Hướng dẫn giải bài 1,2,3,4,5 trang 92 SGK Đại số và giải tích 11

 Mời các em học sinh cùng tham khảo đoạn trích “Hướng dẫn giải bài 1,2,3,4,5 trang 92 SGK Đại số  và giải tích 11: Dãy số” dưới đây để nắm rõ nội dung hơn. 

Bài 1 trang 92 SGK đại số và giải tích 11

Bài 1. Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức:

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 1:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là u₁ = 1; u₂ = 2/3, u₃ = 3/7; u₄ =4/15; u₅ =5/31

b) Năm số hạng đầu của dãy số là

u₁ = 1/3; u₂ = 3/5, u₃ = 7/9; u₄ =15/17; u₅ =31/33

c) Năm số hạng đầu của dãy số là

u₁ = 2; u₂ = 9/4, u₃ = 64/27; u₄ = 625/256; u₅ = 7776/3125

d) Năm số hạng đầu của dãy số là

u₁ = 1/√2; u₂ = 2/√5, u₃ = 3/√10; u₄ =4/√17; u₅ =5/√26

Bài 2 trang 92 SGK đại số và giải tích 11

Cho dãy số U_n , biết:

u₁ = -1; u_n+1 = u_n +3 với n ≥ 1.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u_n = 3n -4.

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 2:

b) Chứng minh un = 3n – 4 bằng phương pháp quy nạp:

Với n =1 thì u₁ 3.1 – 4 = -1, đúng.

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là u_k = 3k -4. Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với n = k + 1.

Thật vậy, theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có:

u_k+1 = u_k + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4.

Vậy hệ thức đúng với mọi n ∈ N^* , tức là công thức đã được chứng minh.

Bài 3 trang 92 SGK đại số và giải tích 11

Dãy số u_n cho bởi: u₁ = 3; , n ≥ 1.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh côngt hức đó bằng phương pháp quy nạp

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 3:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.

b) Ta có: u₁ = 3 = √9 = √(1 + 8)

u₂ = √10 = √(2 + 8)

u₃ = √11 = √(3 + 8)

u₄ = √12 = √(4 + 8)

………..

Từ trên ta dự đoán u_n = √(n + 8), với n ∈ N^* (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

– Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

– Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có u_k = √(k + 8) với k ≥ 1.

Theo công thức dãy số, ta có: 

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.

Vậy công thức (1) được chứng minh.

Bài 4 trang 92 SGK đại số và giải tích 11

Xét tính tăng, giảm của các dãy số u_n biết:


Đáp án và Hướng dẫn giải bài 4:

a) 

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

b) Xét hiệu 

Vậy u_n+1 > u_n với mọi n ε N^* hay dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)ⁿ, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.

d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số u_{n+1 /} u_n
(vì u_n > 0 với mọi n ε N^* ) rồi so sánh với 1.

Ta có với mọi n N^*

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.

Bài 5 trang 92 SGK đại số và giải tích 11

Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?

a) Dãy số bị chặn dưới vì u_n = 2n² -1 ≥ 1 với mọi n ε N^* và không bị chặn trên vì với số M dương lớn bất kì, ta có 2n² -1 > M ⇔

Do đó n(n + 2) = n² + 2n ≥ 3, suy ra Vậy dãy số bị chặn 0 < u_n ≤ 1/3
với mọi n ε N^*

c) Vì n ≥ 1 nên 2n² – 1 > 0, suy ra 

Mặt khác n² ≥ 1 nên 2n² ≥ 2 hay 2n² – 1≥ 1, suy ra
Vậy 0 < u_n ≤ 1, với mọi n ∈ N^* , tức dãy số bị chặn.