Xem mẫu
- TRẦN CÔNG NGHỊ
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
VÀ
CƠ HỌC KẾT CẤU
(TÀI LIỆU HỌC TẬP DÀNH CHO SINH VIÊN
KHOA ĐÓNG TÀU VÀ CÔNG TRÌNH NỔI)
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 6 – 2009
ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH
- Trang này để trống
3
- Chương 1
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Tóm tắt
Phương trình cân bằng:
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz ⎫
+ + X = 0⎪
+
∂y ∂z
∂x ⎪
∂σ y ∂τ yx ∂τ yz ⎪
+ Y = 0⎬
+
+ (1.1)
∂z
∂x
∂y ⎪
∂τ yz
∂σ z ∂τ zx ⎪
+ Z = 0⎪
+ +
∂y
∂z ∂x ⎭
trong đó X, Y, Z – lực khối.
∂u ⎫
εx = ⎪
∂x
⎪
∂v
εy = ⎪
∂y ⎪
∂w ⎪
εz = ⎪
∂z ⎪
Phương trình biến dạng: (1.2)
⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎬
γ xy = ⎜ + ⎟ ⎪
⎜ ∂y ∂x ⎟
⎝ ⎠⎪
⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎪
γ yz = ⎜ + ⎟ ⎪
⎜ ∂z ∂y ⎟
⎝ ⎠⎪
∂u ∂w ⎞ ⎪
⎛
γ zx = ⎜ + ⎟⎪
⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎭
Điều kiện tương hợp (liên tục):
∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞⎫
∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy ⎫ ∂ 2ε x
2 2
= ⎜− ⎟⎪
+ +
2
=
+ ⎪
∂y∂z ∂x ⎜ ∂x ∂z ⎟⎪
∂y
∂x∂y ⎪
∂x
∂y 2 2
⎝ ⎠
∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞ ⎪
∂ 2ε y
∂ 2 ε y ∂ 2 ε z ∂ 2γ yz ⎪ ∂⎛
⎪ ⎪
=⎜ ⎜ ∂x − ∂y + ∂z ⎟ ⎬
+ = ⎬ và 2 (1.3)
⎟
∂x∂z ∂y ⎝
∂y∂z ⎪
∂z ∂y
2 2
⎠⎪
∂ ε z ∂ ε x ∂ γ xz ⎪ ⎛ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞ ⎪
2 2
2
∂ εz ∂
2
+ = =⎜ ⎟⎪
+ −
2
∂x∂z ⎪ ∂x∂y ∂z ⎜ ∂x ∂z ⎟ ⎪
∂x 2 ∂z 2 ∂y
⎪ ⎝ ⎠⎭
⎭
Công thức chuyển của tensor ứng suất. Nếu ký hiệu ma trận các cosin góc giữa hai hệ trục là
[c], tensor ứng suất điểm trong hệ tọa độ Oxyz là [σ], tensor ứng suất trong hệ tọa độ mới [σ∗] tính
theo công thức:
[σ ] = [c][σ ][c]
T
*
(1.4)
4
- ⎡σ x τ xy τ xz ⎤
⎡c xx* c xz* ⎤
c xy*
⎢ ⎥
[σ ] = ⎢τ xy σ y τ yz ⎥
với [c ] = ⎢c yx* c yy* c yz* ⎥; ⎢ ⎥
⎢ c zx* c zz* ⎥ ⎢τ xz τ yz σ z ⎥
c zy*
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Ứng suất chính xác định từ phương trình:
(σ x − σ )k + τ yx l + τ zx m = 0⎫
⎪
τ xy k + (σ y − σ )l + τ zy m = 0⎬ (1.5)
τ xz k + τ yz l + (σ z − σ )m = 0 ⎪
⎭
hoặc dưới dạng ma trận:
⎡σ x − σ τ xy τ xz ⎤ ⎧ k ⎫
⎢ ⎥⎪ ⎪
⎢ τ yx σ y −σ τ yz ⎥ ⎨ l ⎬ = {0} (1.6)
σ z − σ ⎥ ⎪m ⎪
⎢ τ zx τ zy ⎦⎩ ⎭
⎣
trong đó tổng bình phương các cosin bằng đơn vị k2 + l 2 + m2 = 1. Lời giải hệ phương
trình:
σ3 - σ2J1 + σJ2 – J3 = 0. (1.7)
trong đó J1 = σx + σy + σz
J2 = σyσz + σzσx + σxσy - τyx2 - τzx2 - τxy2 (1.8)
J3 = σxσyσz + 2τxyτyzτxz - τxy2σz - τyz2σx - τzx2σy (1.9)
Các đại lượng J1, J2, J3 được gọi bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai, và bất biến thứ ba của
tenso ứng suất.
Trường hợp ứng suất phẳng, trong hệ tọa độ xOy ứng suất chính tính theo công thức:
σ x +σ y
σ 1, 2 = (σ x − σ y ) 2 + τ xy
± 2
(1.10)
1
4
2
Hướng trục ứng suất chính tính từ công thức:
2τ xy
tg 2θ n = (1.11)
σ x −σ y
Ứng suất cắt lớn nhất:
σ1 −σ 2
τ max,min = ± (1.12)
2
σ x −σ y
tg 2θ s = 2 (1.13)
τ xy
Vòng tròn Mohr xây dựng từ phương trình:
5
- 2 2
σ +σ y ⎛σ −σ y ⎞
⎞
⎛
⎟
⎟ +τ 2 = ⎜ x
⎜σ − x (1.14)
⎟
⎜
⎟
⎜ 2 2 ⎠
⎝
⎠
⎝
Định luật Hooke áp dụng cho vật liệu đẳng hướng với mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson ν.
[ ]
σ x − ν (σ y + σ z ) ⎪
⎫
⎫ 1
1
γ xy = τ xy ⎪
εx =
G
E
⎪
⎪
[ ]
⎪ ⎪
1 1
ε y = σ y − ν (σ x + σ z ) ⎬ và γ yz = τ yz ⎬ (1.15)
E G⎪
⎪
[ ]
ε z = σ z − ν (σ x + σ y ) ⎪
1 1
= τ zx ⎪
γ zx
⎪ G⎪
E ⎭ ⎭
E
trong đó G = (1.16)
2(1 + ν )
Nếu ký hiệu: e = ε x + ε y + ε z có thể viết:
νE ⎫
E
σx = εx ⎪
e+
(1 + ν )(1 − 2ν ) 1 + ν ⎪
νE ⎪
E
σy = εy⎬
e+ (1.17)
(1 + ν )(1 − 2ν ) 1 + ν ⎪
νE E
ε⎪
σz = e+
(1 + ν )(1 − 2ν ) 1 + ν z ⎪
⎭
σ x = λe + 2Gε x ⎫
⎪
σ y = λe + 2Gε y ⎬ (1.18)
σ z = λe + 2Gε z ⎪
⎭
νE
trong đó λ = mang tên gọi hằng số Lamé.
(1 + ν )(1 − 2ν )
Hàm ứng suất Airy Φ(x,y) : ∇4Φ(x,y) = 0.
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ
σx = σy = τ xy = −
; ; ;
∂x∂y
∂x 2 ∂y 2
Ví dụ 1: Thành lập hàm ứng suất cho dầm dài L, hình 1.1, mặt cắt ngang hình chữ nhật cạnh đứng 2c,
chiều rộng b, chịu tác động tải phân bố đều q = const.
Điều kiện biên như sau:
a) Tại x = 0: q
σx = 0; τxy = 0.
b) Tại x = L:
Hình 1.1
6
- ⎫
c
∫ τ xy bdy = qL ⎪
⎪
−c
⎪
c
∫cσ x bdy = 0 ⎬
⎪
−
⎪
c
∫ σ x ybdy = 1 qL2 ⎪
2
⎭
−c
c) Tại y = c:
q
σy =− ; τ xy = 0
b
d) Tại y = -c:
σ y = 0; τxy = 0.
Những nhận xét ban đầu:
- Điều kiện đầu tiên của a) trong trường hợp cụ thể không thể thỏa mãn.
q
- Từ tính chất đối xứng của mặt cắt ngang và σ y = − tại y = c và σy = 0 tại y = -c, có
b
thể rút ra σy sẽ là hàm lẻ của y.
- Hàm σx cũng là hàm lẻ của y.
Hàm Airy nên viết dưới dạng:
Φ = Axy +Bx2 + Cx2y + Dy3 +Exy3 +Fx2y3 +Gy5
Có thể thấy rằng: ∇4Φ(x,y) = 24Fy + 120Gy = 0.
Từ phương trình cuối suy ra F = -5G.
Ứng suất tính theo công thức sau:
∂ 2Φ
σx = = 6 Dy + 6 Exy − 30Gx 2 y + 20Gy 3
∂x 2
∂ 2Φ
σ y = 2 = 2 B + 2Cy + 10Gy 3
∂y
∂ 2Φ
τ xy = − = −( A + 2Cx + 3Ey 2 − 30Gxy 2 )
∂x∂y
Từ công thức tính τxy có thể viết:
Thỏa mãn điều kiện τxy = 0 tại x = 0: A + 3Ey2 = 0, từ đó A = E = 0.
Thoả mãn τxy = 0 tại y = ±c có thể thấy:
0 = -(2Cx - 30Gc2x), hay là C = 15Gc2.
Giải phương trình xác định σy, thỏa mãn điều kiện biên cho phép xác định B, G:
7
- q
− = 2 B + 30Gc 3 − 10Gc 3 = 2 B + 20Gc 3
b
0 = 2 B − 30Gc 3 + 10Gc 3 = 2 B − 20Gc 3
Từ đó có thể nhận được:
q q
B=− G=−
;
40bc 3
4b
Biết rằng momen quán tính mặt cắt ngang tính bằng I = 2 bc 3 , biểu thức của B và G sẽ có dạng:
3
qc 3 q
B=− G=−
;
6I 60 I
Hằng C tính theo G sẽ là: C = 15Gc2 = - (qc2)/(4I)
Từ phương trình xác định σx có thể viết:
q2 q3
σ x = 6 Dy + 6 Exy − 30Gx 2 y + 20Gy 3 = 6 Dy + x y− y
2I 3I
Thay biểu thức cuối vào điều kiện biên tại x = L có thể thấy:
+c
⎛ q 3⎞
q 1
∫ ⎜ 6 Dy + 2 I x y− y ⎟ ybdy = qL2
2
3I ⎠ 2
⎝
−c
qc 2
Từ đó có thể viết: D =
30 I
Trường ứng suất có dạng sau:
(5x 2 + 2c 2 )y − 3qI y 3 ⎫
q
σx = ⎪
10 I
⎪
σ y = − (2c 3 + 3c 2 y − y 3 ) ⎬
⎪
q
6I ⎪
x(c − y )
q ⎪
τ xy = 2 2
⎪
2I ⎭
Ví dụ 2: Phương trình chuyển vị dầm trình bày tại hình 1.2 có dạng:
( )⎫
Py
6 Lx − 3 x 2 − υy 2
u ( x, y ) = ⎪
6 EJ
⎬
[ ]
P
3Lx 2 − x 2 − 3υy 2 (L − x ) ⎪
v( x, y ) = −
⎭
6 EJ
8
- Y
X
Hình 1.2
Xác định chuyển vị điểm tại trục y = 0 và xác định trường ứng suất.
Chuyển vị theo phương thẳng đứng tại y = 0:
(3Lx 2 − x 3 ) = − 6EJ (3L − x )
Px 2
P
v( x,0) = −
6 EJ
1 ⎛ ∂v ∂u ⎞
Góc xoay dầm tính theo công thức θ xy = ⎜ − ⎟ , mang dạng sau:
2 ⎜ ∂x ∂y ⎟
⎝ ⎠
(6Lx − 3x2 − 3υy 2 ) − 6EJ (6Lx − 3x2 − 3υy 2 )⎥ = − 6EJ (6Lx − 3x2 − 3υy 2 )
1⎡ ⎤
P P P
θ xy = ⎢−
2 ⎣ 6EJ ⎦
Tại y = 0 góc xoay sẽ là:
(6 Lx − 3x 2 )
P
θ xy ( x,0) = −
6 EJ
Biến dạng trong dầm tính theo:
υP
∂u ∂v
P
( L − x ) y; (L − x ) y
εx = εy =
= =−
∂x EJ ∂y EJ
∂v ∂u
γ xy = +=
∂x ∂y
( ) ( )
P P
6Lx − 3x 2 − 3υy 2 + 6Lx − 3x 2 − 3υy 2 = 0
−
6EJ 6EJ
Trường ứng suất tính theo cách sau:
⎫
υ 2P
E ⎡P ⎤P
σx = ( L − x) y − ( L − x) y ⎥ = ( L − x) y ⎪
2⎢
1 − υ ⎣ EJ EJ ⎦J ⎪
E ⎡ υP υP ⎪
⎤
σy = ( L − x) y ⎥ = 0
− ( L − x) y + ⎬
2⎢
1 − υ ⎣ EJ EJ ⎦ ⎪
τ xy = 0 ⎪
⎪
⎭
9
- Ví dụ 3: Sử dụng phương trình cân bằng trong “lý thuyết đàn hồi” thành lập hàm ứng suất σy , τxy
dầm, tiết diện dầm hình chữ nhật 2c x b, trong đó b – chiều rộng dầm, 2c – chiều cao dầm, chịu tải
trọng phân bố đều cường độ q(x) = const.
Ứng suất σx tính tại mặt cắt bất kỳ
của dầm, tại vị trí x, tính theo công thức: q
M ( x)
σx = y (a)
J
trong đó M = − 1 qx 2 (b)
2
Hình 1.3
Hình 1.3
Nếu bỏ qua trọng lượng bản thân, lực khối dầm sẽ không được nhắc tới. Từ phương trình cân
bằng đầy đủ:
∂σ x ∂τ xy ⎫
+ + f Bx = 0 ⎪
⎪
∂x ∂y
⎬ có thể viết: (c)
∂τ xy ∂σ y
+ f By = 0⎪
+
⎪
∂x ∂y ⎭
∂τ xy q
=− (d)
xy
∂y J
Tiến hành tích phân phương trình đạo hàm riêng này sẽ nhận được:
q
τ xy = − xy 2 ' = f ( x) (e)
2J
Để ý rằng, trường hợp không có ứng suất cắt tại mép trên và mép dưới của dầm, τxy = 0 tại
y = c và y = -c, hàm f(x) sẽ phải là:
qc 2
f ( x) = x (f)
2J
q
Từ đây có thể viết: τ xy = − x (c 2 − y 2 ' ) (g)
2J
Từ phương trình thứ hai của (c ) vớ FBy = 0 có thể viết:
∂σ y q2
=− (c − y 2 )
∂y 2J
Sau tích phân có thể nhận được:
q
σy =− y (3c 2 − y 2 ) + F ( x) (h)
6J
b ( 2 c )3
Điều kiện biên tại y = c: σ y = − b . Momen quán tính qua trục trung hòa mang giá trị
q
J= .
12
qc 3
Từ đây xác định F(x) = −
3J
10
- Hàm σy giờ có thể viết:
( )
q
σy =− 2c 3 + 3c 2 y − y 3
6J
Ví dụ 4: Dùng phương trình từ điều kiện tương hợp (liên tục) xác định chuyển vị trong mặt phẳng
xOy dầm công xôn nêu tại ví dụ 2. Mặt cắt dầm trong trường hợp này là hình chữ nhật, dày, độ
cứng EJ, hệ số Poisson ν.
Y
X
Hình 1.4
Momen uốn dầm tính theo công thức:
M = -P(L – x) 0 < x < L (a)
Các hàm ứng suất tính theo công thức quen thuộc sau:
M P
σx = − y = y ( L − x) (b)
J J
σ y = 0;
τxy = 0.
Từ định luật Hooke có thể viết các phương trình biến dạng:
(σ x − νσ y ) = P y( L − x)
1
εx =
E EJ
(σ y − νσ x ) = − νP y( L − x)
1
εy =
E EJ
2(1 + ν )
γ xy = τ xy = 0 (c)
E
Quan hệ biến dạng - chuyển vị cho phép viết:
∂u P
= εx = y ( L − x)
∂x EJ
νP
∂v
= εy = − y ( L − x) (d)
∂y EJ
11
- Tiến hành tích phân hai phương trình đạo hàm riêng dạng (d) có thể nhận được:
P
u= xy (2 L − x) + f ( y )
2 EJ
νP
v=− y 2 ( L − x) + F ( x)
2 EJ
Hàm f(y) là hàm chỉ của y, hàm F(x) chỉ của x.
∂v ∂u
Sau tích phân, tiến hành thay vào hàm biến dạng góc γ xy = + chúng ta có thể viết:
∂x ∂y
∂v ∂u νP 2 ∂F ( x) ∂f ( y )
P
γ xy = + = y+ + x(2 L − x) +
∂x ∂y 2 EJ ∂x ∂y
2 EJ
Thay biểu thức cuối vào (c ) sẽ nhận được phương trình:
∂f ( y ) νP 2
∂F ( x) P
+ x( 2 L − x) = − y (e)
∂x ∂y
2 EJ 2 EJ
Phương trình (e) chỉ thỏa mãn khi cả hai vế là const, vídụ cả hai bằng C1.
∂F ( x) ⎫
P
+ x(2 L − x) = C1 ⎪
⎪
∂x 2 EJ
⎬
∂f ( y ) νP 2
− y = −C1 ⎪
⎪
∂y 2 EJ ⎭
Giải hệ phương trình này có thể viết:
⎫
P2
F ( x) = − x (3L − x) + C1 x + C 2 ⎪
⎪
6 EJ (f)
⎬
νPy 3 ⎪
f ( y) = − − C1 y + C 3
⎪
⎭
6 EJ
Hàm u và v giờ đây có dạng:
νP 3 ⎫
P
u= xy (2 L − x) − y − C1 y + C 3 ⎪
⎪
2 EJ 6 EJ (g)
⎬
νPy 2
P2
x (3L − x) + C1 x + C 2 ⎪
v=− ( L − x) −
⎪
⎭
6 EJ 6 EJ
Thỏa mãn điều kiện biên sau đây: tại x = y = 0: u = v = θxy = 0, các hằng số phải là C1
= C2 = C3 = 0. Từ đó có thể viết:
νP 3 ⎫
P
u= xy (2 L − x) − y ⎪
2 EJ eEJ
⎬
νP 2 P2
x (3L − x)⎪
v =- y ( L − x) −
⎭
6 EJ
2EJ
12
- Ví dụ 5: Cho trước thép tròn đường kính φ16mm, chịu lực kéo dọc trục P = 40kN. Lực P gây ứng
suất cắt τ tại mặt cắt ab, giá trị của τ bằng 60% ứng suất pháp σ tại mặt ab đó. Xác định góc
nghiêng mặt ab.
Lời giải:
Hình 1.5
Ứng suất pháp tính tại tiết diện trục thép tròn:
P 40000
σ0 = 2 = = 200 MPa
πd / 4 π .16 2 / 4
Ứng suất tính tại mặt cắt xiên ab:
σ = σ 0 cos 2 α ⎫
⎪
σ0 ⎬
τ= sin 2α ⎪
⎭
2
Từ điều kiện đề ra τ = 0,6σ hay là σ0sinαcosα = 0,6 σ0 cos2α có thể viết:
sin α
= tgα = 0,6
cos α
Từ đó có thể xác định α = 31°.
Ví dụ 6: Trạng thái ứng suất tại điểm P biểu diễn bằng tensor ứng suất:
⎡ 14 7 − 7 ⎤
σ ij = ⎢ 7 10 0 ⎥ MPa .
⎥
⎢
⎢− 7 0 35 ⎥⎦
⎣
Xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại mặt qua điểm, song song với mặt miêu tả bằng
phương trình 2x - y +3z = 9.
Lời giải:
Cosin pháp tuyến mặt 2x - y +3z - 9 = 0 tính như sau:
13
- 2⎫
2
⎪
k= =
14 ⎪
2 2 + (−1) 2 + 3 2
−1 ⎪
(−1) ⎪
=
l= (a)
⎬
14 ⎪
2 + (−1) + 3
2 2 2
3⎪
3
m= = ⎪
14 ⎪
2 2 + (−1) 2 + 3 2 ⎭
Ứng suất pháp tính theo công thức:
σ = σ x k 2 + σ y l 2 + σ z m 2 + 2τ xy kl + 2τ yz lm + 2τ zx mk (b)
trong đó, từ tensor ứng suất đọc được σx = 14, σy = 10, σz = 35; τxy = 7, τzx = -7, τyz = 0. Kết
quả ứng suất pháp, tính theo (b) sẽ là σ = 19,21 MPa.
Ứng suất tiếp tính theo công thức:
τ 2 = (σ x k + τ xy l + τ zx m )2 + (τ xy k + σ y l + τ zx m )2 + (τ zx k + τ yz l + σ z m )2 − σ 2 (c)
Sau khi thay các giá trị ứng suất và k, l, m vào vế phải phương trình (c), ứng suất tiếp được
tính như sau:
τ = 14,95MPa.
Ví dụ 7: Trạng thái ứng suất tại điểm P, ghi trong hệ tọa độ Oxyz như sau:
⎡ − 8 6 − 2⎤
σ ij = ⎢ 6 4 2 ⎥ MPa
⎢ ⎥
⎢− 2 2 − 5⎥
⎣ ⎦
Tính trạng thái ứng suất này trong hệ tọa độ Ox’y’z’, qua hai bước:lần đầu trục Oz xoay góc θ
= 45°, sau đó hệ trục vừa hình thành xoay quay trục Ox góc φ = 30°.
Lời giải:
Sau lần xoay quanh trục Oz, hệ tọa độ mới có mối liên hệ với hệ tọa độ Oxyz theo quan hệ:
⎧ x"⎫ ⎡ cosθ sin θ 0⎤ ⎧ x ⎫
⎪⎪
⎪⎪⎢
0⎥ ⎨ y ⎬ , với θ = 45°
⎨ y"⎬ = ⎢− sin θ cosθ ⎥
1⎥ ⎪ z ⎪
⎪ z" ⎪ ⎢ 0 0 ⎦⎩ ⎭
⎩⎭⎣
Lần xoay hệ trục sau thể hiện bằng quan hệ:
0 ⎤ ⎧ x"⎫
⎧ x ' ⎫ ⎡1 0
⎪⎪
⎪⎪ ⎢
sin φ ⎥ ⎨ y"⎬ , với φ = 30°
⎨ y '⎬ = ⎢0 cos φ ⎥
cos φ ⎥ ⎪ z"⎪
⎪ z ' ⎪ ⎢0 − sin φ
⎦⎩ ⎭
⎩⎭ ⎣
Từ đó:
14
- ⎧ x'⎫ ⎡ cos φ sin θ 0 ⎤⎧ x⎫
⎪⎪
⎪⎪ ⎢
sin φ ⎥ ⎨ y ⎬ = [C x ]{X } ,
⎨ y '⎬ = ⎢− sin φ cos φ cos φ cos φ ⎥
cos φ ⎥ ⎪ z ⎪
⎪ z ' ⎪ ⎢ sin φ sin φ − cos φ sin φ ⎦⎩ ⎭
⎩⎭ ⎣
Công thức tính chuyển ứng suất từ hệ tọa độ Oxyz sang hệ tọa độ O’x’y’z’ có dạng:
= [C x ]σ ij [C x ]T
σ ij '
Sau khi thay θ = 45°, φ = 30° các thành phần ma trận [Cx] tính như sau:
⎡ 22 0⎤
2
2
[C x ] = ⎢− 46 ⎥
6 1
⎢ 2⎥
4
⎢2 3⎥
− 2
⎣4 2⎦
4
Các thành phần ứng suất điểm đang xét trong hệ tọa độ O’x’y’z’ sẽ là:
2 2
⎛ 2⎞
⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
⎟
⎟ + 2 × 2⎜
⎟⎜
⎟ + −5 × 0 + 2 × 6⎜
⎟ + 4.⎜
σ x ' = −8.⎜ ⎜ 2 ⎟×0 +
⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟
⎜2⎟
⎜2⎟
⎠
⎝
⎠
⎠⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛ 2⎞
⎟
+ 2 × (−2) × 0 × ⎜
⎜ 2 ⎟ = 4MPa
⎠
⎝
⎡⎛ 2 ⎞⎛ 6 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 6 ⎞⎤
6 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 6 ⎞
⎛ 2 ⎞⎛ 1
⎟⎥
⎟⎜ −
⎟+⎜
⎟⎜
⎟ + ( −5) x0 x + 6 ⎢⎜
⎟⎜
⎟ + 4⎜
⎟⎜ −
τ x ' y ' = −8⎜ ⎟
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎜
⎟⎜ ⎟
⎟⎜
⎟⎜
⎜
⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ 2 ⎢⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠⎥
⎣ ⎦
⎡⎛ 2 ⎞ 1 ⎛ 6 ⎞⎤
⎡⎛ ⎛ 6 ⎞⎤
2⎞1
⎟
⎟ + 0 x⎜
⎟⎥ − 2 ⎢⎜
⎟ + 0 x⎜
+ 2 ⎢⎜ ⎜ 4 ⎟⎥ = 5,20 MPa
⎜ 2 ⎟2
⎜4⎟
2 ⎟2
⎜
⎢⎝ ⎠⎥
⎢⎝ ⎠⎥ ⎝
⎠
⎝
⎠ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞⎤
2⎞
⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 3
⎟
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜ −
⎟ + (−5) x0 x + 6 ⎢⎜
⎟⎜ −
⎟ + 4⎜
⎟⎜
τ z ' x ' = −8⎜ ⎜ 2 ⎟⎜ 4 ⎟ + ⎜ 2 ⎟⎜ 4 ⎟⎥
2 ⎟⎜ 4 ⎟ ⎜ 2 ⎟⎜ 4 ⎟
⎜ 2 ⎢⎝ ⎠⎥
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎝ ⎣ ⎦
⎡⎛ 2 ⎞ 3 ⎛ 2 ⎞⎤
⎡⎛ 2 ⎞⎤
⎛
2⎞ 3
⎟
+ 0 x⎜
⎟
⎟⎥ − 2⎢⎜
+ 0 x⎜ −
⎟
+ 2⎢⎜ ⎜ 4 ⎟⎥ = −3MPa
⎟
⎜
⎜ 4⎟
2⎟2
⎜
⎢⎝ 2 ⎠ 2 ⎠⎥
⎢⎝ ⎠⎥ ⎝
⎝
⎠ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
2 2
⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ 6
2
⎟ + −5 × ⎛ ⎞ + 2 × 6⎜ −
1
⎜ ⎟ + 4.⎜ ⎟
σ y ' = −8.⎜ ⎜ 4⎟4+
⎜⎟
4⎟ ⎜4⎟ ⎝ 2⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 6⎞1 ⎛ 6⎞1
+ 2 × (−2) × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 4 ⎟ 2 + 2 × (−2) × ⎜ − 4 ⎟ 2 = −4,8MPa
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15
- ⎡⎛ 6 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 6 ⎞⎤
2 ⎞⎛
⎛ 2 ⎞⎛ 6⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 6 ⎞ 1 3
⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
τ y ' z ' = −8⎜ ⎟⎜ − ⎟ + 4⎜ − ⎟⎜ ⎟ + (−5) x × + 6 ⎢⎜ −
⎜ 4 ⎟⎜ 4 ⎟ + ⎜ 4 ⎟⎜ 4 ⎟⎥
⎜
4 ⎟⎜ 4 ⎟ ⎜ 2 ⎟⎜ 4 ⎟ 22 ⎢⎝ ⎠⎥
⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝
⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎡⎛ 2 ⎞⎤ ⎡⎛ 3 ⎞⎛ 6 ⎞ 1 ⎛ 2 ⎞⎤
6⎞ 3 1⎛
+ 2⎢⎜ ⎟ + ⎜− ⎟⎥ − 2⎢⎜ ⎟⎜ − ⎟+ ⎜ ⎟⎥ = 2,71MPa
⎜ 4 ⎟ 2 2 ⎜ 4 ⎟⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ 2 ⎝ 4 ⎠⎥
⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
⎣ ⎣ ⎦
2 2
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 3 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 2⎞
σ z ' = −8.⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ 4 ⎟ + 4.⎜ − 4 ⎟ − 5 × ⎜ ⎟⎜ 2 ⎟ + 2 × 6⎜ 4 ⎟⎜ − 4 ⎟ +
2 ⎠⎝
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ 2 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 3 ⎞
+ 2× 2×⎜− ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = −8,2 MPa
⎜ 4 ⎟⎜ 4 ⎟ + 2 × (−2) × ⎜ 4 ⎟⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Kết quả tính như sau:
−3 ⎤
⎡4 5,2
⎢5,2 − 4,8 2,7 ⎥ MPa
σ ij ' = ⎢ ⎥
⎢ − 3 2,7 − 8,2⎥
⎣ ⎦
Ví dụ 8: Xác định trục chính và ứng suất chính phần tử chiïu tác động ứng suất sau: σx = 500
kG/cm2, σy = 300 kG/cm2, τxy = 100 kG/cm2.
Lời giải:
Công thức tính ứng suất chính:
2
σ x +σ y ⎛σ x +σ y ⎞
±⎜ ⎟ + τ xy
σ 1, 2 = 2
⎜ ⎟
2 2
⎝ ⎠
Thay các giá trị đã cho vào biểu thức trên sẽ nhận được:
2
500 + 300 ⎛ 500 + 300 ⎞
σ1 = 2
+⎜ ⎟ + 100 = 400 + 141,4 = 541,4 kG/cm ;
2
2 2
⎝ ⎠
2
500 + 300 ⎛ 500 + 300 ⎞
σ1 = 2
−⎜ ⎟ + 100 = 400 − 141,4 = 258,6 kG/cm ;
2
2 2
⎝ ⎠
Góc nghiêng trục chính so với trục Ox, Oy tính theo công thức:
2τ xy
tg 2θ = −
σ x −σ y
Trường hợp này tg2θ = -1 và do vậy 2θ = -45°; θ = -22 ½ °
Ví dụ 9: Biết trước giá trị biến dạng điểm trong mặt phẳng 2D sau đây:
εx = 0,002; εy = -0,001; γxy = 0,003.
Xác định hướng chính và biến dạng chính.
Lời giải:
16
- Góc xoay hướng chính tính theo công thức:
2γ xy 2(0,003)
tg 2θ = = =2
εx −εy (0,002) − (0,001)
Từ đó: 2θ = 63,4° và 243,4°
θ = 31,7° và (31,7 + 90)°
Biến dạng chính:
εx +εy εx −εy ⎫
ε x' = cos 2θ + γ xy sin 2θ ⎪
+
⎪
2 2
⎬
εx +εy εx −εy
cos 2θ − γ xy sin 2θ ⎪
ε y' = − ⎪
⎭
2 2
Sau thay thế bằng số công thức cuối có dạng:
εx’= 0,00385 và εy’= -0,00285.
Ví dụ 9: Bộ cảm biến dạng rectangular rosette, ba cảm biến bố trí trong nhánh ¼ vòng tròn, góc
giữa chúng 45°, hình 1.6, ghi nhận biến dạng điểm đo như sau: εx = 200μ; ε45 = 900μ; εy =
1000μ
Xác định giá trị và hướng ứng suất chính, giá trị ứng suất cắt lớn nhất tại điểm đo. Biết rằng
E = 200 GPa, ν = 0,285.
x
45
C
B
45
x
A
Hình 1.6
Lời giải:
Biến dạng góc tính từ công thức:
γ xy = 2ε 45 − ε x − ε y = 2 × 900 − 200 − 1000 = 600μ
Ứng suất tại điểm tính từ quan hệ biến dạng – ứng suất:
[ ]
9
(ε x + νε y ) = 200.10 2 200 + 0,285 × 1000.10 −6 = 105,6.10 6 N / m 2
E
σx =
1 −ν 2 1 − (0,285)
[ ]
200.10 9
(ε y + νε x ) =
E
σy = 1000 + 0,285 × 200.10 −6 = 230,1.10 6 N / m 2
1 −ν 1 − (0,285)
2 2
17
- Ứng suất tiếp:
200.10 9
E
τ xy = 600.10 −6 = 46,7.10 6 N / m 2
=
2(1 + ν ) 2(1 + 0,285)
Góc xoay hướng chính tính theo công thức:
2γ xy 2(600.10 −6 )
tg 2θ = = = −1,5
εx −εy (200.10 −6 ) − (1000.10 −6 )
Từ đó: θ = -18,4° và 71,6°
Ứng suất pháp tính theo công thức:
Với θ = -18,4°
σ x +σ y ⎛σ x +σ y ⎞
⎟ cos 2θ + τ xy sìnθ = 90,0 MPa
+⎜
σ= ⎟
⎜
2 2 ⎠
⎝
Có thể viết: σ2 = 90,0 MPa.
Trường hợp θ = 71,6° tính được σ1 = 245,7 MPa.
Ứng suất tiếp lớn nhất, tính cho trường hợp trạng thái ứng suất phẳng, σ3 = 0:
σ1 −σ 3 245,7 − 0
τ max = = = 122,8MPa
2 2
Ví dụ 10:
Tấm đua-ra dày t = 2mm được nẹp bằng 4 nẹp cứng tại bốn mép. Các nẹp nối với nhau bằng
khớp xoay. Tại vị trí C đặt lực P = 25 kN, hình 1.7
Xác định:
• Thay đổi góc γ các góc tấm,
• Chuyển vị Δc theo chiều đứng,
• Ứng suất chính trong tấm,
• Thay đổi chiều dài AC và BD.
Biết rằng E = 7.104 MPa; ν = 0,34.
Lời giải:
Tải trọng P phải cân bằng lực cắt cạnh BC, bắt tấm chịu cắt thuần túy.
P = τ.A = τ.t.l
Từ đó có thể tính:
2,5.10 4
τ= = 5.10 7 Pa = 50 MPa
−3
2.10 .0,25
18
- Hình 1.7
7.1010
G= = 2,6.1010 Pa = 2,6.10 4 MPa
(1 + 0,34)
2
τ
Biến dạng góc tính bằng công thức γ = = 1,92.10 −3 rad
G
Δ C = γ .l = 4,8.10 −4 m = 0,48mm
Ứng suất chính:
σ1 = τ = 50 MPa;
σ2 = -τ = -50 MPa;
Thay đổi chiều dài đoạn AB và BD:
l AC
(σ 1 − νσ 2 ) = 0,338mm
Δl AC = ε 1l AC =
E
Δl BD = −0,338mm
19
- Bài tập
1. Xác định biến dạng trong lòng vật thể thỏa mãn phương trình chuyển vị:
u = A1x2 + B1y2 +C1z2
v = A2x2 + B2y2 +C2z2
w = A3x2 + B3y2 +C3z2
Ai, Bi, Ci, i= 1, 2, 3 là const
Biến dạng này có thỏa mãn điều kiện tương thích hay không?
2. Biến dạng đo được biểu diễn bằng các hàm sau:
εx = A(x2 + z2); εy = 0; εz = Az2
γyz = 0; γzx = 2Axz; γxy = 0;
Xác định chuyển vị tương ứng.
3. Trong ví dụ 3 chúng ta đã không xét đến ảnh hưởng lực cắt. Bài toán đang nêu tại hình 1.2 này
được xem xét đầy đủ hơn, tính đến ảnh hưởng lực cắt. Mặt cắt ngang dầm hình chữ nhật, cạnh đứng
2c. Chuyển vị dầm được miêu tả bằng hàm u và v dạng sau:
[ ] ⎫
Py
× 3 xy(2 L − x ) − 3(1 + ν )c 2 y + (2 + ν ) y 3 ⎪
u ( x, y ) =
6 EJ
⎬
[ ]
P
× 3νy 2 (L − x ) − x 2 (3L − x ) + 3(1 + ν )c 2 x ⎪
v( x, y ) = −
⎭
6 EJ
Xác định σx σy τxy của dầm. Xây dựng hàm v(x, 0) và θ(x, 0).
4. Dầm ngắn chịu nén, chịu ứng suất pháp –100MPa, ứng suất tiếp 40 MPa. Xác định góc nghiêng
mặt tính toán, so với trục dầm. Tính ứng suất pháp và ứng suất cắt lớn nhất.
5. Biết rằng tấm thép hình vuông chịu ứng suất như sau: σx = 150MPa, σy = 50MPa. Tính ứng
suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ab nghiêng góc -α so với Ox.
6. Tấm hình chữ nhật kích thước 300x100 mm dày t = 10mm, chịu tác động ứng suất: σx =
120MPa, σy = 60MPa. Tính thay đổi kích thước tấmdo biến dạng. Mô đun đàn hồi vật liệu 2.105
MPa, hệ số Poisson ν = 0,25.
7. Phần tử hình vuông chịu ứng suất: σx = -200MPa, σy = 100MPa,τxy = -120 MPa. Xác định
hướng trục chính, ứng suất chính.
8. Trạng thái ứng suất phẳng tại điểm biểu thị trong hệ tọa độ xOy như sau:
3 −4
MPa
−4 9
Xác định giá trị các thành phần ứng suất của điểm trong hệ tọa độ x’Oy’ xoay theo chiều kim
đồng hồ 45°. Giải bằng hai cách: (1) sử dụng công thức chuyển và (2) sử dụng vòng tròn Mohr.
9. Trạng thái ứng suất xác định như sau: σx = 14 MPa, σy= - 10MPa, τxy = 5MPa. Xác định ứng
suất chính, trục chính.
20
- 10. Trạng thái ứng suất xác định như sau: σx = 14 MPa, σy= - 10MPa, τxy = - 5MPa. Xác
định ứng suất chính, trục chính.
11. Trạng thái ứng suất xác định như sau: σx = - 14 MPa, σy= + 10MPa, τxy = - 5MPa. Xác
định ứng suất chính, trục chính.
311
12. Ứng suất tại điểm trong lòng vật thể mang giá trị thể hiện tại tensor ứng suất: 1 0 2
120
Xác định trục chính, ứng suất chính và giá trị lớn nhất ứng suất cắt.
13. Khối sáu mặt làm từ nhôm chịu tác động các ứng suất sau: σx = -40MPa, σy = 100MPa, σz
= 60MPa.
Xác định:
• Ứùng suất cắt lớn nhất.
• Ứng suất bát diện σoct.
• Ứng suất bát diện τoct.
• Thế năng đơn vị u0 do biến dạng khối vật liệu.
Mô đun đàn hồi vật liệu E = 7.104MPa, hệ số Poisson ν = 0,35.
Hướng dẫn:
Ứng suất chính:
σ1 = 100 MPa; σ2 = 60MPa; σ3 = -40 ΜΡa.
σ1 −σ 3
τ max =
2
σ1 +σ 2 +σ 3
1
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2
τ oct = ; σ oct =
3 3
1 − 2ν
(σ 1 + σ 2 + σ 3 )
εV =
E
1
[σ + σ + σ − 2ν (σ 2σ 2 + σ 3σ 1 + σ 2σ 1 )] = 1,1.10 5 J / m 3
u0 =
2E
14. Ứng suất tại điểm trong lòng vật thể mang giá trị thể hiện tại tensor ứng
21 − 6 − 6
suất: − 6 37 18 MPa, mô đun đàn hồi vật liệu E = 200GPa, hệ số Poisson ν = 0,3. Xác định biến
− 6 18 37
dạng chính. Xác định biến dạng góc.
15. Kết quả đo biến dạng điểm vật thể trong trạng thái ứng suất phẳng đưa đến kết quả: εx = -90μ,
εy = -30μ, γxy = 120. Biết rằng E = 209 GPa, ν = 0,29, lập tensor ứng suất và tensor biến dạng tại
điểm khảo sát này.
21
nguon tai.lieu . vn
