1. Trang Chủ
  2. Môi trường
  3. Kỹ thuật và quản lý hệ thống nguồn nước ( Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Chương 5

Kỹ thuật và quản lý hệ thống nguồn nước ( Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Chương 5

Phân tích tính bất định và độ tin cậy của hệ thống nguồn nước Điều đầu tiên trong thảo luận rủi ro và độ tin cậy cho thiết kế hệ thống nguồn nước là nhận dạng tính bất định và các thành phần liên quan khác như xác suất và tính ngẫu nhiên. Tính bất định có thể được định nghĩa một cách đơn giản là sự xuất hiện của các biến cố nằm ngoài sự kiểm soát của chúng ta. Tính bất định của một hệ thống nguồn nước là một đặc trưng không thể xác định và nằm... CH¦¥NG 5 Ph©n tÝch tÝnh bÊt ®Þnh vµ ®é tin cËy cñ

Thể loại Tài liệu miễn phí Môi trường

Số trang 57

Ngày tạo 8/29/2018 11:44:00 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 1.74 M

Tên tệp

Tải Kỹ thuật và quản lý hệ thống nguồn nước ( Đại học ... (.pdf)

Xem mẫu

  1. CH¦¥NG 5 Ph©n tÝch tÝnh bÊt ®Þnh vµ ®é tin cËy cña hÖ thèng nguån n­íc §iÒu ®Çu tiªn trong th¶o luËn rñi ro vµ ®é tin cËy cho thiÕt kÕ hÖ thèng nguån n­íc lµ nhËn d¹ng tÝnh bÊt ®Þnh vµ c¸c thµnh phÇn liªn quan kh¸c nh­ x¸c suÊt vµ tÝnh ngÉu nhiªn. TÝnh bÊt ®Þnh cã thÓ ®­îc ®Þnh nghÜa mét c¸ch ®¬n gi¶n lµ sù xuÊt hiÖn cña c¸c biÕn cè n»m ngoµi sù kiÓm so¸t cña chóng ta. TÝnh bÊt ®Þnh cña mét hÖ thèng nguån n­íc lµ mét ®Æc tr­ng kh«ng thÓ x¸c ®Þnh vµ n»m ngoµi nh÷ng kiÓm so¸t cña chóng ta. Trong viÖc thiÕt kÕ c¸c hÖ thèng nguån n­íc, c¸c quyÕt ®Þnh ph¶i ®­îc ®­a ra ®ång thêi víi sù tån t¹i cña nhiÒu lo¹i bÊt ®Þnh kh¸c nhau. 5.1. Tæng quan vÒ lý thuyÕt x¸c suÊt Trong môc nµy chóng t«i tr×nh bµy tãm t¾t vÒ mét sè nguyªn lý vµ lý thuyÕt c¬ b¶n trong x¸c suÊt thèng kª cã Ých cho ®¸nh gi¸ ®é tin cËy cña c¸c hÖ thèng nguån n­íc. C¸c ­íc l­îng b»ng sè vÒ ®é tin cËy cho c¸c hÖ thèng nguån n­íc ®ßi hái sö dông c¸c m« h×nh x¸c suÊt thèng kª. 5.1.1. C¸c thuËt ng÷ Trong lý thuyÕt x¸c suÊt, mét phÐp thö nãi chung biÓu thÞ qu¸ tr×nh quan tr¾c. Toµn bé c¸c kÕt qu¶ cã thÓ cña mét phÐp thö ®­îc gäi lµ kh«ng gian mÉu. Mét biÕn cè lµ mét tËp hîp con nµo ®ã cña c¸c kÕt qu¶ n»m trong kh«ng gian mÉu. Do ®ã, mét biÕn cè cã thÓ lµ mét tËp rçng , hoÆc tËp con cña kh«ng gian mÉu, hoÆc chÝnh b»ng kh«ng gian mÉu. V× c¸c biÕn cè lµ c¸c tËp hîp, c¸c to¸n tö thÝch hîp ®­îc sö dông nh­ phÐp hîp, phÐp giao vµ phÇn bï. Sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè A hay biÕn cè B (nghÜa lµ hîp cña A vµ B) ®­îc 166
  2. ký hiÖu lµ A  B cßn sù cïng xuÊt hiÖn cña biÕn cè A vµ B (nghÜa lµ phÐp giao cña A vµ B) ®­îc ký hiÖu lµ A  B hoÆc (A, B). Trong ch­¬ng nµy, phÇn bï cña biÕn cè A ®­îc ký hiÖu lµ A’. NÕu hai biÕn cè A vµ B kh«ng cã c¸c phÇn tö chung th× chóng ®­îc gäi lµ xung kh¾c tõng ®«i hay rêi nhau vµ ®­îc biÓu thÞ b»ng (A, B) =. NÕu biÕn cè A mµ sù xuÊt hiÖn cña nã phô thuéc vµo sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè B th× ®©y lµ mét biÕn cè cã ®iÒu kiÖn ký hiÖu lµ A B . X¸c suÊt lµ mét ®¹i l­¬ng sè ®o kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra cña sù xuÊt hiÖn mét biÕn cè. Nãi chung, x¸c suÊt xuÊt hiÖn mét biÕn cè A cã thÓ ®­îc ®¸nh gi¸ theo hai c¸ch: (1) c¸c x¸c suÊt kh¸ch quan hay x¸c suÊt sau dùa trªn c¸c quan tr¾c sù x¶y ra cña biÕn cè; (2) c¸c x¸c suÊt chñ quan hay x¸c suÊt tr­íc dùa trªn c¬ së cña kinh nghiÖm vµ sù ph¸n ®o¸n. C¸c quy t¾c tÝnh x¸c suÊt. 5.1.2. Ba tiªn ®Ò c¬ b¶n cña x¸c suÊt cã thÓ hiÓu b»ng trùc gi¸c lµ: (i) P(A)0 (tÝnh kh«ng ©m); (ii) P(S) =1 (tÝnh toµn phÇn) víi S lµ kh«ng gian mÉu; (iii) nÕu A vµ B x ung kh¾c nhau th× P( A  B )=P(A) + P(B). Tõ hai tiªn ®Ò ®Çu tiªn, gi¸ trÞ cña x¸c suÊt ph¶i n»m gi÷a 0 vµ 1. Më réng tiªn ®Ò thø 3 cho mét sè c¸c biÕn cè xung kh¾c tõng ®«i bÊt kú lµ: k k P  A1  A2  ...  Ak   P  U Ai    P  Ai  (5.1.1)  i 1  i 1 Víi hai biÕn cè xung kh¾c tõng ®«i A vµ B, x¸c suÊt cña phÐp giao P(AB)=P(A, B) = P()=0, X¸c suÊt cña hîp hai biÕn cè A vµ B cã thÓ ®­îc ®¸nh gi¸ b»ng: P(AB)=P(A) + P(B) - P(A, B) (5.1.2) Tæng qu¸t, víi k biÕn cè: k k k k   P  U Ai    P  Ai     P Ai , A j ij  i 1  i 1 k k k    P  Ai , A j , Al   ... (5.1.3)   i j l k 1 P  A1 , A2 ,..., Ak     1 NÕu hai biÕn cè ®­îc coi lµ ®éc lËp nhau, sù xuÊt hiÖn cña mét biÕn cè nµy kh«ng ¶nh h­ëng ®Õn sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè kia. Do ®ã, c¸c biÕn cè A vµ B lµ ®éc lËp khi vµ chØ khi P(A, B) = P(A)P(B). §Ó tæng qu¸t hãa nguyªn lý nµy, x¸c suÊt xuÊt hiÖn ®ång thêi k biÕn cè ®éc lËp, còng ®­îc xem nh­ lµ x¸c suÊt ®ång thêi, lµ k k P  I Ai    P  Ai  (5.1.4)  i 1  i 1 167
  3. CÇn chó ý r»ng tÝnh xung kh¾c tõng ®«i cña hai biÕn cè nãi chung kh«ng ®ång nghÜa víi tÝnh ®éc lËp vµ ng­îc l¹i. XÐt l¹i biÕn cè cã ®iÒu kiÖn ®­îc ®Ò cËp tr­íc ®ã, x¸c suÊt mµ mét biÕn cè cã ®iÒu kiÖn xuÊt hiÖn ®­îc gäi lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn P( A B ) cã thÓ ®­îc tÝnh b»ng: P  A B   P  A, B  / P  B  (5.1.5) trong ®ã P( A B ) lµ x¸c suÊt x¶y ra biÕn cè A biÕt tr­íc biÕn cè B ®· x¶y ra. Nãi c¸c kh¸c P( A B ) biÓu thÞ ®¸nh gi¸ l¹i cña chóng ta vÒ x¸c suÊt cña A khi biÕt th«ng tin r»ng biÕn cè B ®· x¶y ra. §Ó tæng qu¸t hãa Ph­¬ng tr×nh (5.1.5), x¸c suÊt cña sù x¶y ra ®ång thêi k biÕn cè ®éc lËp cã thÓ ®­îc tÝnh b»ng: k  (5.1.6) P  I Ai   P  A1  P  A2 A1  P  A3 A2 . A1  ...P  Ak Ak 1..... A1   i 1  §«i khi, x¸c suÊt mµ biÕn cè A x¶y ra kh«ng thÓ ®­îc x¸c ®Þnh trùc tiÕp hay dÔ dµng. Tuy nhiªn nãi chung biÕn cè A x¶y ra cïng víi c¸c ®Æc tr­ng kh¸c, Ci, lµ c¸c biÕn cè kh¸c mµ lµm cho biÕn cè A x¶y ra. Xem h×nh 5.1.1 biÕn cè A cã thÓ x¶y ra ®ång thêi víi k ®Æc tr­ng xung kh¾c tõng ®«i vµ xung kh¾c chän läc Ci, i = 1,2, ..., k, trong ®ã xung kh¾c chän läc ®Ò cËp tíi kh¸i niÖm hîp cña tÊt c¶ c¸c biÕn cè s¬ cÊp trong mét mét kh«ng gian mÉu. X¸c suÊt x¶y ra biÕn cè A, kh«ng quan t©m tíi nguyªn nh©n cña c¸c ®Æc tr­ng, cã thÓ ®­îc tÝnh b»ng k k P  A   P  A, Ci    P  A Ci  P  Ci  (5.1.7) i 1 i 1 x¸c ®Þnh ®Þnh lý x¸c suÊt toµn phÇn. H×nh 5.1.1 S¬ ®å Venn chØ ra biÕn cã A víi c¸c ®Æc tr­ng . §Þnh lý x¸c suÊt toµn phÇn , ph¸t biÓu r»ng sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè A cã thÓ bÞ ¶nh h­ëng bëi mét sè c¸c ®Æc tr­ng Ci, i = 1,2,...k. Trong mét sè tr­êng 168
  4. hîp P( A Ci ) ®­îc biÕt vµ ta muèn x¸c ®Þnh x¸c suÊt mµ mét ®Æc tr­ng riªng Ci cã tr¸ch nhiÖm cho sù x¶y ra cña biÕn cè A, ®ã lµ, P( Ci A ) ®­îc yªu cÇu. Dùa vµo ®Þnh nghÜa cña x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn, Ph­¬ng tr×nh (5.1.5), vµ ®Þnh lý x¸c suÊt toµn phÇn, Ph­¬ng tr×nh (5.1.7), P( Ci A ) cã thÓ ®­îc tÝnh b»ng P  A Ci  P  Ci  P  Ci ,A (5.1.8) P  Ci A  k P  A  P  A Ci  P  Ci  i1 Ph­¬ng tr×nh (5.1.8) ®­îc gäi lµ ®Þnh lý Bayes trong ®ã P(Ci) lµ x¸c suÊt tr­íc biÓu thÞ tin cËy ban ®Çu cña x¸c suÊt vÒ sù xuÊt hiÖn cña ®Æc tr­ng Ci, P( A Ci ) lµ hµm kh¶ n¨ng x¶y ra vµ P( Ci A ) lµ x¸c suÊt tr­íc biÓu thÞ ®¸nh gi¸ míi cña chóng ta vÒ Ci cã biÕt vÒ sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè A. §Þnh lý Bayes cã thÓ ®­îc sö dông ®Ó cËp nhËt vµ söa l¹i x¸c suÊt ®· tÝnh khi cã thªm th«ng tin. 5.1.3. C¸c biÕn ngÉu nhiªn vµ c¸c ph©n phèi cña chóng. Trong ph©n tÝch c¸c ®Æc tr­ng thèng kª ho¹t ®éng cña hÖ thèng nguån n­íc, nhiÒu biÕn cè quan t©m cã thÓ ®­îc x¸c ®Þnh b»ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn cã liªn quan. Mét biÕn ngÉu nhiªn lµ mét hµm gi¸ trÞ thùc x¸c ®Þnh trong kh«ng gian mÉu. Mét quy ­íc kh¸ chuÈn trong tµi liÖu thèng kª lµ biÕn ngÉu nhiªn ®­îc biÓu thÞ b»ng mét ký tù viÕt hoa cßn ký tù viÕt th­êng biÓu thÞ gi¸ trÞ thùc cña biÕn ngÉu nhiªn t­¬ng øng. Theo quy ­íc nµy, vÝ dô, Q cã thÓ ®­îc sö dông ®Ó biÓu thÞ c­êng ®é dßng ch¶y, mét biÕn ngÉu nhiªn, cßn q biÓu thÞ gi¸ trÞ cã thÓ cña Q. Mét biÕn ngÉu nhiªn cã thÓ lµ liªn tôc hoÆc rêi r¹c. Cã nhiÒu vÝ dô vÒ c¸c biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c trong kü thuËt hÖ thèng nguån n­íc. Môc nµy chØ xÐt c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®¬n chiÒu. C¸c tr­êng hîp biÕn ngÉu nhiªn ®a chiÒu cã thÓ xem ë c¸c tµi liÖu kh¸c (Blank, 1980; Devore, 1987). Hµm ph©n phèi lòy tÝch (CDF-Cumulative Distribution Function), F(x), hay ®¬n gi¶n lµ hµm ph©n phèi (DF) cña mét biÕn ngÉu nhiªn X ®­îc ®Þnh nghÜa lµ: F(x)=P(X x) (5.1.9) F(x) lµ lòy tÝch v× ®èi sè hay gi¸ trÞ thùc cña nã, x, t¨ng dÇn. H¬n n÷a, khi x dÇn tíi biªn d­íi cña biÕn ngÉu nhiªn X gi¸ trÞ cña F(x) tiÕn tíi 0; mÆt kh¸c, gi¸ trÞ cña F(x) tiÕn tíi 1 khi ®èi sè cña nã dÇn tíi biªn trªn cña biÕn ngÉu nhiªn X. Víi mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X, hµm khèi l­îng x¸c suÊt (PMF- Probability Mass Function) cña X ®­îc ®Þnh nghÜa lµ: p(x) = P(X=x) (5.1.10) trong ®ã p(x) lµ khèi l­îng x¸c suÊt, lµ x¸c suÊt t¹i mét ®iÓm rêi r¹c X = x. Hµm khèi l­îng x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c ph¶i tháa m·n hai 169
  5. ®iÒu kiÖn: (1) p(xi)0 víi tÊt c¶ xi vµ (2) tÊt c¶ i p( xi )  1. Hµm khèi l­îng x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c vµ hµm ph©n phèi lòy tÝch cña nã ®­îc chØ ra trong h×nh 5.1.2a vµ b. Hµm ph©n phèi lòy tÝch cña mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X cã d¹ng bËc thang. Víi mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc, hµm mËt ®é x¸c suÊt (PDF-Probability density function) ®­îc ®Þnh nghÜa lµ: dF x  f x  (5.1.11) dx trong ®ã F(x) lµ hµm ph©n phèi lòy tÝch cña X nh­ ®· ®­îc x¸c ®Þnh trong Ph­¬ng tr×nh 5.1.9. Hµm mËt ®é x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tuc f(x) lµ ®é dèc cña hµm ph©n phèi lòy tÝch. BiÓu diÔn b»ng ®å thÞ cña mét hµm mËt ®é x¸c suÊt vµ hµm ph©n phèi lòy tÝch cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc ®­îc chØ ra trong h×nh 5.1.2c vµ d. T­¬ng tù nh­ tr­êng hîp rêi r¹c, hµm mËt ®é cña mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc ph¶i tháa m·n hai ®iÒu kiÖn: (1) f(x)  0 vµ (2)  f ( x)dx  1 .  Cho tr­íc hµm mËt ®é x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X, hay hµm khèi l­îng x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c, hµm ph©n phèi lòy tÝch cña nã cã thÓ tÝnh ®­îc sö dông: x F ( x)   f ( x)dx víi c¸c biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc (5.2.12a)  vµ  p( x ) víi c¸c biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c (5.1.12b) F ( x)  i 1 i  n 170
  6. H×nh 5.1.2 Hµm khèi l­îng x¸c suÊt vµ ph©n phèi lòy tÝch cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c vµ liªn tôc. X¸c suÊt cho mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc ®Ó lÊy mét gi¸ trÞ riªng biÖt lµ b»ng 0 cßn trong tr­êng hîp biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c th× kh«ng nh­ vËy. 5.1.4. C¸c ®Æc tr­ng thèng kª cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn. Trong thèng kÕ thuËt ng÷ tæng thÓ biÓu thÞ sù tËp hîp ®Çy ®ñ tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ ®¹i diÖn cho mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn cô thÓ. Mét mÉu lµ mét tËp con bÊt kú cña tæng thÓ. C¸c ký hiÖu th­êng ®­îc sö dông ®Ó m« t¶ c¸c ®Æc tr­ng thèng kª cña mét biÕn ngÉu nhiªn cã thÓ ®­îc ph©n thµnh 3 lo¹i: (1) c¸c ký hiÖu biÓu thÞ xu h­íng trung t©m; (2) c¸c ký hiÖu biÓu thÞ sù ph©n t¸n quanh mét gi¸ trÞ trung t©m; vµ (3) c¸c ký hiÖu biÓu thÞ tÝnh bÊt ®èi xøng cña mét ph©n phèi. C¸c ký hiÖu th­êng ®­îc sö dông trong ba lo¹i nµy cã liªn quan ®Õn c¸c momen thèng kª cña biÕn ngÉu nhiªn. Gi¸ trÞ kú väng cña (X-x0)r lµ momen thø r cña biÕn ngÉu nhiªn X xung quanh ®iÓm X = x0, VÒ mÆt to¸n häc, gi¸ trÞ kú väng, E[(X-x0)r], trong tr­êng hîp liªn tôc ®­îc x¸c ®Þnh b»ng:  E X  x0    x  x0 r f x dx (5.1.13a)  Cßn víi tr­êng hîp rêi r¹c: N E  X  x0     xi  x0  p xi  r (5.1.13b) i 1 171
  7. Trong ®ã E[ ] lµ to¸n tö kú väng thèng kª. Trong thùc tÕ ba momen ®Çu tiªn ®­îc sö dông ®Ó diÔn t¶ xu h­íng trung t©m, tÝnh biÕn thiªn, vµ tÝnh bÊt ®èi xøng cña sù ph©n phèi mét biÕn ngÉu nhiªn. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t tõ nay vÒ sau chØ xÐt c¸c biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. Víi sù ®¸nh gi¸ xu h­íng trung t©m, kú väng cña mét biÕn ngÉu nhiªn X th­êng ®­îc ®Þnh nghÜa lµ  EX      xf ( x)dx (5.1.14)  Kú väng nµy ®­îc xem lµ gi¸ trÞ trung b×nh cña mét biÕn ngÉu nhiªn. C¸c ký hiÖu hay c¸c ®Æc tr­ng thèng kª kh¸c cho xu h­íng trung t©m cña mét biÕn ngÉu nhiªn ®­îc liÖt kª trong B¶ng 5.1.1. Mét sè ®Æc tr­ng to¸n tö h÷u Ých cña kú väng: 1. Kú väng cña tæng c¸c biÕn ngÉu nhiªn b»ng tæng kú väng cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn riªng lÎ. k k E   ai X i    ai E  X i  (5.1.15a)  i 1  i 1 NÕu X1, X2, ..., Xk lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, th× k k E  X i    E X i  (5.1.15b)  i 1  i 1 Hai lo¹i momen th­êng ®­îc sö dông: Momen gèc x0 = 0 vµ moment trung t©m x0 =  . Momen trung t©m bËc r ®­îc x¸c ®Þnh b»ng  r  E  X     cßn r momen gèc bËc r ®­îc x¸c ®Þnh b»ng  r'  E X r  . Mèi quan hÖ gi÷a c¸c momen trung t©m vµ momen gèc bËc r bÊt kú lµ r  r    1i r Ci  i  r' i (5.1.16a) i 0 r  r'   r Ci  i  r i (5.1.16b) i 0 trong ®ã hÖ sè nhÞ thøc r Ci = r!/[i!(r-i)!],  i lµ trung b×nh cho lòy thõa thø i,  r' i lµ momen gèc bËc r-i. Ph­¬ng tr×nh (5.1.16a) ®­îc sö dông ®Ó tÝnh c¸c momen trung t©m tõ momen gèc, cßn ph­¬ng tr×nh (5.1.16b) ®­îc sö dông ®Ó tÝnh momen gèc tõ c¸c momen trung t©m. B¶ng 5.1.1 C¸c ®Æc tr­ng thèng kª cña mét biÕn ngÉu nhiªn th­êng ®­îc sö dông C ¸c ®Æc tr­ng thèng kª TËp hîp C¸c ­íc l­îng mÉu C hiÒu h­íng trung t©m Trung b×nh sè häc 172
  8.  1n   E  X    xf  x dx  Xi X n i1 Trung vÞ F  xmd   0.5 xmd sao cho Gi¸ trÞ nhãm thø 50 cña sè liÖu TÝnh thay ®æi Ph­¬ng sai   1n  2  E X    2   2 S x2   Xi  X § é lÖch chuÈn n  1 i1   1/ 2   E  X   2 1/ 2 1 n 2    Xi  X  S H Ö sè biÕn thiªn  n  1 i 1    /  Cv  S / X § èi xøng HÖ sè lÖch   3 3 E X    n n i1 X i  X  G 3 n  1n  2S 3 T­¬ng quan HÖ sè t­¬ng quan  X   cov X , Y   X Yi  Y  i R  x y  X   Y  Y  2 2 X i i Víi viÖc ®o l­êng tÝnh biÕn ®éng, ph­¬ng sai cña mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc ®­îc ®Þnh nghÜa lµ:    Var  X    2  E  X      2 x   2 f x dx (5.1.17)  lµ mét momen trung t©m bËc hai. C¨n bËc hai cña ph­¬ng sai  2 ®­îc gäi lµ ®é lÖch chuÈn,  , th­êng ®­îc sö dông khi ®¸nh gi¸ møc ®é cña tÝnh bÊt ®Þnh g¾n liÒn víi mét biÕn ngÉu nhiªn. Mét ®é lÖch chuÈn nhá h¬n biÓu thÞ mét biÕn ngÉu nhiªn víi tÝnh bÊt ®Þnh nhá h¬n. §é lÖch chuÈn cã ®¬n vÞ gièng nh­ ®¬n vÞ cña biÕn ngÉu nhiªn. §Ó so s¸nh møc ®é cña tÝnh bÊt ®Þnh cña hai biÕn ngÉu nhiªn ®¬n vÞ kh¸c nhau, mét ®¹i l­îng ®o l­êng v« h­íng    /  , ®­îc gäi lµ hÖ sè biÕn thiªn, lµ h÷u dông. Sau ®©y lµ mét sè ®Æc tr­ng quan träng cña ph­¬ng sai: Var[a] = 0 (5.1.18a) Var[X] = E [X2] - E2[X] (5.1.18b) Var[aX] = a2 Var[X] (5.1.18c) NÕu tÊt c¶ c¸c biÕn ngÉu nhiªn , X, lµ ®éc lËp th× k k Var  ai X i    ai2 i2 (5.1.18d)  i1  i 1 trong ®ã ai lµ mét h»ng sè vµ  i lµ ®é lÖch chuÈn cña biÕn ngÉu nhiªn Xi. §Ó ®o ®¹c ®é bÊt ®èi xøng cña hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn, hÖ sè lÖch  ®­îc sö dông, ®­îc ®Þnh nghÜa b»ng: 173
  9.     E X    /  3 3 (5.1.19) HÖ sè lÖch lµ v« h­íng vµ liªn hÖ víi momen trung t©m bËc 3. DÊu cña hÖ sè lÖch ngÇm chØ ph¹m vi cña sù ®èi xøng cña ph©n phèi x¸c suÊt quanh gi¸ trÞ trung b×nh. NÕu   0 , ph©n phèi lµ ®èi xøng qua gi¸ trÞ trung b×nh;   0 , ph©n phèi lÖch vÒ phÝa bªn ph¶i;   0 , ph©n phèi lÖch vÒ bªn tr¸i. h×nh 5.1.3 ®­îc dïng ®Ó minh häa vÒ mét ph©n phèi x¸c suÊt víi c¸c hÖ sè lÖch kh¸c nhau vµ vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña gi¸ trÞ trung b×nh  , trung vÞ xmd, vµ ®Ønh xmo ®­îc chØ ra trong h×nh 5.1.3. §Ønh, xmo, lµ gi¸ trÞ cña biÕn ngÉu nhiªn t¹i ®Ønh cña hµm mËt ®é x¸c suÊt. C¸c momen thèng kª bËc cao h¬n 3 Ýt khi ®­îc sö dông trong øng dông thùc tÕ bëi v× ®é chÝnh x¸c cña chóng gi¶m nhanh khi ®­îc ®¸nh gi¸ tõ mét kÝch th­íc mÉu giíi h¹n. C¸c ph­¬ng tr×nh ®­îc sö dông ®Ó tÝnh ­íc l­îng mÉu cña c¸c momen thèng kª trªn ®­îc cho trong B¶ng 5.1.1. Khi xÐt hai biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc, møc ®é phô thuéc tuyÕn tÝnh gi÷a chóng cã thÓ ®­îc ®¸nh gi¸ b»ng hÖ sè t­¬ng quan  (X, Y) ®­îc tÝnh b»ng:   X , Y   Cov X , Y  /  X  Y (5.1.20) trong ®ã Cov[X, Y] lµ hiÖp ph­¬ng sai gi÷a c¸c biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y. Nh­ mét vÝ dô hÖ sè t­¬ng quan x¸c ®Þnh tÝnh hîp lý cña gi¶ thiÕt r»ng c¸c gi¸ trÞ cña x vµ y vÏ nªn mét ®­êng th¼ng. HiÖp ph­¬ng sai ®­îc ®Þnh nghÜa lµ gi¸ trÞ kú väng cña tÝch  X   X  vµ Y  Y  , mµ ®­îc x¸c ®Þnh lµ: Cov X , Y   E X   X Y  Y   E XY    X Y (5.1.21a) hay N 1  x   Cov  X , Y   (5.1.21b)  x yi  y i N i 1 Víi N cÆp sè liÖu. HiÖp ph­¬ng sai lµ mét ®¹i l­îng ®o l­êng vÒ xu thÕ cho hai biÕn cïng thay ®æi víi nhau. §¹i l­îng ®o l­êng nµy cã thÓ b»ng 0, ©m, hay d­¬ng tïy vµo c¸c biÕn kh«ng t­¬ng quan, c¸c biÕn t­¬ng quan ©m, hay c¸c biÕn t­¬ng quan d­¬ng t­¬ng øng. HÖ sè t­¬ng quan ph¶i lín h¬n hoÆc b»ng -1 vµ nhá h¬n hoÆc b»ng +1, tøc lµ,  1    X , Y   1 . Tr­êng hîp mµ   X , Y   1 cã nghÜa lµ cã mét quan hÖ d­¬ng hoµn toµn gi÷a hai biÕn (tøc lµ tÊt c¶ c¸c ®iÓm ®Òu n»m trªn mét ®­êng th¼ng) cßn   X , Y   1 lµ t­¬ng quan hoµn toµn nghÞch biÕn (tøc lµ mét biÕn t¨ng cßn mét biÕn gi¶m). Khi   X , Y   0 lµ kh«ng cã t­¬ng quan tuyÕn tÝnh. h×nh 5.1.4 minh häa c¸c gi¸ trÞ cña sù t­¬ng quan. NÕu hai biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y lµ ®éc lËp, th×   X , Y   CovX , Y   0 . Tuy nhiªn ®iÒu ng­îc l¹i kh«ng ®óng (Xem h×nh 5.1.4d). XÐt sù t­¬ng quan gi÷a nhiÒu biÕn ngÉu nhiªn liªn qua, Ph­¬ng tr×nh 5.1.18d cã thÓ ®­îc tæng qu¸t chuyÓn thµnh 174
  10. k k k k   Var  ai X i    ai2 i2  2  ai a j Cov X i , X j (5.1.22)  i 1 i ij H×nh 5.1.3 D ¹ng ph©n phèi víi c¸c ®é lÖch kh¸c nhau H×nh 5.1.4 Mét sè vÝ dô vÒ hÖ sè t­¬ng quan (trÝch tõ Harr, 1987) VÝ dô 5.1.1. XÐt c©n b»ng khèi l­îng cña mét hå chøa n­íc mÆt qua mét thêi ®o¹n mét th¸ng trong ®ã m lµ th¸ng thø m. L­îng tr÷ cuèi th¸ng Sm+1 cã thÓ ®­îc tÝnh sö dông ®Þnh luËt b¶o toµn khèi l­îng 175
  11. STm+1 = STm + PPm + QFm - EVm - Rm trong ®ã STm = thÓ tÝch l­îng tr÷ ban ®Çu trong th¸ng m, PPm = l­îng gi¸ng thñy trªn mÆt hå trong th¸ng m. QFm = dßng ch¶y tíi hå trong th¸ng m. EVm = tæng l­îng bèc h¬i th¸ng trong th¸ng m vµ Rm = l­îng x¶ ra hµng th¸ng tõ hå ®­îc ®iÒu chØnh cho c¸c môc ®Ých kh¸c nhau. T¹i thêi ®iÓm b¾t ®Çu cña th¸ng, thÓ tÝch l­îng tr÷ ban ®Çu vµ l­îng x¶ ra ®­îc biÕt tr­íc. H¬n n÷a, tæng l­îng gi¸ng thñy hµng th¸ng, dßng mÆt ch¶y vµo, vµ l­îng bèc h¬i lµ bÊt ®Þnh vµ ®­îc gi¶ thiÕt lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp. C¸c ®é lÖch chuÈn vµ ®é lÖch trung b×nh cña PPm, QFm vµ EVm tõ sè liÖu lÞch sö cña th¸ng m ®­îc ®¸nh gi¸ b¨ng: E(PPm) = 1 KAF, E(QF m) = 8 KAF, E(EVm) = 3KAF,  (PPm) = 0,5 KAF ,  (QFm) = 2 KAF ,  (EVm) = 1 KAF trong ®ã KAF lµ 1000 mÉu feet. X¸c ®Þnh ®é lÖch chuÈn vµ ®é lÖch trung b×nh cña thÓ tÝch l­îng tr÷ trong hå vµo cuèi th¸ng nÕu thÓ tÝch l­îng tr÷ ban ®Çu lµ 20 KAF vµ l­îng x¶ thiÕt kÕ cho th¸ng ®ã lµ 10 KAF. Lêi gi¶i. Tõ Ph­¬ng tr×nh (5.1.15a), gi¸ trÞ trung b×nh cña thÓ tÝch l­îng tr÷ cuèi th¸ng trong hå cã thÓ ®­îc x¸c ®Þnh b»ng: E(STm+1) = STm + E(PPm) +E(QFm) - Rm = 20 +1 + 8 -3 - 10 =16 KAF tõ ph­¬ng tr×nh 5.1.18c, cã thÓ nhËn ®­îc ph­¬ng sai cña thÓ tÝch l­îng tr÷ cuèi th¸ng trong hå b»ng: Var(STm+1) = Var(PPm) + Var(QFm) + Var(EVm) = (0,5)2 +(2)2 + (1)2 = 5,25 (KAF)2 Do ®ã, ®é lÖch chuÈn cña STm+1 lµ:  STm1   5,25  2,29 KAF VÝ dô 5.1.2. Cã lÏ gi¶ thiÕt vÒ tÝnh ®éc lËp cña PPm, QFm vµ EVm trong VÝ dô 5.1.1 kh«ng thËt chÝnh x¸c trong thùc tÕ. Sau khi kiÓm tra sè liÖu lÞch sö gÇn ®©y, cã tån t¹i c¸c t­¬ng quan gi÷a ba biÕn ngÉu nhiªn nµy. Ph©n tÝch sè liÖu thÊy r»ng   PPm , QF m   0,8,  PPm , EV m    0, 4 ,  QF m , EV m    0 ,3 . TÝnh to¸n l¹i ®é lÖch chuÈn cña thÓ tÝch l­îng tr÷ cuèi th¸ng. Lêi gi¶i. Theo Ph­¬ng tr×nh 5.1.22, ph­¬ng sai cña thÓ tÝch l­îng tr÷ trong hå chøa t¹i thêi ®iÓm cuèi th¸ng cã thÓ ®­îc tÝnh b»ng: Var(STm+1) = Var(PPm) + Var(QFm) + Var(EVm) + 2 Cov(PPm, QFm) 2 Cov(PPm, EVm) - 2 Cov(QFm, EVm) =Var(PPm) + Var(QFm) + Var(EVm) +2  (PPm, QFm)  (PPm)  (QFm) - 2  (PPm, EVm)  (PPm)  (EVm) - 2  (QFm, EVm)  (QFm)  (EVm) = (0,5)2 +(2)2 +(1)2 +2(0,8)(0,5)(2) - 2(-0,4)(0,5)(1) - 2(-0,3)(2)(1) =8,45 (KAF)2 §é lÖch chuÈn t­¬ng øng cña thÓ tÝch l­îng tr÷ cuèi th¸ng lµ:  STm 1   8,45  2,91 KAF Trong vÝ dô 5.1.1 ®é lÖch chuÈn lµ 2,29 KAF. Râ rµng lµ gi¶ thiÕt vÒ sù ®éc lËp ®· dÉn tíi mét ®é lÖch chuÈn nhá h¬n. 5.2. Nh÷ng ph©n phèi x¸c suÊt th­êng gÆp Trong ph©n tÝch ®é tin cËy cña c¸c hÖ thèng nguån n­íc, mét sè ph©n phèi x¸c suÊt th­êng ®­îc sö dông. Dùa trªn ®Æc tÝnh cña biÕn ngÉu nhiªn, c¸c ph©n phèi x¸c suÊt cã thÓ ®­îc ph©n lo¹i thµnh ph©n phèi rêi r¹c vµ ph©n phèi 176
  12. liªn tôc. Hai lo¹i ph©n phèi rêi r¹c th­êng ®­îc sö dông trong ph©n tÝch ®é tin cËy lµ: ph©n phèi nhÞ thøc vµ ph©n phèi Poisson. Víi c¸c biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc, cã mét sè hµm mËt ®é ph©n phèi th­êng ®­îc sö dông trong ph©n tÝch ®é tin cËy. §ã lµ c¸c ph©n phèi chuÈn, l« ga rÝt chuÈn, Gamma, Weibull, vµ ph©n phèi hµm mò. C¸c ph©n phèi kh¸c nh­ ph©n phèi beta vµ c¸c ph©n phèi cùc h¹n ®«i khi còng ®­îc sö dông. 5.2.1. Ph©n phèi nhÞ thøc Ph©n phèi nhÞ thøc cã thÓ ¸p dông cho c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn chØ cã hai kÕt qu¶ cã thÓ. Tr¹ng th¸i cña c¸c thµnh phÇn hay c¸c hÖ thèng con trong nhiÒu hÖ thèng nguån n­íc cã thÓ ®­îc ph©n lo¹i hoÆc lµ ®ang ho¹t ®éng hoÆc lµ kh«ng ho¹t ®éng lµ mét vÝ dô ®iÓn h×nh cña c¸c kÕt qu¶ nhÞ ph©n. XÐt mét hÖ thèng gåm tÊt c¶ n thµnh phÇn ®éc lËp mµ mçi thµnh phÇn cã hai kÕt qu¶ cã thÓ, lµ ho¹t ®éng hoÆc kh«ng. Víi mçi thµnh phÇn, x¸c suÊt ho¹t ®éng lµ p. Do ®ã x¸c suÊt cña viÖc cã x thµnh phÇn ho¹t ®éng trong hÖ thèng cã thÓ ®­îc tÝnh b»ng p  x  n C x p x q n  x , x  0,1, 2,..., n (5.2.1) trong ®ã q = 1 - p vµ n C x lµ mét hÖ sè nhÞ ph©n. Mét biÕn ngÉu nhiªn X cã ph©n phèi nhÞ thøc víi c¸c th«ng sè n vµ p cã kú väng E(X) = np vµ ph­¬ng sai Var(X) = npq. D¹ng cña hµm khèi l­îng x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn nhÞ thøc phô thuéc vµo c¸c gi¸ trÞ cña p vµ q. Hµm khèi l­îng x¸c suÊt bÞ lÖch d­¬ng nÕu p < q; ®èi xøng nÕu p = q = 0,5; vµ bÞ lÖch ©m nÕu p > q. VÝ dô 5.2.1. Mét ng­êi vËn hµnh c¶ng tÇu thuû quyÕt ®Þnh x©y dùng thiÕt bÞ vËn hµnh míi däc s«ng. Theo mét ph©n tÝch kinh tÕ th× anh ta quyÕt ®Þnh chän thiÕt bÞ chÞu ®­îc lò lín víi l­u l­îng 7500 ft3/s. Ngoµi ra anh ta x¸c ®Þnh r»ng nÕu mét trËn lò lín h¬n vËy x¶y ra trong giai ®o¹n 5 n¨m tíi th× anh ta sÏ cã thÓ söa ch÷a vµ thu l¹i ®­îc lîi nhuËn trong giai ®o¹n 5 n¨m nµy. NÕu x¶y ra nhiÒu h¬n mét trËn lò 3 lín h¬n 7500 ft /s, anh ta sÏ mÊt tiÒn. NÕu x¸c suÊt l­u l­îng lín h¬n 7500 ft3/s hµng n¨m lµ 0,15 th× x¸c suÊt mÊt tiÒn cña ng­êi vËn hµnh sÏ lµ bao nhiªu? Lêi gi¶i. Ký hiÖu X lµ mét biÕn ngÉu nhiªn ®Æc tr­ng cho sè lÇn x¶y ra cña c¸c trËn lò v­ît 7500 ft3/s trong giai ®o¹n 5 n¨m. Mçi n¨m cã thÓ ®­îc xÐt nh­ mét phÐp thö mµ ë ®ã trËn lò lín h¬n 7500 ft3/s cã thÓ x¶y ra hoÆc kh«ng. Do ®ã, kÕt qu¶ c¸c phÐp thö lµ nhÞ ph©n. Giai doËn 5 n¨m ®­îc coi nh­ lµ cã 5 phÐp thö. BiÕn ngÉu nhiªn X trong bµi to¸n nµy cã ph©n phèi nhÞ thøc víi c¸c th«ng sè p = 0,15 vµ n = 5. Ng­êi vËn hµnh sÏ kh«ng mÊt tiÒn nÕu nhiÒu nhÊt lµ mét trËn lò lín h¬n 7500 ft3 /s x¶y ra trong vßng 5 n¨m. X¸c suÊt ®Ó cã nhiÒu nhÊt mét trËn lò nh­ vËy trong 5 n¨m lµ P(Cã nhiÒu nhÊt mét trËn lò lín h¬n 7500 ft3/s trong 5 n¨m)  P( X  1)  P( X  0)  P ( X  1)  5 C 0 (0,15) 0 (1  0,15) 5  5 C1 (0,15)1 (1  0,15) 4  0,4437  0,3915  0,8352 Ph©n phèi Poisson. 5.2.2. Khi n   vµ p  0 cßn np = const, ph©n phèi nhÞ thøc trë thµnh mét ph©n phèi Poisson víi hµm khèi l­îng x¸c suÊt 177
  13. p x   e   x / x!, x  0,1,2,... (5.2.2) trong ®ã tham sè  >0 lµ trung b×nh cña biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X cã ph©n phèi Poisson. Ph©n phèi Poisson ®· ®­îc ¸p dông réng r·i trong viÖc m« h×nh hãa sè sù xuÊt hiÖn cña c¸c biÕn cè trong mét kho¶ng thêi gian hay kh«ng gian x¸c ®Þnh. Ph­¬ng tr×nh 5.2.2 cã thÓ ®­îc chØnh l¹i p x   e  vt vt  / x!, x  0,1,2,... x (5.2.3) trong ®ã tham sè  cã thÓ ®­îc hiÓu lµ tèc ®é trung b×nh cña sù xuÊt hiÖn mét biÕn cè trong kho¶ng thêi gian (0, t). VÝ dô 5.2.2. §¸nh gi¸ l¹i x¸c suÊt ë vÝ dô 5.2.1 sö dông ph©n b« Poisson Lêi gi¶i. Trong vÝ dô 5.2.1 g¶i thiÕt r»ng trËn lò lín h¬n 7500 ft3/s kh«ng thÓ x¶y ra qu¸ mét lÇn trong n¨m. NÕu bë ®iÒu kiÖn nµy ®i vµ cho gi¶ thiÕt lµ cã thÓ cã nhiÒu h¬n mét trËn lò x¶y ra trong 1 n¨m mµ kh«ng quan t©m ®Õn x¸c suÊt nhá bao nhiªu. BiÕn ngÉu nhiªn X cã ph©n phèi Poisson víi c¸c th«ng sè v = np = 5(0,15) = 0,75. Gi¸ trÞ 0,75 thÓ hiÖn kú väng (hay trung b×nh) cña sè lÇn xuÊt hiÖn cña trËn lò lín h¬n 7500 ft3/s trong vßng 5 n¨m. Do ®ã x¸c suÊt ®Ó cã nhiÒu nhÊt mét trËn lò nh­ vËy trong 5 n¨m ®­îc tÝnh nh­ sau P ( X  1)  P ( X  0)  P ( X  1)  e 0,75 (0,75) 0 / 0! e  0,75 (0,75)1 / 1!  0,4724  0,3543  0,8266 So s¸nh gi¸ trÞ nµy víi gi¸ trÞ 0,8352 thu ®­îc tõ vÝ dô tr­íc ®é chªnh lÖch gi÷a hai gi¸ trÞ nµy nhá h¬n mét phÇn tr¨m Sù kh¸c biÖt vÒ x¸c suÊt thu ®­îc tõ hai vÝ dô lµ bá qua ®­îc nÕu gi¸ trÞ cña p nhá. Tuy nhiªm víi gi¶ thiÕt Èn chøa trong ph©n phèi nhÞ thøc r»ng chØ cã duy nhÊt mét trËn lò trong mçi n cã thÓ lµm cho ta thÝch sö dông hµm ph©n phèi Poisson trong ®¸nh gi¸ rñi ro ®èi víi hÇu hÕt c¸c bµi to¸n nguån n­íc. 5.2.3. Ph©n phèi chuÈn Ph©n phèi chuÈn lµ mét ph©n phèi rÊt phæ biÕn, cßn gäi lµ ph©n phèi Gauss. Hai tham sè liªn quan trong ph©n phèi chuÈn lµ trung b×nh vµ ph­¬ng sai. Mét biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn cã gi¸ trÞ trung b×nh  vµ ph­¬ng sai  2 trong tµi liÖu nµy ®­îc ký hiÖu lµ X ~ N(  ,  2 ) víi hµm mËt ®é x¸c suÊt b»ng  1  x   2  1 f x   (5.2.4) víi -  x   exp     ,  2    2    Mét ph©n phèi chuÈn cã d¹ng h×nh chu«ng vµ ®èi xøng qua ®iÓm x =  . Do ®ã, hÖ sè lÖch cña mét biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn lµ b»ng 0, Mét biÕn ngÉu nhiªn Y lµ mét hµm tuyÕn tÝnh cña biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn X th× còng cã ph©n phèi chuÈn. NghÜa lµ, nÕu X ~ N(  ,  2 ) vµ Y = · + b th× Y ~ N( a  b, a 2 2 ). Mét sù më réng cña ®Þnh lý nµy lµ tæng cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn (®éc lËp hay phô thuéc) còng lµ mét biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn víi gi¸ trÞ trung b×nh vµ ph­¬ng sai cã thÓ ®­îc tÝnh b»ng c¸c ph­¬ng tr×nh (5.1.15a) vµ (5.1.22) t­¬ng øng. TÝnh to¸n x¸c suÊt cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn ®­îc lµm b»ng c¸ch ®Çu tiªn chuyÓn sang d¹ng chuÈn hãa Z cña nã lµ 178
  14. Z = (X -  ) /  (5.2.5) trong ®ã Z cã gi¸ trÞ trung b×nh b»ng 0 vµ ph­¬ng sai b»ng 1. V× Z lµ mét hµm tuyÕn tÝnh cña biÕn ngÉu nhiªn X, nªn Z c òng lµ mét ph©n phèi chuÈn. Hµm mËt ®é x¸c suÊt cña Z, gäi lµ ph©n phèi chuÈn chÝnh t¾c, cã thÓ ®­îc biÓu thÞ b»ng  z2  1  z   (5.2.6) víi -  z  exp  ,  2 2 C¸c b¶ng cña c¸c hµm ph©n phèi cña Z n h­ b¶ng 5.2.1, cã thÓ t×m thÊy trong c¸c s¸ch thèng kª (Haan, 1977; Blank, 1980 ; Devore, 1987). Nh÷ng tÝnh to¸n x¸c suÊt cho X ~ N(  ,  2 ) cã thÓ ®­îc thùc hiÖn sö dông X  x P X  x   P    (5.2.7)    PZ  z    z  trong ®ã  z  lµ CDF cña biÕn ngÉu nhiªn chuÈn chÝnh t¾c Z ®­îc x¸c ®Þnh b»ng z   z     s ds (5.2.8)  5.2.4. Ph©n phèi L« ga rÝt chuÈn Ph©n phèi l« ga rÝt chuÈn lµ mét ph©n phèi liªn tôc th­êng ®­îc sö dông khi c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh«ng thÓ lµ sè ©m. Mét biÕn ngÉu nhiªn X ®­îc gäi lµ ph©n phèi l« ga rÝt chuÈn nÕu d¹ng chuyÓn l« ga rÝta cña nã Y = ln(X) cã 2 mét ph©n phèi chuÈn víi gi¸ trÞ trung b×nh  ln X vµ ph­¬ng sai  ln X . Ph©n phèi mËt ®é x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi l« ga rÝt chuÈn lµ 2  1  ln X     1 f X   (5.2.9) ln X exp    víi 0  X   , 2   ln X  2X  ln X       mµ cã thÓ ®­îc lÊy tõ hµm mËt ®é ph©n phèi chuÈn lµ ph­¬ng tr×nh (5.2.4). C¸c ®Æc tr­ng thèng kª cña mét biÕn ngÉu nhiªn l« ga rÝt chuÈn cña tû lÖ gèc cã thÓ ®­îc tÝnh tõ c¸c ®Æc tr­ng cña biÕn ®­îc chuyÓn sang d¹ng l« ga rÝta. §Ó tÝnh c¸c momen thèng kª cña X tõ c¸c momen cña ln X, c¸c c«ng thøc sau lµ h÷u Ých:  X  exp ln X   ln X / 2 2 (5.2.10a)  X   X exp ln X   1 2 2 2 (5.2.10b)    2  exp  ln X  1 2 (5.2.10c) X  X   3  3 X (5.2.10d) X 179
  15. B¶ng 5.2.1   z   P Z  z  C¸c kho¶ng ®­êng cong chuÈn chÝnh t¾c (Devore, 1987) Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 - 3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 - 3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 - 3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 - 3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 - 3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 - 2,9 0,0019 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 - 2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 - 2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 - 2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 - 2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 - 2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 - 2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 - 2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 - 2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 - 2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 - 1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 - 1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 - 1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 - 1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 - 1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 - 1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0722 0,0708 0,0694 0,0681 - 1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 - 1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 - 1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 - 1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 -0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 -0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 -0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 -0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 -0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 -0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 -0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 -0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 -0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 -0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,9315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 180
  16. 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9278 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,929 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9916 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9936 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 Tõ Ph­¬ng tr×nh (5.2.10d) râ rµng lµ c¸c ph©n phèi l« ga rÝt chuÈn lu«n lÖch d­¬ng v×  X  0 . Ng­îc l¹i, c¸c momen thèng kª cña ln X cã thÓ ®­îc tÝnh tõ c¸c momen cña X bëi: 1  2  (5.2.11a)  ln X  ln  X 2  2 1   X   ln X  ln  2  1 2 (5.2.11b) X V× tæng cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn ®­îc ph©n phèi chuÈn, tÝch cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi l« ga rÝt chuÈn còng ph©n phèi l« ga rÝt chuÈn. Mét sè ®Æc tr­ng cña biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi l« ga rÝt chuÈn h÷u Ých lµ: NÕu X lµ mét biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn vµ Y = ·b th×, Y cã 1. ph©n phèi l« ga rÝt chuÈn víi gi¸ trÞ trung b×nh lnY  ln a  bln X vµ ph­¬ng sai  2 ln Y  b 2 2 ln X . NÕu X vµ Y lµ ph©n phèi l« ga rÝt chuÈn ®éc lËp, W=XY cã ph©n phèi 2. l« ga rÝt chuÈn víi gi¸ trÞ trung b×nh  lnW  ln X  ln Y vµ ph­¬ng sai 2 2 2  ln W   ln X   ln Y . 181
  17. NÕu X vµ Y lµ ®éc lËp vµ ph©n phèi l« ga rÝt chuÈn thi R = X/Y lµ 3. ph©n phèi l« ga rÝt chuÈn víi gi¸ trÞ trung b×nh ln R  ln X  lnY vµ 2 2 2 ph­¬ng sai  ln R   ln X   ln Y . VÝ dô 5.2.3. Chuçi sè liÖu c­êng ®é lò cùc ®¹i hµng n¨m ë mét s«ng cã ph©n phèi l« ga rÝt chuÈn víi gi¸ trÞ trung b×nh b»ng 6000 ft3 /s vµ ®é lÖch chuÈn b»ng 4000 ft3/s. (a) X¸c suÊt trong n¨m mµ c­êng ®é lò lín h¬n 7000 ft3/s lµ bao nhiªu? (b) X¸c ®Þnh c­êng ®é lò víi thêi kú lÆp l¹i lµ 100 n¨m. Lêi gi¶i. (a) Gäi Q lµ biÕn ngÉu nhiªn biÓu thÞ c­êng ®é lò lín nhÊt hµng n¨m. V× Q ®­îc gi¶ thiÕt lµ tu©n theo luËt ph©n phèi l« ga rÝt chuÈn, ln(Q) lµ ph©n phèi chuÈn víi gi¸ trÞ trung b×nh vµ ph­¬ng sai cã thÓ ®­îc tÝnh theo ph­¬ng tr×nh (5.2.11ª) vµ (5.2.11b) t­¬ng øng, víi  Q  4000 / 6000  0.667  6000 2  1 ln Q  ln   8,515 2 1  0.667  2  ln Q  ln  0, 667 2  1  0,368 2 X¸c suÊt mµ l­u l­îng lò v­ît qu¸ 7000 ft3/s lµ P  Q  7000   P ln Q  ln  7000     1  P  Z   ln  Q   ln Q  /  ln Q     1  P  Z   ln 7000  8,515 / 0,368      1  P  Z   8,85537  8, 515  / 0,368    1    0,558   1  0, 7368  0, 2632  (b) Mét biÕn cè 100 n¨m trong thñy v¨n biÓu thÞ biÕn cè x¶y ra trung b×nh 100 n¨m 1 lÇn. Do ®ã x¸c suÊt trong mçi n¨m mµ biÕn cè 100 n¨m ®­îc c©n b»ng hay v­ît qu¸, lµ 0,01, tøc lµ, P(Q  q100) = 0,01 trong ®ã q100 lµ l­u l­îng cña lò 100 n¨m. PhÇn nµy cña bµi to¸n lµ x¸c ®Þnh q100, lµ phÇn ®¶o cña phÇn (a). P(Qq100) = 1- P(Qq100) = 0,99 v× vËy P(Qq100)=1-P(lnQlnQ100) = 0,99 0.99  P  Z   ln  q100   ln Q  /  ln Q    0.99  P  Z   ln  q100   8,515  / 0,368      0.99    ln(q100 )  8,515  / 0,368 0.99    z  Tõ B¶ng x¸c suÊt chuÈn chÝnh t¾c 5.2.1, z = 2,33 víi  2.33  0.99 . Lêi gi¶i  ln  q   8,515 / 0,368  2,33 100 víi Èn q100 t×m ra ln(q100) = 9,9284, q100 = 20,505 ft3/s. 5.3. Ph©n tÝch ®é bÊt ®Þnh 182
  18. Trong ph©n tÝch vµ thiÕt kÕ c¸c hÖ thèng nguån n­íc cã nhiÒu sè l­îng cÇn quan t©m cã liªn quan vÒ mÆt chøc n¨ng víi mét sè c¸c biÕn mµ trong ®ã mét sè gi¶ thiÕt lµ bÊt ®Þnh. VÝ dô c¸c c«ng tr×nh thñy lùc th­êng ¸p dông c¸c ph­¬ng tr×nh dßng ch¶y qua ®Ëp lµ Q = CLH1.5 ®Ó tÝnh c«ng suÊt ®Ëp trµn trong ®ã hÖ sè C vµ cét n­íc H ®­îc gi¶ thiÕt lµ bÊt ®Þnh. Nh­ mét hÖ qu¶, l­u l­îng qua ®Ëp trµn lµ kh«ng tÊt ®Þnh. Mét kü thuËt kh¸ râ rµng vµ h÷u dông cho môc ®Ých xÊp xØ nµy lµ ph©n tÝch ®¹o hµm bËc nhÊt vÒ tÝnh bÊt ®Þnh hay ®«i khi ®­îc gäi lµ ph­¬ng ph¸p delta. ViÖc sö dông ph©n tÝch ®¹o hµm bËc nhÊt vÒ tÝnh bÊt ®Þnh lµ kh¸ phæ biÕn trong nhiÒu lÜnh vùc kü thuËt. TÝnh phæ biÕn nh­ vËy nhê cã sù kh«ng rµng buéc t­¬ng ®èi cña nã trong øng dông cho mét ph¹m vi réng c¸c bµi to¸n. C¸c ph©n tÝch ®¹o hµm bËc nhÊt ®­îc sö dông ®Ó ®¸nh gi¸ tÝnh bÊt ®Þnh trong viÖc thiÕt lËp m« h×nh tÊt ®Þnh gåm cã c¸c th«ng sè bÊt ®Þnh (kh«ng biÕt ch¾c ch¾n). Cô thÓ h¬n, ph©n tÝch ®¹o hµm bËc nhÊt cho ta kh¶ n¨ng ®¸nh gi¸ gi¸ trÞ trung b×nh vµ ph­¬ng sai cña mét biÕn ngÉu nhiªn cã liªn quan b»ng quan hÖ hµm sè víi mét sè biÕn kh¸c, mét sè trong ®ã lµ ngÉu nhiªn. B»ng viÖc sö dông ph©n tÝch ®¹o hµm bËc nhÊt, ¶nh h­ëng kÕt hîp cña tÝnh bÊt ®Þnh trong mét thiÕt lËp m« h×nh, còng nh­ viÖc sö dông c¸c tham sè bÊt ®Þnh, cã thÓ ®­îc ®¸nh gi¸. Ph©n tÝch ®¹o hµm bËc nhÊt cho c¸c bµi to¸n kü thuËt d©n sù ®· ®­îc tr×nh bµy bëi Benjamin and Cornell (1970), Ang and Tang (1979) vµ Harr (1987). Ph­¬ng ph¸p nµy ®· ®­îc ¸p dông cho nhiÒu bµi to¸n kh¸c nhau trong c¸c lÜnh vùc thñy lùc, thñy v¨n vµ chÊt l­îng n­íc (Burges and Lettenmaier, 1975; Tang et al., 1975; Tung and Mays, 1980, 1981; Brown and Barnwell, 1987; Virjling, 1987; Chow et al., 1988 ; Tung and Hathhorn, 1988). XÐt mét biÕn ngÉu nhiªn Y, lµ mét hµm cña k biÕn ngÉu nhiªn (tr­êng hîp nhiÒu biÕn). VÒ mÆt to¸n häc, Y cã thÓ ®­îc biÓu diÔn b»ng Y = g(X) (5.3.1) trong ®ã X = (X1, X 2, ..., Xk) lµ mét vector gåm k biÕn ngÉu nhiªn Xi. Th«ng qua sö dông khai triÓn Taylor, vÒ c¸c gi¸ trÞ trung b×nh cña k biÕn ngÉu nhiªn, xÊp xØ bËc nhÊt cña biÕn ngÉu nhiªn Y cã thÓ ®­îc biÓu diÔn b»ng  g  X   k    Y  g x  X i  xi  i 1  X i  X  x (5.3.2)   2 g X   k k       X i  x i X j  x j  ...  i 1 j 1  X i X j    X x trong ®ã x  x1 , x 2 ,..., x k  , mét vector gåm c¸c gi¸ trÞ trung b×nh cña k biÕn ngÉu nhiªn. XÊp xØ bËc nhÊt bá qua c¸c sè h¹ng bËc hai vµ bËc cao h¬n vµ ph­¬ng tr×nh (5.3.2) cã thÓ ®­îc rót gän thµnh : 183
  19. k  g     Y  g x    (5.3.3)  X i  xi i 1  X i  x  g  trong ®ã   ®­îc gäi lµ hÖ sè nh¹y biÓu thÞ tèc ®é thay ®æi cña gi¸ trÞ hµm  X i  x g(x) t¹i x  x . Gi¸ trÞ trung b×nh (gi¸ trÞ kú väng) cña biÕn ngÉu nhiªn Y, sö dông ph­¬ng tr×nh (5.1.15a), xÊp xØ b»ng  Y  EY   g x (5.3.4) Ph­¬ng sai cña Y cã thÓ ®­îc xÊp xØ b»ng   k  g       Var Y   Var g x  Var    X i  xi   i 1  X i   Sè h¹ng Var g x   0 víi g x  lµ mét h»ng sè khi c¸c gi¸ trÞ trung b×nh cña x ®­îc sö dông. Ph­¬ng tr×nh trªn rót gän thµnh : k    Var Y   0  Var  ai X i  x i   i1   g  trong ®ã ai    . Sö dông ph­¬ng tr×nh (5.1.22), ph­¬ng sai cña Y cã thÓ  X i  x ®­îc xÊp xØ b»ng: k k k  a a CovX , X   Y2  Var Y    ai2 i2  2 (5.3.5) i j i j  i 1 i j trong ®ã  i2 lµ ph­¬ng sai t­¬ng øng víi biÕn ngÉu nhiªn Xi. NÕu c¸c Xi kh«ng t­¬ng quan, tøc lµ Cov[Xi, Xj] = 0, th× ph­¬ng tr×nh (5.3.5) rót gän thµnh k  Y2   ai2 i2 (5.3.6) i 1 Ph­¬ng tr×nh (5.3.6) cã thÓ ®­îc biÓu thÞ d­íi d¹ng hÖ sè biÕn thiªn 2  b»ng c¸ch chia c¶ hai vÕ cho Y 2 k  xi 2 2 2   a  (5.3.7)  Xi   Y i Y  i 1 C¸c ph­¬ng tr×nh (5.3.6) hay (5.3.7) chøa thµnh phÇn t­¬ng ®èi, ai2 i2 , cña tõng thµnh phÇn ngÉu nhiªn víi toµn bé tÝnh bÊt ®Þnh cña ®Çu ra m« h×nh Y. Th«ng tin nh­ vËy cã thÓ ®­îc vËn dông ®Ó thiÕt kÕ c¸c ®o ®¹c ®Ó gi¶m tÝnh bÊt ®Þnh hay ®Ó cùc tiÓu hãa c¸c ¶nh h­ëng cña tÝnh bÊt ®Þnh. VÝ dô 5.3.1. Th«ng th­êng ng­êi ta sö dông c«ng thøc Manning ®Ó tÝnh suÊt chuyÓn n­íc trong kªnh hë. SuÊt chuyÓn n­íc sö dông c«ng thøc Manning ®­îc m« ta lµ 184
  20. Q  1.49n1S 1/ 2 A5 / 3 P2 / 3 trong ®ã P lµ chu vi ­ít. Do tån t¹i c¸c ®é bÊt ®Þnh trong c¸c ­íc l­îng c¸c gi¸ trÞ cña hÖ sè nh¸m, ®é dèc ®¸y kªnh, mÆt c¾t ngang, vµ chu vi ­ít, suÊt chuyÓn n­íc còng liªn quan ®Õn ®é bÊt ®Þnh. Gi¶ thiÕt lµ ®é bÊt ®Þnh trong ­íc l­îng A vµ P cã thÓ bá qua trong khi ®é bÊt ®Þnh cña hÖ sè nh¸m vµ ®é ®èc kªnh lµ quan träng. ¸p dông ph©n tÝch ®¹o hµm bËc nhÊt ®Ó diÔn Lêi gi¶i ra c«ng thøc tÝnh ®é bÊt ®Þnh cña Q th«ng qua ®é bÊt ®Þnh cña hÖ sè nh¸m Manning n vµ ®é dèc kªnh S. Lêi gi¶i. V× A vµ P ®­îc xem lµ tÊt ®Þnh kh«ng cã tÝnh bÊt ®Þnh, chóng cã thÓ ®­îc kÕt hîp thµnh mét sè h¹ng h»ng sè, K = 1,49A5/3P-2/3 ®Ó biÓu diÔn Q = K n-1 S1/2 XÊp xØ bËc nhÊt cña gi¸ trÞ trung b×nh cña Q sö dông c«ng thøc Manning cã thÓ ®­îc x¸c ®Þnh sö dông ph­¬ng tr×nh (5.3.3)  Q   Q  QQ   (n  n)    (S  S )  n  ( n ,S )  S  ( n, S ) 2 1  Q    K n S 1 / 2  ( n  n)  0.5K n S 1 / 2  ( S  S )         1 trong ®ã Q  K n S 1 / 2 . Ph­¬ng sai cña suÊt chuyÓn n­íc cã thÓ thu ®­îc b»ng c¸ch ¸p dông phÐp to¸n ph­¬ng sai cho ph­¬ng tr×nh nµy víi gi¶ thiÕt n vµ S lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, 2 2  Q   Q  2 2 2 Q    n    S n  ( n ,S ) S  ( n, S )    Q   Q  trong ®ã   vµ  S  lµ c¸c hÖ sè nhËy. B»ng mét c¸ch kh¸c, ®é bÊt ®Þnh cña Q th«ng qua hÖ sè  n   biÕn thiªn cã thÓ ®­îc diÔn Lêi gi¶i b»ng viÖc sö dông ph­¬ng tr×nh (5.3.7) víi X1 = n vµ X2 = S nh­ sau 2 2  Q    xi  2 2      xi  Q  X i    Q  2 2 2 2  Q   n  2  Q   S  2      n      s  n   Q   S   Q  2   K S 1/ 2   n  2 2 2  0,5 K   S  2 2      n   1/ 2     s  n  Q   nS   Q    2 2   K S 1/ 2   1  2 2 2 K  S    2   n   0,5  1/ 2     2 2  s  Q  n   nS   Q    2 1 1 2   n   2   2  0, 25    S   2  S    n s n    2  0, 25 2 n s 5.4. Nh÷ng tÝnh to¸n ®é tin cËy sö dông ph©n tÝch t¶i träng - søc t¶i 185
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học