Xem mẫu
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHAN THẾ HẢI
MỘT SỐ MỞ RỘNG
CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ
VÀ VÀNH LIÊN QUAN
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số:
62460104
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học 1: GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT
Người hướng dẫn khoa học 2: TS. BÀNH ĐỨC DŨNG
HUẾ - NĂM 2016
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết riêng
hoặc viết chung với các đồng tác giả. Các kết quả nghiên cứu nêu trong
luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
PHAN THẾ HẢI
2
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người Thầy
hướng dẫn là GS.TS. Lê Văn Thuyết, Đại học Huế và TS. Bành Đức Dũng,
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh, những người Thầy rất
nghiêm khắc nhưng mẫu mực, những người luôn tận tình dạy bảo, hướng
dẫn, cổ vũ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của
mình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán và Phòng Sau đại học của Trường
Đại học Sư phạm-Đại học Huế; Ban Đào tạo Đại học Huế; Trường Cao đẳng
Sư phạm Bà Rịa-Vũng Tàu đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được học
tập, nghiên cứu và hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh của mình.
Tôi xin cảm ơn Khoa Toán, Trường Đại học công nghệ Gebze, Thổ Nhĩ
Kỳ và Khoa Đại số-Logic Toán thuộc Viện Toán-Cơ Lobachevsky, Trường
Đại học Kazan, Liên bang Nga đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được sang
thực tập, nghiên cứu trong thời gian từ 20/4/2015 đến 20/6/2015 (tại Thổ
Nhĩ Kỳ) và từ 01/5/2016 đến 06/7/2016 (tại Liên bang Nga).
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Trương Công Quỳnh, Trường
Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng đã có sự nhiệt tình giúp đỡ và trao đổi
chuyên môn trong quá trình học tập, nghiên cứu cũng như quá trình viết
và chỉnh sửa luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả bạn bè và các anh chị em nghiên cứu
sinh đã luôn động viên và cổ vũ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình của tôi
đã đồng cảm và chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian tôi làm nghiên
cứu sinh và hoàn thành luận án. Cảm ơn sự hy sinh của vợ và hai con, chính
họ là chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn
thành luận án này.
PHAN THẾ HẢI
3
MỤC LỤC
1 Kiến thức chuẩn bị
16
1.1
Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản
. . . . . . . . . . . . .
16
1.2
Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của môđun nội xạ
19
1.3
Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan trọng khác .
23
1.4
Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn . . . . . . . . . . .
26
2 Môđun giả nội xạ cốt yếu
30
2.1
Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2
Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu . . . .
32
3 Môđun ADS tổng quát
48
3.1
Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.2
Các kết quả liên quan đến môđun ADS tổng quát . . . . . .
50
4 Môđun thỏa mãn điều kiện (C)
4.1
Môđun thỏa mãn điều kiện (C) . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
64
Đặc trưng của một số lớp vành thông qua môđun thỏa mãn
điều kiện (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo
64
82
94
4
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
KÝ HIỆU
NGHĨA CỦA KÝ HIỆU
[1]
Tài liệu số 1 ở mục "Tài liệu tham khảo"
N
Tập hợp các số tự nhiên
Z
Vành các số nguyên
Q, R
Trường các số hữu tỷ, số thực (tương ứng)
|X|
Bản số của tập hợp X
E(M )
Bao nội xạ của môđun M
EndR (M )
Vành các tự đồng cấu của R-môđun M
Im(f ), Ker(f )
Ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (tương ứng)
Mn (R)
Vành ma trận vuông cấp n lấy các hệ tử trên vành R
MR (R M )
M là một R-môđun phải, trái (tương ứng)
M (I)
M (tổng trực tiếp của |I| bản sao của môđun M )
i∈I
MI
M (tích trực tiếp của |I| bản sao của môđun M )
i∈I
N ≤M
N là môđun con của môđun M
N
nguon tai.lieu . vn
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHAN THẾ HẢI
MỘT SỐ MỞ RỘNG
CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ
VÀ VÀNH LIÊN QUAN
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số:
62460104
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học 1: GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT
Người hướng dẫn khoa học 2: TS. BÀNH ĐỨC DŨNG
HUẾ - NĂM 2016
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết riêng
hoặc viết chung với các đồng tác giả. Các kết quả nghiên cứu nêu trong
luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
PHAN THẾ HẢI
2
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người Thầy
hướng dẫn là GS.TS. Lê Văn Thuyết, Đại học Huế và TS. Bành Đức Dũng,
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh, những người Thầy rất
nghiêm khắc nhưng mẫu mực, những người luôn tận tình dạy bảo, hướng
dẫn, cổ vũ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của
mình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán và Phòng Sau đại học của Trường
Đại học Sư phạm-Đại học Huế; Ban Đào tạo Đại học Huế; Trường Cao đẳng
Sư phạm Bà Rịa-Vũng Tàu đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được học
tập, nghiên cứu và hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh của mình.
Tôi xin cảm ơn Khoa Toán, Trường Đại học công nghệ Gebze, Thổ Nhĩ
Kỳ và Khoa Đại số-Logic Toán thuộc Viện Toán-Cơ Lobachevsky, Trường
Đại học Kazan, Liên bang Nga đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được sang
thực tập, nghiên cứu trong thời gian từ 20/4/2015 đến 20/6/2015 (tại Thổ
Nhĩ Kỳ) và từ 01/5/2016 đến 06/7/2016 (tại Liên bang Nga).
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Trương Công Quỳnh, Trường
Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng đã có sự nhiệt tình giúp đỡ và trao đổi
chuyên môn trong quá trình học tập, nghiên cứu cũng như quá trình viết
và chỉnh sửa luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả bạn bè và các anh chị em nghiên cứu
sinh đã luôn động viên và cổ vũ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình của tôi
đã đồng cảm và chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian tôi làm nghiên
cứu sinh và hoàn thành luận án. Cảm ơn sự hy sinh của vợ và hai con, chính
họ là chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn
thành luận án này.
PHAN THẾ HẢI
3
MỤC LỤC
1 Kiến thức chuẩn bị
16
1.1
Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản
. . . . . . . . . . . . .
16
1.2
Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của môđun nội xạ
19
1.3
Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan trọng khác .
23
1.4
Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn . . . . . . . . . . .
26
2 Môđun giả nội xạ cốt yếu
30
2.1
Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2
Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu . . . .
32
3 Môđun ADS tổng quát
48
3.1
Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.2
Các kết quả liên quan đến môđun ADS tổng quát . . . . . .
50
4 Môđun thỏa mãn điều kiện (C)
4.1
Môđun thỏa mãn điều kiện (C) . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
64
Đặc trưng của một số lớp vành thông qua môđun thỏa mãn
điều kiện (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo
64
82
94
4
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
KÝ HIỆU
NGHĨA CỦA KÝ HIỆU
[1]
Tài liệu số 1 ở mục "Tài liệu tham khảo"
N
Tập hợp các số tự nhiên
Z
Vành các số nguyên
Q, R
Trường các số hữu tỷ, số thực (tương ứng)
|X|
Bản số của tập hợp X
E(M )
Bao nội xạ của môđun M
EndR (M )
Vành các tự đồng cấu của R-môđun M
Im(f ), Ker(f )
Ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (tương ứng)
Mn (R)
Vành ma trận vuông cấp n lấy các hệ tử trên vành R
MR (R M )
M là một R-môđun phải, trái (tương ứng)
M (I)
M (tổng trực tiếp của |I| bản sao của môđun M )
i∈I
MI
M (tích trực tiếp của |I| bản sao của môđun M )
i∈I
N ≤M
N là môđun con của môđun M
N