Hướng dẫn giải đề thi HSG tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2017-2018

Người giải đề: N.V.Sơn. DĐ: 01202626549

H­íng dÉn gi¶i ®Ò thi häc sinh giái thõa thiªn huÕ
n¨m häc 2017 - 2018. (Lêi gi¶i gåm 07 trang)
2x  m
,  Hm .
mx  1
a) Khi m  1, hµm sè ®· cho cã ®å thÞ  H1  c¾t hai trôc Ox, Oy lÇn l­ît t¹i hai ®iÓm A vµ
B. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OAB.
b) Chøng minh r»ng víi mäi m  0 th× ®å thÞ hµm sè  H m  c¾t ®­êng th¼ng

C©u 1: (4,0 ®iÓm) Cho hµm sè y 

 d  : y  2 x  2m t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt C, D thuéc mét ®­êng  H  cè ®Þnh.
th¼ng  d  c¾t Ox, Oy lÇn l­ît t¹i c¸c ®iÓm M , N . T×m m ®Ó SOCD  3SOMN .

§­êng

H­íng dÉn gi¶i:
2x 1
a) Khi . m  1, . hµm sè ®· cho trë thµnh: y 
 H1  .
x 1
 A   H1   Ox
1

1 
Gäi 
 A  ;0  , B  0; 1  OA  ; OB  1.
2
2 
 B   H1   Oy


1
1 1
1
Tam gi¸c OAB vu«ng t¹i O nªn: SOAB  OA.OB  . .1 
(®vdt).
2
2 2
4
b) Ph­¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña  H m  vµ  d  lµ:

2x  m
 mx  1  0
 2 x  2m  
mx  1
 2 x  m   2 x  2m  mx  1


(I )

1
1


x  
x  

Víi m  0 th× . ( I )  
.
m
m
2
2
2
2mx  2m x  m  0
2 x  2mx  1  0 (*)


2

2
 1
 1
Ph­¬ng tr×nh (*) cã   m  2  0, m  0 vµ: 2.     2m.     1  2  1  0, m  0
m
 m
 m
1
Suy ra m  0 ph­¬ng tr×nh (*) lu«n cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt ®Òu kh¸c  .
m
VËy m  0 th×  H m  vµ  d  lu«n c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt.
2

 x1  x2  m
1

*Gäi x1 , x2 lµ 2 nghiÖm cña (*), theo ®Þnh lÝ Vi-Ðt th×: 
.
1  x2  
2 x1
 x1 x2   2

Gäi C  x1 ; y1  , D  x2 ; y2  lµ 2 giao ®iÓm cña  H m  vµ  d  .
 1  1
Ta cã: y1  2 x1  2m  2 x1  2  x1  x2   2 x2  2.  
 .
 2 x1  x1
1
1
T­¬ng tù y2  . VËy hai ®iÓm C , D n»m trªn ®å thÞ hµm sè y 
x2
x

1

 H  . (§PCM)

Giải đề thi HSG TTHuế năm 2017 - 2018
 M   d   Ox

*Ta cã: 
 M  m; 0  , N  0; 2m   OM  m ; ON  2m  2 m .
 N   d   Oy

1
1
Khi ®ã SOMN  OM .ON  m .2 m  m 2 .
2
2


1  2 1 
Ta cã OC.OD   x12  2  x2  2  
x1 
x2 




4
2
 x14  x2  x12  x2



2

x

4
1



  x x 

4
 1 x2  1
2
x12 x2

4

1 2

4
 1  x14  x2

 x1 x2 

2

2
2
1
1
2
2
2
 2  x1 x2    x1  x2   2 x1 x2   2  x1 x2   m 2  1   m 4  2m 2  .


2
2





1
1
 1  m 4  2m 2 
2  4m 4  8m 2  25 .
VËy OC.OD  16
1
4
4

Ta cã SOCD  3SOMN 

1
25
4m 4  8m 2 
 3m 2
2
4

 128m 4  32m 2  25  0  m 2 

23 6
23 6
m
.
16
4

C©u 2: (4,0 ®iÓm)
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau:

1



cos  x  
2






1


 4 cos  x   .
4
 3


sin 
 x
 2








b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau: 5 1  1  x3  x 2 4 x 2  25 x  18 , x  0.
H­íng dÉn gi¶i:
 

cos  x  2   0
sin x  0

 

a) §iÒu kiÖn 

xk
2
 cos x  0
sin  3  x   0


  2


Víi ®iÒu kiÖn ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi:

 k  .



 x   4  k
 tan x  1

cos x  sin x  0
1
1



 2 2  cos x  sin x   

1   x   k


sin x cos x
8
 2 2 sin x cos x  1 sin 2 x  2


 x  3  k

8

§èi chiÕu víi §K ta ®­îc ph­¬ng tr×nh cã 3 hä nghiÖm lµ: x  

x

3
 k
8

k   .
2


4

 k ; x 


8

k  

 k ;

Người giải đề: N.V.Sơn. DĐ: 01202626549
b) C¸ch 1: §­a vÒ hµm ®Æc tr­ng.
Ph­¬ng tr×nh (1) t­¬ng ®­¬ng víi:
5  5 1  x3  4 x 4  25 x3  18 x 2

 
 25 1  x   5

 25 1  x3  5 1  x3  4 x 4  18 x 2  20
2



3

 

1  x3  2 x 2  4  2 x 2  4



(*)

a  5 1  x 3  0

*§Æt 
khi ®ã PT(*) trë thµnh:
2
b  2 x  4  0

a 2  a  b 2  b   a  b  a  b  1  0  a  b.

*Víi a  b ta cã: 5 1  x3  2 x 2  4  5 (1  x)(1  x  x 2 )  2(1  x)  2(1  x  x 2 )

 1  x  2 1  x  x2
5  37

 x2  5x  3  0  x 
2
2
2 1  x  1  x  x

C¸ch 2: Nh©n liªn hîp.

 x  0 .

(1)  5 1  x3  10 1  x   4 x 4  25 x3  18 x 2  5  10 1  x 
 5 1 x





1  x  x 2  2 1  x  4 x 4  25 x3  18 x 2  10 x  15

x

 5 1 x.

2

 5x  3







 x2  5x  3 4 x2  5x  5

2

1 x  x  2 1 x

 2
5  37
 x  5x  3  0  x 
2


5 1 x
 4 x2  5x  5

2
 1 x  x  2 1 x
Ta cã: (**) 

1  x  2 1  x  x2
2 1 x  1 x  x



2



1 x  x

 4 x2  5x  3  0

(**)

 4 x2  5x  3

 4x2  5x  3

2 1 x 



2





1 x  2 1 x  x

2



 4x2  5x  3

(VN )

C©u 3: (4,0 ®iÓm)
 x3  y 3  3 y 2  x  4 y  2  0
(1)

a) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau:  3
 x, y    .
(2)
x  x  3  2 x  2  y

b) Cã 30 tÊm thÎ ®­îc ®¸nh sè tõ 1 tíi 30. Rót ngÉu nhiªn 3 thÎ. TÝnh x¸c xuÊt ®Ó tæng sè
ghi trªn 3 thÎ chia hÕt cho 3.

H­íng dÉn gi¶i:
a) §iÒu kiÖn x  2; y  .
3

Ta cã: (1)  x3  x  y 3  3 y 2  4 y  2  x 3  x   y  1   y  1
3

Giải đề thi HSG TTHuế năm 2017 - 2018
3

 x3   y  1   x  y  1  0
2
  x  y  1  x 2  x( y  1)   y  1  1  0


 y  x  1.

Thay y  x  1 vµo (2) ta cã: x3  x  3  2 x  2  x  1





 x3  4  2 x  2  x3  8  2 x  2  4   x  2  x 2  2 x  4 
x  2
 2
2
 x  2x  4 

2 x2


2  x  2
x2 2

(*)

2
 1 nªn PT(*) v« nghiÖm.
2 x2
Víi x  2  y  3. VËy hÖ ®· cho cã 1 nghiÖm lµ:  x; y    2;3 .
2

Víi mäi x  2 ta cã VT (*)   x  1  3  3; VP(*) 

b) Gäi A lµ biÕn cè: “Rót ngÉu nhiªn 3 thÎ mang c¸c sè cã tæng chia hÕt cho 3”.
3
Ta cã n     C30 .
*Ta chia 30 thÎ ®­îc ®¸nh sè tõ 1 tíi 30 lµm 3 lo¹i sau:
Lo¹i 1: 10 thÎ mang sè chia cho 3 d­ 1;
Lo¹i 2: 10 thÎ mang sè chia cho 3 d­ 2;
Lo¹i 3: 10 thÎ mang sè chia hÕt cho 3;
*Rót 3 thÎ mang sè cã tæng chia hÕt cho 3 x¶y ra c¸c tr­êng hîp sau:
3
TH1: 3 thÎ ®ã ®Òu lµ thÎ lo¹i 1 cã: C10 c¸ch
3
TH2: 3 thÎ ®ã ®Òu lµ thÎ lo¹i 2 cã: C10 c¸ch
3
TH3: 3 thÎ ®ã ®Òu lµ thÎ lo¹i 3 cã: C10 c¸ch

TH4: 3 thÎ ®ã gåm 1 thÎ lo¹i 1; 1 thÎ lo¹i 2 vµ 1 thÎ lo¹i 3 th× cã: 10.10.10  1000 c¸ch.
3
n  A  3C10  1000 68


.
X¸c suÊt cña biÕn cè A lµ: P  A  
3
n 
C30
203
C©u 4: (3,0 ®iÓm)
2

2

Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy, cho ®­êng trßn  C  :  x  1   y  2   5 vµ ®iÓm M  6; 2  .
a) Chøng minh ®iÓm M n»m ngoµi ®­êng trßn  C  .
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua M c¾t

C 

t¹i hai ®iÓm A, B sao cho

MA2  MB 2  50.
H­íng dÉn gi¶i:
a) §­êng trßn  C  cã t©m I 1; 2  , b¸n kÝnh R  5.


Ta cã: IM   5; 0   IM  5  5  R. VËy ®iÓm M n»m ngoµi ®­êng trßn  C  .
b) Gäi H lµ trung ®iÓm cña AB. Ta cã IH  AB.

4

Người giải đề: N.V.Sơn. DĐ: 01202626549

I

H

B

  2  




 MA2  MB 2  MH  HA  MH  HB



 



A

  



 2 MH 2  HA2  HB 2  2 MH . HA  HB

2





 

 2 MH 2  2 HA2  2 IM 2  IH 2  2 IA2  IH 2
2

2

 2 IM  2 IA  4 IH

d

M





2

 50  10  4 IH 2  60  4 IH 2

10
Ta cã MA2  MB 2  50  60  4 IH 2  50  IH 
.
2

Gäi n   a; b  a 2  b 2  0 lµ mét vect¬ ph¸p tuyÕn cña ®­êng th¼ng d cÇn t×m.





Ph­¬ng trinh tæng qu¸t ®­êng th¼ng d lµ: a  x  6   b  y  2   0 .

b  3a
10
 b 2  9a 2  
2
a b
b  3a
*Víi b  3a th× ph­¬ng tr×nh d lµ:  x  6   3  y  2   0  x  3 y  12  0
Ta cã IH  d  I ; d  

5a
2

2



*Víi b  3a th× ph­¬ng tr×nh d lµ:  x  6   3  y  2   0  x  3 y  0
C©u 5: (3,0 ®iÓm)
Cho h×nh chãp S . ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi c¹nh a, SA  SB  SC  a vµ
SD  x  a  0; x  0 
a) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S . ABCD theo a vµ x.
b) TÝnh x theo a ®Ó thÓ tÝch khèi chãp S . ABCD lín nhÊt.
H­íng dÉn gi¶i:
S

a
a
a
x
a

A

B
a

O
D

a

C

a) Gäi O  AC  BD.
*Tam gi¸c SAC c©n t¹i S cã SO lµ trung tuyÕn nªn: SO  AC (1)
* ABCD lµ h×nh thoi nªn BD  AC (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: AC   SBD  .
5