- Trang Chủ
- Ôn thi ĐH-CĐ
- KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán 12. Khối B − D TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
Xem mẫu
- TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán 12. Khối B − D
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm)
Câu I. (2,5 điểm) Cho hàm số y = − x 3 − 3x 2 + 4 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) .
2. Với những giá trị nào của m thì đường thẳng nối hai cực trị đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với
đường tròn ( C ) : ( x − m ) + ( y − m − 1) = 5
2 2
Câu II. (2,5 điểm)
1. Giải phương trình: 3 ( 2cos 2 x + cos x − 2 ) + sin x ( 3 − 2cos x ) = 0
x 2 + 8 y 2 = 12
2. Giải hệ phương trình: 3 ( x, y ∈ ℝ )
x + 2 xy + 12 y = 0
2
x + 7 − 5 − x2
3
Câu III. (1,0 điểm) Tìm giới hạn: L = lim
x→1 x −1
Câu IV. (1,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , AD = 3a; AB = 2a; AC = 4a,
BAC = 600 .Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và CD . Đường thẳng
HK cắt đường thẳng AD tại E .Chứng minh rằng BE vuông góc với CD và tính thể tích khối tứ
diện BCDE theo a.
Câu V. (1,0 điểm)
2 x − 1− x + 4
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
x + 1− x + 2
PHẦN RIÊNG (2,0 điểm).Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có B(−2;1) , đường thẳng chứa cạnh AC có phương trình:
2 x + y + 1 = 0 , đường thẳng chứa trung tuyến AM có phương trình: 3x + 2 y + 3 = 0 . Tính diện tích của
tam giác ABC .
Câu VII.a. (1,0 điểm) Tính tổng: S = C2012 + 2C2012 + 3C2012 + 4C2012 + ... + 2013C2012
0 1 2 3 2012
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm E ( −1;0 ) và đường tròn
(C ) : x 2 + y 2 − 8 x − 4 y − 16 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt đường tròn ( C )
theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất.
Câu VIIb. (1,0 điểm)
1
- ( )
2n
Cho khai triển Niutơn 1 − 3x = a0 + a1 x + a2 x 2 + ⋯ + a 2 n x 2 n , n ∈ ℕ* .Tính hệ số a9 biết n thoả
2 14 1
mãn hệ thức: 2
+ 3= .
Cn 3Cn n
----------Hết----------
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán; Khối:B+ D
(Đáp án – thang điểm: gồm 05 trang)
Câu Đáp án Điểm
I 1. (1,0 điểm)
(2,0 điểm) y = − x3 − 3x 2 + 4
+ Tập xác định: D = ℝ
+ Sự biến thiên:
x = −2
- Chiều biến thiên: y ' = −3 x 2 − 6 x, y ' = 0 ⇔ 0,25
x = 0
Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −2 ) và ( 0;+∞ ) , đồng
biến trên khoảng ( −2;0 ) .
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = y(0) = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2; yCT = y( −2) = 0
0,25
- Giới hạn: lim y = +∞; lim y = −∞
x →−∞ x →+∞
- Bảng biến thiên:
x −∞ -2 0 +∞
y, − 0 + 0
−
+∞ 4
0,25
y
0
−∞
+ Đồ thị
0,25
2. (1,0 điểm)
Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu A ( −2;0 ) ,cực đại B ( 0;4 ) .Phương trình đường
0,50
2
- x y
thẳng nối hai cực trị của hàm số (1) là: ( AB ) : + =1
−2 4
⇔ ( AB ) : 2 x − y + 4 = 0
( C ) : ( x − m ) + ( y − m − 1) = 5 có tâm I ( m; m + 1) bán kính R = 5
2 2
Đường thẳng ( AB ) tiếp xúc với đường tròn ( C ) ⇔ d ( I ; ( AB ) ) = R
2m − ( m + 1) + 4 m = −8 0,50
⇔ = 5 ⇔ m+3 =5⇔
22 + ( −1) m = 2
2
Đáp số : m = −8 hay m = 2
Câu II 1.( 1,25điểm)
(2,5điểm Pt: 3 ( 2cos 2 x + cos x − 2 ) + sin x ( 3 − 2cos x ) = 0
)
⇔ 2 3 (1 − sin 2 x ) + 3 cos x − 2 3 + 3sin x − 2sin x cos x = 0
( ) ( )
0,50
3 sin x 3 − 2sin x + cos x 3 − 2sin x = 0
3 − 2sin x = 0
( 3 − 2sin x )( )
3 sin x + cos x = 0 ⇔
3 sin x + cos x = 0
0,25
π
3 x = 3 + k 2π
sin x =
2 ⇔ x = 2π + k 2π
(k ∈ Z) 0,25
1 3
tan x = − 3
x = − π + kπ
6
π 2π π
Phương trình có ba họ nghiệm x = + k 2π; x = + k 2π; x = − + k π
3 3 6 0,25
(k ∈ Z)
2.( 1,25 điểm)
x 2 + 8 y 2 = 12 (*)
Hệ phương trình 3
x + 2 xy + 12 y = 0 (**)
2
0,25
Thế (*) vào (**) ta được: x 3 + 2 xy 2 + ( x 2 + 8 y 2 ) y = 0
⇔ x 3 + 8 y 3 + xy ( x + 2 y ) = 0 ⇔ ( x + 2 y ) ( x 2 − 2 xy + 4 y 2 + xy ) = 0 0,25
Trường hợp 1: x + 2 y = 0 ⇔ x = −2 y thế vào (*) ta được
0,25
12 y 2 = 12 ⇔ y 2 = 1 ⇔ y = ±1 ⇒ x = ∓2
3
- 2 y = 0
y 15 y 2
Trường hợp 2: x − xy + 4 y = 0 ⇔ x − +
2 2
=0⇔ y
2 4 x − 2 = 0
0,25
⇒ x = y = 0 không thoả mãn (*) hệ vn
Đáp số: ( x; y ) = ( 2; −1) , ( −2;1) 0,25
Câu III (1,0 điểm)
3
x + 7 − 5 − x2 3
x+7 −2 2 − 5 − x2
L = lim = lim + lim 0,25
x→1 x −1 x→1 x −1 x→1 x −1
= lim
x + 7 − 23
+ lim
( )
22 − 5 − x 2
x→1
( x − 1) (
)
(
3 x + 7 2 + 2 3 x + 7 + 4 x→1 ( x − 1) 2 + 5 − x 2
) 0,25
1 x +1 1 1 7
= lim + lim = + =
x→1 3
( x + 7) + 2 x + 7 + 4
2 3
(
x→1 2 + 5 − x 2
) 12 2 12 0,25
7
Vậ y : L = 0,25
12
Câu IV (1,0 điểm)
Vì BH ⊥ AC ; BH ⊥ AD ⇒ BH ⊥ ( ACD ) ⇒ BH ⊥ CD
0,25
mà BK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( BHK ) ⇒ CD ⊥ BE
1 1 3
Từ gt ta có S ∆ABC =AB ⋅ AC ⋅ sin 600 = 8a 2 = 2 3a 2
2 2 2 0,25
1
AH = AB cos 600 = 2a. = a
2
Vì CD ⊥ ( BHK ) ⇒ CD ⊥ KE ⇒ ∆AEH ∼ ∆ACD do đó
AE AH AH ⋅ AC 4a 4a 13a 0,25
= ⇒ AE = = ⇒ DE = + 3a =
AC AD AD 3 3 3
1 1 13a 26 3 ⋅ a 3
VBCDE = VD. ABC + VE . ABC = ⋅ DE ⋅ S ∆ABC = ⋅ ⋅ 2 3a 2 = 0,25
2 3 3 9
Câu V (1,0 điểm)
2 x − 1− x + 4
y= Tập xác định của hàm số là D = [ 0;1]
x + 1− x + 2
x = cos t π
Đặt t ∈ 0; 0,25
1 − x = sin t 2
2cos t − sin t + 4 π
Khi đó y = = f ( t ) với t ∈ 0; 0,25
cos t + sin t + 2 2
4
- 2cos t − sin t + 4 π
xét hàm số f ( t ) = với t ∈ 0;
cos t + sin t + 2 2
−3 − 6cos t π
f ' (t ) = < 0∀t ∈ 0; vậy hàm số f ( t ) liên tục và 0,25
( )
sin t + cos t + 2
2
2
π
nghịch biến trên đoạn 0;
2
π π π
do đó f ≤ f ( t ) ≤ f ( 0 ) ∀t ∈ 0; ⇔ 1 ≤ f ( t ) ≤ 2∀t ∈ 0;
2 2 2
giá trị lớn nhất của y = max f ( t ) = f ( 0 ) = 2 ⇔ t = 0 ⇔ x = 0 0,25
π π
giá trị nhỏ nhất của y = min f ( t ) = f = 1 ⇔ t = ⇔ x = 1
2 2
câu VIA (1,0 điểm)
a−2
Do C ∈ dt : 2 x + y + 1 = 0 ⇒ C (a, −2a − 1) ⇒ M , −a
2
M ∈ dt : 3x + 2 y + 3 = 0 ⇒ a = 0 ⇒ C (0, −1) .
0,50
Toạ độ A là nghiệm hệ
3 x + 2 y + 3 = 0
⇒ A(1, −3) ⇒ AC (−1, 2) ⇒ AC = 5
2 x + y + 1 = 0
Kẻ BH ⊥ AC ( H ∈ AC )
0,50
−4 + 1 + 1 2 1
BH = d ( B, AC ) = = ⇒ S ABC = AC.BH = 1 (dvdt).
5 5 2
Vậy S ABC = 1 (dvdt).
Câu 7A (1,0điểm )
S = C2012 + 2C2012 + 3C2012 + 4C2012 + ... + 2013C2012
0 1 2 3 2012
2012!
Ta có ( k + 1) C2012 = kC2012 + C2012 = k
k k k
+ C2012 = 2012C2011 + C2012
k k −1 k
k !( 2012 − k )! 0,25
với ∀k = 0,1, 2,..., 2012
5
- S = 2012 ( C2011 + C2011 + ⋯ + C2011 ) + ( C2012 + C2012 + ⋯ + C2012 )
0 1 2011 0 1 2012
0,25
S = 2012 (1 + 1) + (1 + 1) = 2012 ⋅ 22011 + 2 2012 = 1007 ⋅ 22012
2011 2012
0,25
Vậy S = 1007 ⋅ 22012 0,25
Câu VI B (1,0 điểm)
Đường tròn (C ) có bán kính R = 6 và tâm
I (4; 2)
Khi đó: IE = 29 < 6 = R, suy ra điểm
E nằm trong hình tròn (C ) .
0,50
Giả sử đường thẳng ∆ đi qua E cắt (C ) tại
M và N . Kẻ IH ⊥ ∆ .
Ta có IH = d ( I , ∆) ≤ IE .
Như vậy để MN ngắn nhất ⇔ IH dài nhất ⇔ H ≡ E ⇔ ∆ đi qua E và
0,25
vuông góc với IE
Ta có EI = (5; 2) nên đường thẳng ∆ đi qua E và vuông góc với IE có
phương trình là: 5( x + 1) + 2 y = 0 ⇔ 5 x + 2 y + 5 = 0 . 0,25
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình: 5 x + 2 y + 5 = 0 .
Câu 7B (1,0 điểm )
( )
2n
…. 1 − 3x = a0 + a1 x + a2 x 2 + ⋯ + a 2 n x 2 n , n ∈ ℕ* .
2 14 1
Tính hệ số a9 biết n thoả mãn hệ thức: 2
+ 3= .
Cn 3Cn n
Điều kiện n ∈ ℕ* , n ≥ 3
2 14 1 4 28 1
GT ⇔ + = ⇔ + =
n!
3
n! n n ( n − 1) n ( n − 1)( n − 2 ) n 0,50
2!( n − 2 )! 3!( n − 3)!
n ≥ 3
⇔ 2 ⇔n=9 0,25
n − 7 n − 18 = 0
( )
18 k
( −1)
18
Từ đó 1 − 3x = ∑C k k
18 3 xk
2
k =0 0,25
Do đó hệ số của a9 = −81C 9
18 3 = −3938220 3
Lưu ý khi chấm bài:
-Đáp án trình bày một cách giải gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh.
Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
6
- -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không
được điểm.
-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
---------- Hết ----------
7
nguon tai.lieu . vn