Xem mẫu
- HÌNH HỌC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I) PHÉP CỘNG – TRỪ CÁC VÉC TƠ
1) Một số quy tắc – Tính chất áp dụng trong phép công trừ các véc tơ
Quy tắc ba điểm : với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có :
AB BC AC
*
* BC BA AC
AB AD AC
Quy tắc hình bình hành : ABCD là hbh ta có :
Trung điểm của đoạn thẳng :
I là trung điểm của đoạn AB , với điểm M tuỳ ý ta luôn có :
* IA IB 0
* MA MB 2 IM
Trọng tâm của tam giác :
G là trọng tâm của ABC GA GB GC 0
G là trọng tâm của ABC với điểm M tuỳ ý ta luôn có :
-
MA MB MC 3MG
2) Tính chất : Cho ba véc tơ a , b và c ta có :
a + 0 = 0 + a = a (Tính chất của véc tơ – không )
a + b = b + a (Tính chất giao hoán )
( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( tính chất kết hợp )
II) PHÉP NHÂN MỘT VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ
1) Định nghĩa : Tích số k với một véc tơ a là một véc tơ là một số thực
kí hiệu : k a thỏa :
Cùng hướng với véc tơ a nếu k 0
Ngược hướng với véc tơ a nếu k > 0
Có độ dài bằng k a
2) Tính chất : Với mọi véc tơ a và mọi số thực k. l ta có :
k(l a ) = (k.l) a
(k + l) a = k a + l a
-
k( a + b ) = k a + k b
1. a = a ; 0. a = 0 ; k. 0 = 0
3) Véc tơ cùng phương : hai véc tơ a và b cùng phương ( a 0 ) thì
có một số thực k duy nhất sao cho b = k a
4) Ba điểm thẳng hàng :
Ba điểm A , B , C thẳng hàng k : AB k AC
5) Phân tích 1 véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương :
Cho a và b không cùng phương . luôn có duy nhất cặp số thực k , l sao cho
x k a lb
III) HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐÊCAC VUÔNG GÓC
1) Tọa độ của véc tơ :
u = (x ; y) u = x i + y j
Định nghĩa:
Tính chất: Trong mp(Oxy) cho u = (x ; y) , v = (x’; y’) ta có :
x x'
uv
y y'
-
u + v = (x + x’ ; y + y’)
u - v = (x – x’ ; y – y’)
k u = (kx ; ky)
2) Tọa độ của một điểm :
M(x ; y) OM = x i + y j
Định nghĩa:
Tính chất:
Trong mp(Oxy) cho hai điểm A(xA ; yA) và B(xB; yB) ta có :
Véc tơ : AB = (xB– xA ; yB– yA)
x xB
xI A
2
Trung điểm I của đoạn AB :
y y A yB
I
2
x x B xC
xG A
Toạ độ trọng tâm G của ABC : 3
y y A y B yC
G 3
IV).GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ
1) ĐỊNH NGHĨA :
- y
sin = y0
M(x0 ; y0) B
cos = x0
y0
y
tg = 0 ( x0 0 )
x0
x0
cotg = ( y0 0 )
y0
A’ x0 O A
x
2) TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ GÓC THƯỜNG DÙNG :
0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o
Độ
HSLG
Sin 0 1 0
1 1
2 3 3 2
2 2
2 2 2 2
Cos 1 0 -1
1 1
3 2 2 3
2 2
2 2 2 2
Tg 0 1 -1 0
1 1
3 -3
3 3
- cotg 1 0 -1
1 1
3 -3
3 3
3) CÁC HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
Tỉ số lượng giác của hai góc bù nhau : (180o - ) và
sin(180o - ) = sin cos(180o - ) = - cos
tg(180o - ) = - tg cotg(180o - ) = - cotg
Bi tập:
A. Vecto cùng phương, hai vecto bằng nhau:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A,
B, C , D , O
a) Bằng vectơ AB ; OB
b) Có độ dài bằng OB
Bài 2 : Cho tam giác ABC. Ba điểm M,N và P lần lượt là trung điểm AB,
AC, BC. CMR:
MN BP ; MA PN .
- Bài 3: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC,
CD, DA.
Chứng minh : MN QP ; NP MQ .
Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp .
Gọi B’ là điểm đối xứng B qua O . Chứng minh : AH B' C .
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD . Dựng
AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ O
B. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTO:
Bài 1: Cho 4 điểm bất ḱ M,N,P,Q . Chứng minh các đẳng thức sau:
a) PQ NP MN MQ ; b) NP MN QP MQ ;
c) MN PQ MQ PN ;
Bài 2: Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh rằng:
a) AD BA BC ED EC 0 ;
b) AD BC EC BD AE
Bài 3: Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S. Chứng minh:
- a) MN PQ MQ PN . b) MP NQ RS MS NP RQ .
Bài 4: Cho 7 ñieåm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a) AB + CD + EA = CB + ED
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD
c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0
Bài 5: Cho h́nh b́nh hành ABCD, có tâm O. CMR: OA OB OC OD 0 .
Bài 6: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :
OA OB OC OD OE O
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
b) OA + OC + OE = 0
c) AB + AO + AF = AD
d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ).
Bài 8: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ;
CARS
-
Chứng minh rằng : RF + IQ + PS = 0
Bài 9: cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BD. Gọi E là
trung điểm I J . CMR: EA EB EC ED 0 .
Bài 10: Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm AB, BC, CA. CMR:
a) AN BP CM 0 ; b) AN AM AP ;
c) AM BN CP 0 .
Bài 11: Cho h́nh thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E là trung
điểm DB. CMR:
EA EB EC ED DA BC .
Bài 12: ( Hệ thức trung điểm) Cho 2 điểm A và B.
a) Cho M là trung điểm AB. CMR với điểm I bất ḱ : IA IB 2 IM
b) Với N sao cho NA 2 NB . CMR với I bất ḱ : IA 2 IB 3IN
c) Với P sao cho PA 3PB . CMR với I bất ḱ : IA 3IB 2 IP
Bài 13: ( Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G:
a) CMR: GA GB GC 0 . Với I bất ḱ : IA IB IC 3IG .
1
b) M thuộc đoạn AG và MG = GA . CMR 2MA MB MC 0
4
c) Cho tam giác DEF có trọng tâm là G’ CMR:
-
+ AD BE CF 0 .
+ T́m điều kiện để 2 tam giác có cùng trọng tâm.
Bài 14: ( Hệ thức h́nh b́nh hành) Cho h́nh b́nh hành ABCD tâm O. CMR:
a) OA OB OC OD 0 ;
b) với I bất ḱ : IA IB IC ID 4 IO .
C. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI:
Bài 1: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính độ dài các vectơ
BA BC , CA CB.
Bài 2: cho h́nh thoi ABCD cạnh a. BAD 600 , gọi O là giao điểm của 2
đường chéo. Tính:
| AB AD | ; BA BC ; OB DC .
Bài 3: Cho h́nh vuông ABCD cạnh a. Tính:
AC BD ; AB BC CD DA .
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AC và BD. Hăy tính :
-
IB ID JA JC .
D. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
Bài 1. Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.
a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.
1
1
b) Gọi E, F thoả mn : ME MN , BF BC . CMR : A, E, F thẳng hng.
3 3
Bài 2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mn AF =
2FC.
a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mn 4EI = 3FI. CMR : A,
M, I thẳng hng.
b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC v J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF.
CMR A, J, N thẳng hng.
c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng
hng.
Bài 3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mn : MB 3MC O ,
PB PA O . CMR : M, N, P thẳng hng.
AN 3NC ,
1
1
1
( MP CB CA, MN CB CA ).
2 2 4
-
1
Bài 4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mn LB 2 LC, MC MA ,
2
NB NA O . CM : L, M, N thẳng hng.
Bài 5. Cho tam gic ABC với G l trọng tm. I, J thoả mn : 2 IA 3IC O ,
2 JA 5 JB 3 JC O .
a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC.
b) CMR J là trung điểm BI.
c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mn AE k AB . Xác định k để C, E, J
thẳng hng.
Bài 6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mn : IA 2 IB, 3 JA 2 JC=O . CMR :
Đường thẳng IJ đi qua G.
Bài 7: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và
1
K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK = AC. Chứng minh ba điểm B,
3
I, K thẳng hàng
Bài 8: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức
BC MA O; AB NA 3 AC O . Chứng minh MN // AC.
E. Phân tích vecto theo các vecto khác phương. Xác định vị trí một
điểm thoả mn một đẳng thức Vectơ:
Bài 1: Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho :
a) MB MC AB b) 2 MA MB MC O
-
c) MA 2 MB MC O d) MA MB 2 MC O
e) MA MB MC O f) MA 2 MB MC O
Bài 2: Cho tam giac ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB .
2
G là trọng tâm tam giác ABC . D, E xác định bởi : AD = 2 AB và AE = AC .
5
Tính DE và DG theo AB và AC . Suy ra 3 điểm D,G,E thẳng hàng
F. Hệ trục tọa độ
1.Trong mpOxy cho 4 điểm A (1 ;–2) B(0 ; 3) C(–3; 4) D(–1 ; 8) . Bộ ba
trong 4 điểm trên bộ nào thẳng hàng ĐS: A ; B ;D
2.Trong mpOxy cho 3 điểm A(1 ;–2) B(3 ; –1) C(–3 ; 5)
a.Chứng minh ABC l một tam gic .
b.Tìm tọa độ trọng tâm của tam gia1cABC .
c)Gọi I(0 ; 2) .Chứng minh A ; G; M thẳng hng.
d) Gọi D(-5;4) .Chứng minh ABCD l hình bình hnh.
1
3.Cho cc vecto a 2; 0 b 1; c 4 ;6 . Tìm tọa độ vecto
2
u 2a 4b 5c DS : u (28;32)
4.Cho tam giác ABC , G là trọng tâm của tam giác . Tính tọa độ vecto
u 3GA 2GC 4GB ĐS: (1 ; -14)
- 5.Cho
3 7
a 1; 2 b 3 ;1 c 4 ;2 .Phaân vecto a theo 2 vecto b vaøc
tích ÑS : a b c
5 10
6.Cho a 5 ; 2 b 4 ;1 c 2 ;7
a.Chứng minh a ; b không cùng phương. B.Phân tích vecto
c theo 2 vecto a ; b ÑS : c 2a 3b
7.Cho 3 điểm A(2;1) B(2;–1) C(–2 ;–3) .
a.Chứng minh A,B,C không thẳng hàng . Tìm D sao cho ABCD là hình
bình hành . ĐS: D(–2;–1)
8.Cho tam giác ABC với A(–1;–2) B(3;2) C(4 ; -1) .
a.Tìm trung điểm I của AC .b.Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
33
ĐS: I ; D(0;5)
2 2
9.Trong mpOxy cho 3 điểm M(-4 ; 1) N(2;4) P(2 ; –2) lần lượt là trung
điểm của 3 cạnh BC ; CA và AB của tam giác ABC.
a.Tìm A ; B ;C ĐS: A(8;1) B(-4;-5) C(-4;7)
b.Chứng minh 2 tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
10.Cho tam giác ABC với A(–3;6) B(9;–10) C(-5;4) .
a.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . ĐS:
- b.Tìm D sao cho BGCD là hình bình hành.
11.Cho 4 điểm A(-2 ; -3) B(3;7) C(0;3) và D(-4 ; -5) .
a.Chứng minh AB //CD b. Tìm giao điểm I của AD và BC ĐS (-12;-13)
Hướng dẫn:
Tính AI ; BI ; AD ; BC AI cuønghöôngAD vaø I cuøng höôngBC
p B p
- Suy ra heä höôngtrình
p - Giaûi eä toïañoä
h tìm I
nguon tai.lieu . vn