c tr÷ng ç thà Cohen-Macaulay vîi º vÆng lîn hìn ho°c b‹ng 5 v ç thà Gorenstein khæng chøa tam gi¡c. Trong Ch÷ìng 4, chóng tæi ÷a ra mºt °c tr÷ng cho t‰nh Cohen-Macaulay cıa lôy thła t÷æng tr÷ng thø hai cıa i¶an c⁄nh v tł â thi‚t l“p c¡c °c tr÷ng thuƒn tóy tŒ hæp cho lôy thła thø hai v b¢o hÆa cıa chóng. Abstract Let S = k[x1;:::;xn] be a polynomial ring in n variables over field k. Let G be a simple graph with vertex set fx1;:::;xng and edge set E(G). The squarefree monomial ideal I(G) = (xixjjxixj 2 E(G)) S is called the edge ideal of G. We say that G is Cohen-Macaulay (resp. Gorenstein) if S=I(G) is Cohen-Macaulay (resp. Gorenstein). The aim of this thesis is to study the Cohen-Macaulay and Gorenstein properties of edge ideals and their powers. To do this, I first provide some results on the structure of some graph classes. Next, I classify all Cohen-Macaulay graphs of girth at least 5 and all triangle-free Gorenstein graphs. Using this classification, I give a characterization for Cohen-Macaulay property of the second power of edge ideals and their saturations. Líi cam oan Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr…nh nghi¶n cøu cıa tæi. C¡c k‚t qu£ vi‚t chung vîi c¡c t¡c gi£ kh¡c ¢ ÷æc sü nh§t tr‰ cıa çng t¡c gi£ ÷a v o lu“n ¡n. C¡c k‚t qu£ n¶u trong lu“n ¡n l trung thüc v ch÷a tłng ÷æc ai cæng bŁ trong b§t ký mºt cæng tr…nh n o kh¡c. T¡c gi£ Ø Trång Ho ng ... - tailieumienphi.vn