Xem mẫu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỔ CHÍ MINH
TRẦN MINH THUYẾT
ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT
NGHIỆM ĐỐI VỚI MỘT SỐ
BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số
: 1.01.01
Người hướng dẫn khoa học:
1. TS. TRẦN VÃN TÂN
Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh
2. TS. NGUYỄN THÀNH LONG
Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh
TP.HỔ CHÍ MINH 2001
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU...................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: KHẢO SÁT BÀI TOÁN HYPERBOLIC PHI TUYẾN CÓ SỐ HẠNG PHI
TUYẾN CHỨA
................................................................................................. 11
1.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 11
1.2. Các ký hiệu và giả thiết ............................................................................................ 12
1.3. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm .......................................................................... 14
1.4. Nới rộng bài toán ..................................................................................................... 26
CHƢƠNG 2: KHẢO SÁT MỘT PHƢƠNG TRÌNH SÓNG Á TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT
VỚI MỘT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN CHỨA GIÁ TRỊ BIÊN ............. 32
2.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 32
2.2.Định lý tồn tại và duy nhất ........................................................................................ 33
2.3.Tính ổn định nghiệm ................................................................................................. 50
CHƢƠNG 3: BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ
TRỌNG LƢỢNG ............................................................................................................... 56
3.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 56
3.2. Các không gian hàm Sobolev có trọng ..................................................................... 56
3.3. Định lý tồn tại và duy nhất ....................................................................................... 63
CHƢƠNG 4: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN PHI
TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG ............................................... 77
4.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 77
4.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm .......................................................................... 78
4.3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi h → 0+ ............................................................. 82
PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................................ 85
CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN ......................... 87
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 88
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là chƣơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong
luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ một chƣơng trình nào khác.
Tác giả luận án
Trần Minh Thuyết
1
Tổng quan
PHẦN MỞ ĐẦU
Trong luận án nay chúng tôi muốn sử dụng các phƣơng pháp của Giải tích hàm phi tuyến
nhƣ : phƣơng pháp Galerkin, phƣơng pháp compact yếu và toán tử đơn điệu, phƣơng pháp
tuyến tính hóa liên hệ với các định lý điểm bất động, phƣơng pháp tiệm cận... nhằm khảo sát
một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Cơ học. Chẳng hạn nhƣ các phƣơng
trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán
mô tả dao động của một màng với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự
va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên một nền cứng; Các phƣơng trình
elliptic mô tả sự uốn của một thanh đàn hồi phi tuyến đƣợc nhúng trong một chất lỏng,...
Bản luận án ngoài chƣơng mở đầu ra sẽ đƣợc chia thành 4 chƣơng. Trong chƣơng 1 - 2
chúng tôi sử dụng phƣơng pháp Galerkin và các công cụ hỗ trợ để khảo sát các bài toán liên
quan đến phƣơng trình sóng và cũng với các công cụ trên ở các chƣơng 3-4 dành cho việc
khảo sát bài toán biên phi tuyến có số hạng kỳ dị.
■ Trong chƣơng 1, chúng tôi khảo sát bài toán
trong đó
ra ngoài biên
R n là một tập mở bị chận có biên
đủ trơn,
là pháp tuyến đơn vị hƣớng
là hằng số cho trƣớc, B,f,F,u0 , u 1 là các hàm cho trƣớc. Các giả thiết
đặt ra cho các hàm nay sẽ
nguon tai.lieu . vn
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỔ CHÍ MINH
TRẦN MINH THUYẾT
ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT
NGHIỆM ĐỐI VỚI MỘT SỐ
BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số
: 1.01.01
Người hướng dẫn khoa học:
1. TS. TRẦN VÃN TÂN
Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh
2. TS. NGUYỄN THÀNH LONG
Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh
TP.HỔ CHÍ MINH 2001
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU...................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: KHẢO SÁT BÀI TOÁN HYPERBOLIC PHI TUYẾN CÓ SỐ HẠNG PHI
TUYẾN CHỨA
................................................................................................. 11
1.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 11
1.2. Các ký hiệu và giả thiết ............................................................................................ 12
1.3. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm .......................................................................... 14
1.4. Nới rộng bài toán ..................................................................................................... 26
CHƢƠNG 2: KHẢO SÁT MỘT PHƢƠNG TRÌNH SÓNG Á TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT
VỚI MỘT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN CHỨA GIÁ TRỊ BIÊN ............. 32
2.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 32
2.2.Định lý tồn tại và duy nhất ........................................................................................ 33
2.3.Tính ổn định nghiệm ................................................................................................. 50
CHƢƠNG 3: BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ
TRỌNG LƢỢNG ............................................................................................................... 56
3.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 56
3.2. Các không gian hàm Sobolev có trọng ..................................................................... 56
3.3. Định lý tồn tại và duy nhất ....................................................................................... 63
CHƢƠNG 4: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN PHI
TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG ............................................... 77
4.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 77
4.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm .......................................................................... 78
4.3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi h → 0+ ............................................................. 82
PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................................ 85
CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN ......................... 87
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 88
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là chƣơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong
luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ một chƣơng trình nào khác.
Tác giả luận án
Trần Minh Thuyết
1
Tổng quan
PHẦN MỞ ĐẦU
Trong luận án nay chúng tôi muốn sử dụng các phƣơng pháp của Giải tích hàm phi tuyến
nhƣ : phƣơng pháp Galerkin, phƣơng pháp compact yếu và toán tử đơn điệu, phƣơng pháp
tuyến tính hóa liên hệ với các định lý điểm bất động, phƣơng pháp tiệm cận... nhằm khảo sát
một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Cơ học. Chẳng hạn nhƣ các phƣơng
trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán
mô tả dao động của một màng với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự
va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên một nền cứng; Các phƣơng trình
elliptic mô tả sự uốn của một thanh đàn hồi phi tuyến đƣợc nhúng trong một chất lỏng,...
Bản luận án ngoài chƣơng mở đầu ra sẽ đƣợc chia thành 4 chƣơng. Trong chƣơng 1 - 2
chúng tôi sử dụng phƣơng pháp Galerkin và các công cụ hỗ trợ để khảo sát các bài toán liên
quan đến phƣơng trình sóng và cũng với các công cụ trên ở các chƣơng 3-4 dành cho việc
khảo sát bài toán biên phi tuyến có số hạng kỳ dị.
■ Trong chƣơng 1, chúng tôi khảo sát bài toán
trong đó
ra ngoài biên
R n là một tập mở bị chận có biên
đủ trơn,
là pháp tuyến đơn vị hƣớng
là hằng số cho trƣớc, B,f,F,u0 , u 1 là các hàm cho trƣớc. Các giả thiết
đặt ra cho các hàm nay sẽ