Xem mẫu
-
Hình học mặt phẳng tọa độ
..........., tháng ... năm ........
- H×nh häc mÆt ph¼ng täA ®é
C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ tam gi¸c: viÕt pt c¸c c¹nh cña tam gi¸c, t×m c¸c ®Ønh
chó ý: - 2 ®g th¼ng // th× cã cïng vÐc t¬ ph¸p tuyªn vµ vÐc t¬ chØ ph¬ng
- 2 ®g th¼ng vu«ng gãc th× ph¸p tuyÕn ®êng nµy lµ chØ ph¬ng cña ®g kia,
chØ ph¬ng ®êng nµy lµ ph¸p tuyÕn cña ®g kia C(x;y)
Lo¹i 1: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng cao kh«ng qua ®Ønh ®ã:
c¸ch gi¶i: - viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi CK A’ B’
- viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi BH
B A
B
Lo¹i 2: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng trung tuyÕn kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i:
- LÊy ®iÓm M thuéc BM theo tham sè, theo c«ng thøc trung ®iÓm t×m C’
to¹ ®é C , thay to¹ ®é C vµo PT ®êng CN t×m tham sè t ®iÓm C
- LÊy ®iÓm N thuéc CN theo tham sè, tõ CT trung ®iÓm t×m to¹ ®é B
thay voµ PT ®êng BM t×m tham sè t ®iÓm B C B’ A(x;y)
A’
lo¹i 3: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng ph©n gi¸c trong kh«ng qua ®Ønh ®ã C
c¸ch gi¶i: - gäi A’ vµ A’’ lµ diÓm ®èi xøng cña A qua ®êng ph©n gi¸c
BB’ vµ CC’ A’ vµ A’’ thuéc c¹nh BC
- viÕt PT c¹nh BC, t×m giao cña nã víi ®êng CC’, BB’ta cã ®iÓm I
B vµ C
B A(x;y)
chó ý : J
A’’
c¸c bµi to¸n kÕt hîp ®êng cao vµ ph©n gi¸c; ®êng cao vµ trung tuyÕn; trung tuyÕn vµ ph©n gi¸c ta ®Òu dùa vµo
c¸ch gi¶i 3 bµi to¸n c¬ b¶n trªn
lo¹i 4: Bµi to¸n cho diÖn tÝch, cho ®iÓm trªn ®o¹n th¼ng theo tØ sè cho tríc
c¸ch gi¶i: Ta dïng c«ng thøc diÖn tÝch, c«ng thøc t×m to¹ ®é cña ®iÓm chia ®o¹n th¼ng theo tØ sè k
Bµi tËp:
3
1/ Cho A ( 4 ; 6 ) , B( 1; 4) ,C( 7 ; ), D (- 2; 2)
2
a/ Chöùng minh raèng A , B, C khoâng thaúng haøng : A , B , D thaúng haøng.
b/ Tìm ñieåm E ñoái xöùng vôùi A qua B.
c/ Tìm ñieåm M sao cho töù giaùc ABCM laø hình bình haønh.
d/ Tìm toïañoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC .
2/ Cho A ( -1 : 3 ) ,B (1 ; 1 ) , C ( 2 ; 4 ) .
a/ Xaùc ñònh toïa ñoä taâm I cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.
b/ Xaùc ñònh toïa ñoä troïng taâm G, tröïc taâm H cuûa tam giaùc ABC .suy ra ba ñieåm G,H,I thaúng haøng.
3/ Cho hai ñieåm A( 1; -2 ) vaø B( 3 ; 4 ) .
a/ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua truïc hoaønh.
b/ Tìm ñieåm M treân truïc hoaønh sao cho MA +MB nhoû nhaát .
c/ Tìm ñieåm N treân truïc tung sao cho NA + NB nhoû nhaát.
d/ Tìm ñieåm I treân truïc tung sao cho | IA IB | ngaén nhaát.
e/ Tìm J treân truïc tung sao cho JA –JB daøi nhaát.
1
- 4/Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñieåm A(1;1) . Haõy tìm ñieåm B treân ñöôøng thaúng y =3 vaø ñieåm C
treân truïc hoaønh sao cho ABC laø tam giaùc ñeàu.
5/Trong maët phaúng Oxy cho ñieåm B treân ñöôøng thaúng x + 4 = 0 vaø ñieåm C treân ñöôøng thaúng x–3 =0
a) Xaùc ñònh toïa ñoä B vaø C sao cho tam giaùc OBC vuoâng caân ñænh O
b) Xaùc ñònh toïa ñoä B;C sao cho OBC laø tam giaùc ñeàu.
CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP
Daïng 1: Laäp phöông trình cuûa ñöôøng thaúng:
Baøi 1 : Vieát phöông trình tham soá phöông trình , chính taéc roài suy ra phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng
thaúng trong caùc tröôøng hôïp sau:
1/ Qua ñieåm M(2 ; -5) vaø nhaän vectô u =( 4; -3) laøm vectô chæ phöông .
2/ Qua hai ñieåm A(1 ; - 4 ) vaø B( -3 ; 5 ) .
3/ Qua ñieåm N ( 3 ; -2 ) vaø nhaän vectô n = ( 5 ; - 2 ) laøm vectô phaùp tuyeán .
Baøi 2: Vieát Phöông trình tham soá , phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng coù phöông trình toång quaùt laø: 3x
– 2y + 6 = 0 .
Baøi 3: Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho caùc ñieåm A( 5 ; 5) , B( 1 ; 0) , C( 0; 3) . Vieát phöông trình ñöôøng
thaúng d trong caùc tröôøng hôïp sau :
a) d ñi qua A vaø caùch B moät khoaûng baèng 4.
b) d ñi qua A vaø caùch ñeàu hai ñieåm B , C
c) d caùch ñeàu ba ñieåm A; B ; C
d) d vuoâng goùc vôùi AB taïi A. e; d laø trung tuyeán veõ töø A cuûa tam giaùc ABC.
Baøi 4: Cho tam giaùc ABC . M ( 1 ; - 2 ) , N ( 8 ; 2 ) , P ( -1 ; 8 ) laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB , BC
, CA . 1/ Vieát phöông trình toång quaùt cuûa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.
2/ Vieát phöông trình caùc ñöôøng trung tröïc cuûa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.
Baøi 5: Cho ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình : 4x – 3y + 5 = 0 .
1/ Laäp phöông trình toång quaùt ñöôøng thaúng ( d’) ñi qua ñieåm A (1 ; -2 ) vaø song song vôùi (d).
2/ Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (d’’) ñi qua ñieåm M( 3 ; 1 ) vaø (d’’) vuoâng goùc vôùi (d).
Baøi 6 : Cho hai ñöôøng thaúng d: 2x + 7y – 8 = 0 vaø d’ : 3x + 2y + 5 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi
qua giao ñieåm cuûa d vaø d’vaø thoaû maûn moâït trong caùc ñieàu kieän sau ñaây :
1/ Ñi qua ñieåm ( 2 ;- 3) 2/ Song song vôùi ñöôøng thaúng x – 5y + 2 = 0
3/ Vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x- y + 4 = 0 .
Baøi 7 :Tam giaùc ABC coù A( -1 ; - 3 ) , caùc ñöôøng cao coù phöông trình : BH: 5x + 3y –25 = 0;
CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Vieát phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC vaø ñöôøng cao coøn laïi.
Baøi 8 :Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho caùc ñieåm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Vieát phöông trình ñöôøng
thaúng d trong moåi tröôøng hôïp sau :
1/ d qua M vaø caùch N moät khoaûng baèng 4. 2/ D qua M vaøcaùch ñeàu hai ñieåm N, P.
Baøi 9: Laäp phöông trình caùc ñöôøng thaúng chöùa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát A( 1; 3) vaø hai trung
tuyeán coù phöông trình laø x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0.
Baøi 10: Laäp phöông trình caùc ñöôøng thaúng chöùa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu cho ñieåm B(-4;-5) vaø hai
ñöôøng cao coù phöông trình laø :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0.
Baøi 11 : Cho ñieåm P( 3; 0) vaø hai ñöôøng thaúng d1: 2x – y – 2 = 0 , d2:x + y + 3 = 0. Goïi d laø ñöôøng thaúng qua
P caét d1 , d2 laàn löôït taïi A vaø B .Vieát phöông trình cuûa d bieát PA = PB.
Baøi 12 : Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát C(4 ; -1 ) ñöôøng cao vaø trung tuyeán keû töø moät
ñænh laàn löôït coù phöông trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 .
Baøi 13 : Cho tam giaùc ABC coù M( - 2 ; 2) laø trung ñieåm cuûa caïnh BC caïnh AB coù phöông trình laø x – 2y
– 2 = 0,caïnh AC coù phöông trình laø 2x + 5y + 3 = 0 . Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùc ABC.
2
- Baøi 14 : Cho hai ñöôøng thaúng d1: x – y = 0 , d2 :x – 2y – 2 = 0. Tìm ñieåm A treân d1, C treân d2 vaø B , D treân
truïc hoaønh sao cho ABCD laø hình vuoâng .
Daïng 2 : Hình chieáu cuûa moät ñieåm treân ñöôøng thaúng
1 / Phöông phaùp : Xaùc ñònh hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm M treân ñöôøng thaúng d:
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d’ ñi qua dieåm M vaø vuoâng goùc vôùi d .
Giaûi heä goàm hai phöông trình cuûa d vaø d’ ta coù toïa ñoä cuûa ñieåm H.
2/ Phöông phaùp :Xaùc ñònh ñieåm N ñoái xöùng cuûa ñieåm M qua d.
Duøng phöông phaùp treân ñeå tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm M treân ñöôøng thaúng d.
Ñieåm N ñoái xöùng vôùi M qua d neân H laø trung ñieåm ñoaïn MN , töø ñieàu kieän ñoù ta tìm ñöôïc toïa ñoä
ñieåm N
Baøi taäp :
Baøi 1 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñieåm M(-6 ; 4 ) vaø ñöôøng thaúng d: 4x – 5y + 3 = 0.
1/ Tìm toïa ñoä hình chieáu H cuûa M treân ñöôøng thaúng d.
2/ Tìm ñieåm N ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua d .
Baøi 2 : Trong mp vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñeåm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) vaø ñöôøng thaúng d : 2x – y – 1 = 0 .
1/ Chöùng minh raèng A , B naèm veà cuøng moät phía ñoái vôùi ñöôøng thaúng d.
2/ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua d .
3/ Tìm ñieåm M treân ñöôøng thaúng d sao cho MA + MB beù nhaát.
Daïng 3 : Caùc baøi toaùn veà vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng
Baøi 1: Xaùc ñònh a ñeå caùc ñöôøng thaúng sau ñaây ñoàng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 .
Baøi 2 : Cho hai ñöôøng thaúng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 .Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì :
1/ d vaø d’ caét nhau. 2/ d // d’. 3/ d truøng vôùi d’.
Baøi 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì hai ñöôøng thaúng sau caét nhau taïi moät ñieåm treân truïc hoaønh
d: ( m -1) x + my – 5 = 0 , d’: mx +( 2m – 1) y + 7 = 0.
Daïng 4 : Caùc baøi toaùn Söû duïng coâng thöùc tính goùc vaø khoaûng caùch.
Baøi 1 : Tính goùc giöõa caùc caëp ñöôøng thaúng sau :
1/ 4x + 3y +1 = 0 , x+ 7y – 4 = 0
2/ 6x – 8y –15 = 0 , 12x + 9y + 4 = 0 .
Baøi 2 : Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ( 3 ; 2) ñeán caùc ñöôøng thaúng sau ñaây:
1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 .
Baøi 3: Cho ñöôøng thaúng d: 3x – 2y +1 = 0 vaø ñieåm A(1;2) . Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua A vaø
hôïp vôùi d moät goùc 450 .
Baøi 4 : Cho tam giaùc ABC caân ñænh A . Cho bieát BC: 2x – 3y –5 = 0 ,
AB :x + y + 1 = 0. Laäp phöông trình caïnh AC bieát raèng noù ñi qua ñieåm M(1;1).
Baøi 5: Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm M( 2;7 ) vaø caùch ñieåm A(1;2) moät khoaûng baèng1.
Baøi 6 : Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm P( 2 : -1) sao cho ñöôøng thaúng ñoù cuøng vôùi hai ñöôøng
thaúng : (d1):2x – y + 5 = 0 , (d2) : 3x + 6y – 1 = 0 taïo ra moät tam giaùc caân coù ñænh laø giao ñieåm cuûa
(d1) vaø (d2) .
Baøi 7 : Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát B( 2 ;- 1 ),ñöôøng cao qua ñænh A coù phöông trình
3x – 4y +27 = 0 vaø phaân giaùc trong cuûa goùc C coù phöông trình x + 2y – 5 = 0.
Baøi 8: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng song song vôùi d:3x –4y +1=0 vaø caùch d moät khoaûng baèng 1
CAÙC BAØI TAÄP TRONG CAÙC ÑEÀ THI
1/ Trong maët phaúng Oxy moät tam giaùc coù phöông trình hai caïnh 5x-2y + 6 =0 vaø 4x +7y – 21 =0. Vieát
phöông trình caïnh thöù ba bieát tröïc taâm cuûa tam giaùc truøng vôùi goùc toïa ñoä .
2/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa hình vuoâng coù moät ñænh laø (-4; 5)vaø moät ñöôøng cheùo coù phöông trình laø
7x- y +8 = 0
3
- 3/ Chgo tam giaùc ABC ,caïnh BC coù trng ñieåm M(0; 4) coøn hai caïnh kia coù phöông trình :
2x + y – 11 =0 vaø x + 4y – 2 =0
a. Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm A.
b. Goïi C laø ñieåm treân ñöôøng thaúng x – 4y – 2 = 0 , N laø trtrung ñieåm AC . Tìm N roài suy ra toïa ñoä cuûa
B , C.
4/ Cho tam giaùc ABC coù M(-2 ;2) laø trung ñieåm cuûa BC , caïnh AB coù phöông trình x –2y–2=0
caïnh AC coù phöông trình 2x + 5y + 3 =0. Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùcABC.
5/ Cho A(-1; 2)vaø B(3;4).Tìm ñieåm Ctreân ñöôøng thaúng x –2y +1=0 sao cho tam giaùc ABC vuoâng taïi C .
6/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh B(3;5),ñöôøng cao veõ töø A coù phöông trình 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyeán veõ töø
C coù phöông trình x + y – 5 =0
a. Tìm toïa ñoä ñieåm A. b, Vieát phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.
7/ Cho tam giaùc ABC coù troïng taâm G(-2;1)vaø coù caùc caïnh AB:4x+y 15 = 0 vaø AC :2x+5y +3 = 0.
a,Tìm toïa ñoä A vaø trung ñieåm M cuûa caïnh BC b,Tìm toïa ñoä ñieåm B vaø vieát phöng trình ñöôøng thaúng BC.
8/ Cho A(1;1), B(-1;3)vaø ñöôøng thaúng d:x+y+4 =0.
a, Tìm ñieåm C treân d caùch ñeàu hai ñieåm A,B. Vôùi C vöøa tìm ñöôïc .Tìm D s/cho ABCD laø hbh .tính Shbh.
9/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh A(-1;-3)
a. Bieát ñöôøng cao BH:5x+3y –35=0, ñöôøng cao CK:3x+8y – 12 =0 .Tìm B,C.
b. Bieát trung tröïc cuûa caïnh AB coù phöông trình x+2y –4=0 vaø troïng taâm G(4;-2).Tìm B,C.
10/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát ñænh C(4;-1) ñöôøng cao vaø trung tuyeán veõ töø moät ñænh
coù phöông trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0.
11/Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu bieát A(1;3) vaø hai trung tuyeán coù phöông trình x-2y+1
=0, y -1=0 .
12/ Cho tam giaùc ABC coù A(2;-1) vaø phöông trình hai phaân giaùc trong cuûa goùc B vaø C laàn löôït laø d:x –
2y+1=0 , d’:x+y+3 = 0. Tìm phöông trình caïnh BC.
13/ Cho tam giaùc ABC coù A(2;-3) ,B(3;-2)troïng taâm G cuûa tam giaùc naèm treân ñöôøng thaúng
3x –y – 8 =0,dieän tích tam giaùc ABC baèng 3/ 2.Tìm C.
14 / Cho tam giaùc caân ABC coù phöông trình caïnh ñaùy AB:2x –3y+5=0caïnh beân AC:x+y+1=0.
Tìm phöông trình caïnh beân BC bieát noù ñi qua ñieåm D(1;1).
15/ Cho hình chöû nhaät ABCD coù taâm I(1/ 2;0),phöông trình ñöôøng thaúng AB laø
x –2y+2=0,AB=2AD . Tìm toïa ñoä caùc ñænh A,B,C,D bieát A coù hoaønh ñoä aâm.
16/ Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñöôøng thaúng d1:x-y=0,d2:2x+y+1=0.Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa
hình vuoâng ABCD bieát A thuoäc d1, C thuoäc d2vaø caû hai ñænh B,D thuoäc truïc hoaønh.
17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Troïng taâm G cuûa tam giaùc naèm treân ñöôøng thaúng d: 3x – y -8 = 0, dieän
tích tam giaùc ABC baèng 3/2 . Tìm C.
18/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát ñænh C(4;-1) ñöôøng cao vaø trung tuyeán ke û töø moät
ñænh coù phöông trình 2x -3y +12 = 0 vaø 2x + 3y = 0.
20/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu bieát A(1;3) vaø hai ñöôøng trung tuyeán coù
phöông trình laø x -2y+1= 0 vaø y-1 =0.
21/ Cho tam giaùc ABC bieát C(4;3) phaân giaùc trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyeán (AE)
4x+13y-10 = 0. Laäp phöông trình ba caïnh.
22/ Cho tam giaùc ABC bieát A(2;-1) vaø phöông trình hai ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc B vaø C
laàn löôït laø d: x-2y+1=0 vaø x+y+3=0 .Tìm phöông trình cuûa ñöôøng thaúng chöùa caïnh BC.
23/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh A(-1;3) , ñöôøng cao BH naèm treân ñöôøng thaúng y= x , phaân giaùc
trong goùc C naèm treân ñöôøng thaúng x+3y+2=0 . Vieát phöông trình caïnh BC .
24/ Cho tam giaùc ABC vuoâng ôû A , phöông trình BC laø 3x y 3 0 , caùc ñænh A vaø B thuoäc truïc
hoøanh vaø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp baèng 2. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC.
4
- ÑÖÔØNG TROØN
A . LYÙ THUYEÁT CAÀN NHÔÙ
I .phöông trình ñöôøng troøn :
* Ñöôøng troøn ( C ) coù taâm I ( a; b) ,baùn kính R coù phöông trình laø :
(x – a )2 + ( y – b)2 = R2
* Phöông trình : x2+ y2 –2ax – 2by + c = 0 , a2+ b2 – c > 0 laø phöông trình cuûa moät ñöôøng troøn coù taâm
I ( a ; b ) ,baùn kính R = a 2 b 2 c
II. Phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi ñöôøng troøn.
Cho ñöôøng troøn ( C ) coù phöôngtrình : F ( x ; y ) = x2+y2 – 2ax – 2by + c = 0 vaù ñieåm M0(x0 ;y0)
PM / (C ) = F (x0 ; y0 ) = x02 +y02 –2ax – 2by + c .
III. Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn :
Cho hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm ( C1) : x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = 0 ,
( C2 ) : x2 + y2 – 2a2x - 2b2y + c2 = 0 .
Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn ( C1) , ( C2) coù phöông trình laø :
2( a1- a2) x + 2( b1- b2) y – c1+ c2 = 0 .
IV. Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn
1/Daïng 1: Cho ñöôøng troøn ( C ) : ( x – a )2 + ( y –b)2 = R2. Taâm I ( a ;b) , baùn kính R.
Tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ñieåm M0( x0 ; y0) ( C ) coù phöông trình :
(x0 – a) (x – a ) + ( y0 – b)( y – b) = R2
Chuù yù: Tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M0 nhaän vectô M0I laøm vectô phaùp tuyeán töø ñoù suy ra phöông trình
tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M0.
2/ Daïng 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng k.
* Ñöôøng thaúng coù heä soá goùc k coù phöông trình : y = kx + m
* tieáp xuùc vôùi ( C ) d( I , ) = R.Töø ñieàu kieän naøy ta tìm ñöôïc m.
3/ Daïng 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) ñi qua M( xM ; yM).
* Ñöôøng thaúng qua M coù phöông trình : A ( x – xM ) + B ( y – yM) = 0.
* tieáp xuùc vôùi ( C ) d( I , ) = R.Töø ñieàu kieän naøy ta tìm ñöôïc A vaø B.
B. CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP
Baøi 1 :Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa caùc ñöôøng troøn sau :
1/ x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 . 2/ 2x2 + 2y2 + 4x - 8y - 2 = 0 .
3/ x2 + y2 – 6x – 16 = 0 . 4/ x2 + y2 - 8y - 9 = 0 .
Baøi 2 :Laäp phöông trình ñöôøng troøn ( T ) trong caùc tröôøng hôïp sau:
1/ ( T ) coù taâm I ( 2 ; - 1) vaø coù baùn kính R = 3 .
2/ ( T ) coù ñöôøng kính AB vôùi A ( 1 ; 2 ) , B( - 5 ; 4 ) .
3/ ( T ) coù taâm I ( 3 ; - 1 ) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng : 4x –3y + 5 = 0 .
4/ ( T ) ñi qua ba ñieåm A ( - 1 ; - 5 ), B ( 5 ; - 3 ) , C ( 3 ; -1 ).
5/ ( T )tieáp xuùc vôùi hai truïc toïa ñoä vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng :2x – y – 8 = 0.
6/ ( T ) qua hai ñieåm A(1;2 ),B(3; ) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng coù phöông trình : 3x +y–3 = 0
Baøi 3 : Cho ñöôøng troøn ( C ) coù phöông trình x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0 .Laäp phöông trình tieáp tuyeán d vôùi (
C): 1/ Taïi ñieåm M ( 2 ; 1 ) . 2/ Bieát d song song vôùi : 3x – 4y – 2004 = 0.
3/ Bieát d ñi qua ñieåm A ( 2 ; 6 ) .
Baøi 4: Cho ñöôøng troøn ( T ) coù phöông trình : x2 + y2 – 4x – 2y = 0 .
1/ Tính phöông tích cuûa ñieåm M ( 5 ; -2) ñoái vôùi ñöôøng troøn ( T ).
2/Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (T)vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng :2x – 3y + 1= 0.
5
- 3/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( T ) keû töø N (– 2 ; 6 ).
Baøi 5 : Cho hai ñöông troøn ( C1 ) vaø ( C2 ) laàn löôït coù phöông trình laø :
x2 + y2 + 4x + 4y –13 = 0 , x2 + y2 - 2x + 8 y + 5 = 0 .Vieát phöông trình truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng
troøn ñoù .
Baøi 6 : Cho ( Cm) coù phöông trình : x2 + y2 – 2mx – 4my + 2m2 – 1 = 0.
1/ Tìm caùc giaù trò cuûa m sao cho (Cm ) laø ñöôøng troøn. 2/ Tìm taäp hôïp taâm I cuûa ( Cm ) .
2 2
Baøi 7 : Cho ñöôøng troøn (T) coù phöông trình : x + y – 2x + 4y – 20 = 0.
a) Vieát phöông trình tieáp tuyeá cuûa (T) taïi caùc ñieåm A(4 ;2) , B(-3 ; -5) .
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeá cuûa (T) ñi qua C( 6 ; 5) .
c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa (T) vaø (T’) coù pt : x2 +y2 -10x + 9 = 0
d) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì (T) tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (T’’) coù pt: x2 + y2 – 2my = 0.
CAÙC BAØI TAÄP TRONG CAÙC ÑEÀ THI
1/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc coù ba ñænh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1)
2/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc coù ba caïnh naèm treân ba ñöôøng thaúng :
x 2
(d1) : y , (d2) : y = x+2 , (d3): y = 8 – x
5 5
3/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc coù ba ñænh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1).
4/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc ñieåm A( -1;1) , B(1;-3) vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d)
:2x – y + 1 = 0
5/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ñi qua ñieåm A(-1;-2) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng
(d) : 7x-y-5= 0 taïi ñieåm M(1;2)
6/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d1) : 2x +y = 0 vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng
thaúng (d2): x -7y+10 = 0 taïi ñieåm M(4;2).
7/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d1) : 4x + 3y – 2 = 0 vaø tieáp xuùc vôùi hai
ñöôøng thaúng (d2) : x +y+4 = 0 ,(d3) :7x – y+4 = 0
8/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn qua A( 2;-1) vaø tieáp xuùc vôùi hai truïc toaï ñoä .
9/ Cho hai ñöôøng troøn (C1): x2+y2 -10x = 0 , (C2): x2+y2 +4x – 2y – 20 = 0
a. Vieát phöông trình ñöôøng troøn qua giao ñieåm cuûa (C1) ,(C2) vaø coù taâm (d):x+6y – 6 = 0.
b. Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (C1) ,(C2)
10/ Cho (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 vaø ñöôøng thaúng (d) : x – y – 1 = 0 . Vieát phöông trình ñöôøng troøn ( C’)
ñoái xöùng vôùi ( C) qua (d)
11/ Cho hai ñöôøng troøn (C1) : x2+y2 – 4x – 5 = 0 , (C2): x2+y2 – 6x +8y +16 = 0 . Vieát phöông trình tieáp
tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn .
12/ Cho hai ñöôøng troøn : (C1) : x2+y2 – 4x +2y –4 = 0 , (C2): x2+y2 – 10x – 6y +30 = 0 coù taâm I, J.
a. Chöùng minh raèng (C1) vaø (C2) tieáp xuùc ngoaøi vôùi nhau , tìm toïa ñoä tíeâp ñieåm H.
b. Goïi (d) laø moät tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2) khoâng qua H .Tìm toïa ñoä giao ñieåm K cuûa (d) vôùi
IJ .Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) ñi qua K vaø tieáp xuùc vôùi (C1) vaø (C2) taïi H.
13/ Cho ñieåm M(6;2) vaø ñöôøng troøn (C) :x2+y2 – 2x – 4y = 0 . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua M
vaø caét (C ) taïi hai ñieåm A,B sao cho AB = 10 .
14/Cho ñöôøng troøn (C ) : x2+y2 – 2x – 6y – 9 = 0 vaø ñieåm M(2;4) .
a. Chöùng toû raèng M naèm trong ñöôøng troøn.
b. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua M caét (C ) taïi hai ñieåm phaân bieät A vaø B sao cho M laø trung
ñieåm cuûa ñoaïn AB.
c. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C’) ñoái xöùng vôùi (C ) qua AB.
15 / Cho ba ñöôøng thaúng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = 0 , (d3) : y = 0 .(d1) (d2) = A,
6
- (d2) (d3) =B , (d3) (d1) = C.
a. Vieát phuöông trình phaàn giaùc trong cuûa goùc BAC .
b. Tính dieän tích tam giaùc ABC .
c. Vieát phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC .
16/ Cho ñöôøng troøn (C) :x2 + y2 -8x -6y = 0 vaø ñieåm A(14;8) . Qua A keû caùc tieáp tuyeân AM,AN vôùi
(C) . Laäp phöông trình ñöôøng thaúng MN .
17/ Cho (Cm) : x2+y2 +2(m – 1)x – 2(m – 2 )y +m2 -8m +13 = 0.
a.Xaùc ñònh m ñeå (Cm) laø ñöôøng troøn .
b. Tìm quyõ tích taâm I cuûa (Cm) .
18/ Cho (C) : x2 + y2+2x – 4y – 20 = 0 vaø A(3 ; 0) .Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua A vaø caét (C)
theo moät daây cung coù ñoä daøi nhoû nhaát.
19/ Cho hai ñöôøng troøn (C1) :x2 + y2 – 2x – 9y – 2= 0 vaØ (C2) : x2 + y2 – 8x – 9y +16 = 0.
a. Chöùng minh raèng (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau .
b. Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn ñoù .
20/ Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa caùc caëp ñöôøng troøn sau :
a. (C1): x2 + y2 -10x = 0 , (C2): x2 + y2 +4x -2y -20 = 0
b. (C1): x2 + y2 - 4x - 5 = 0 , (C2): x2 + y2 - 6x +8y +16 = 0
C«ng thøc vÒ E-LÝp
x2 y2
Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t: + = 1 (a,b>0)
a2 b2
NÕu a>b th×: b2= a2- c2 NÕu b>a th×: a2= b2- c2
trôc lín lµ 2a trôc lín lµ 2b
trôc nhá lµ 2b trôc nhá lµ 2a
tiªu cù lµ 2c tiªu cù lµ 2c
t©m sai e=c/a t©m sai e=c/b
tiªu ®iÓm ( thuéc Ox) F1=(-c;0) F2=(c;0) tiªu ®iÓm ( thuéc Oy) F1=(0;-c) F2=( 0;c)
Víi ®iÓm M(x;y) thuéc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ Víi ®iÓm M(x;y) thuéc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ
c c
MF1 a ex a x MF1 b ex a x
a b
c c
MF2 a ex a x MF2 b ex a x
a b
. CAÙC DANG BAØI TAÄP:
Baøi 1 : Tìm tieâu ñieåm , toïa ñoä caùc ñænh , tieâu cöï , ñoä daøi caùc truïc vaø taâm sai cuûa elip (E ) cho bôûi caùc
phöông trình sau :
1/ 16x2 + 25y2 = 400 ; 2/ 4x2 + 9y2 = 144 ;
3/ 9x2 +25 y2 = 225 ; 4/ 4x2 + 9y2 = 25.
Baøi 2 : Laäp phöông trình chính taéc cuûa elip ( E ) trong caùc tröôøng hôïp sau :
1/ ( E ) coù tieâu cöï baèng 6 ; truïc lôùn laø 2 10 .
2/ ( E ) coù truïc lôùn baèng 20 taâm sai baèng 3/5,
3/ ( E ) coù tieâu cöï baèng 8 vaø ñi qua ñieåm M ( 15 ; - 1 ).
12
4/ ( E ) coù moät tieâu ñieåm F2 ( 4 ; 0 ) vaø ñi qua ñieåm N ( 3 ; )
5
5/ ( E ) ñi qua hai ñieåm A ( 5 ; 0 ) vaø B ( 4 ; 3 2 )
6/ ( E ) coù truïc nhoû baèng 6 , phöông trình hai ñöôøng chuaån x 7 16 = 0.
7
- 1
7/ ( E ) coù taâm sai baèng , khoaûng caùch giöõa hai ñöôøg chuaån baèng 32.
2
Baøi 3 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) :4x2 + 25y2 = 100.
1/ Tìm caùc ñieåm treâ ( E ) coù hoaønh ñoä baèng 3 vaø tính khoaûng caùch giöûa hai ñieåm ñoù.
2/ Tìm nhöõng ñieåm M treân ( E ) sao cho baùn kính qua tieâu ñieåm beân traùi baèng hai laàn baùn kính qua
tieâu ñieåm beân phaûi .
Baøi 4 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) : 2x2 + 6y2 = 12 .
1/ Xaùc ñònh toïa ñoä caùc tieâu ñieåm vaø ñoä daøi caùc truïc cuûa ( E ) .
2/ Tìm nhöõng ñieåm M treân ( E ) nhìn hai tieâu ñieåm döôùi moät goùc vuoâng .
Baøi 5: Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) : 16x2 + 25y2 = 400 .
1/ Tìm caùc ñieåm M treân ( E ) sao cho 3F1M = F2M.
2/ Cho A , B laø hai ñieåm thuoäc ( E ) sao cho AF1+ BF2 = 8 .Haõy tính AF2 + BF1 .
Baøi 6 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) 16x2 + 25y2 = 100.
1/ Tìm toïa ñoä caùc tieâu ñieåm , toïa ñoä caùc ñænh , tính taâm sai cuûa ( E ) .
2/ Ñöôøng thaúng d ñi qua moät tieâu ñieåm cuûa ( E ) caét ( E ) taïi hai ñieåm A , B .Tính ñoä daøi AB
3/ Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng y = x + m caét (E )taïi hai ñieåm phaân bieät.
Baøi 7: Cho elip ( E ) : x2 + 4y2 =25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 0.
1/ Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø ( E ) .
2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán taïi caùc giao ñieåm ñoù.
3/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( E ) bieát tieáp tuyeán ñi qua M( 5; 5 ).
Baøi 8 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) : 9x2+ 16y2 = 144 bieát tieáp tuyeán :
1/ song song vôùi ñöôøng thaúng :3x – 2y +1 = 0.
2/ vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng :x + 2y – 3 = 0.
Baøi 9: Vieát phöông trình chính taéc cuûa elip (E) bieát raèng (E) nhaän caùc ñöôøng thaúng:
3x – 2y – 20 = 0 vaø x + 6y – 20 = 0 laøm tieáp tuyeán.
4
Baøi 10 : Cho elíp (E) coù hai tieâu ñieåm F1(- 3 ;0) ,F2( 3 ;0) vaø moät ñg chuaån coù phöông trình x = .
3
1/ Vieát phöông trình chính taéc cuûa (E).
2/ M laø ñieåm thuoäc (E) .Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc :P = F1M2 + F2M2 – 3OM2 – F1M.F2M.
3/ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) // Ox vaø caét (E) taïi hai ñieåm A,B sao cho OA OB.
Baøi 11:1/ Laäp pt chính taéc cuûa elíp (E) coù tieâu ñieåm F1( - 15 ;0), tieáp xuùc vôùi (d) : x + 4y – 10 = 0.
2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) vuoâng goùc vôùi (d’) : x + y + 6 = 0.
Baøi 12 : Cho (E) : 4x2 + 9y2 =36 vaø ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình mx – y – 1 = 0 .
1/ Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng (d) luoân caét (E) taïi hai ñieåm phaân bieät vôùi moïi m .
2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(1;3)
Baøi 13: 1/Laäp phöông trình chính taéc cuûa elíp (E) coù moät tieâu ñieåm F2( 10 ;0) ñoä daøi truïc lôùn 2 18
2/ Ñöôøng thaúng (d) tieâp xuùc vôùi(E) taïi M caét hai truïc toïa ñoä taïi A, B .Tìm M ñeå dieän tích tam giaùc
OAB nhoû nhaát .
x2 y2
Baøi 14 : Cho (E) : 1 .Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) trong ñoù a,b laø hai soá thay ñoåi
9 4
1/ Xaùc ñònh toïa ñoä giao ñieåm I cuûa AN vaø BM .
2/ Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñöôøng thaúng MN tieáp xuùc vôùi (E) laø ab = 4 .
x2 y2 x2 y2
Baøi 15 : trong maët phaúng toïa ñoä cho hai elíp (E1) : 1 vaø (E2): 1
16 1 9 4
1/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua giao ñieåm cuûa hai elíp .
2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai elíp .
8
- I.TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. AB ( x B x A , y B y A , z B z A )
2. AB AB x B x A 2 y B y A 2 z B z A 2
3. a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3
4. k.a ka1 , ka2 , ka3
5. a a12 a2 a3
2 2
a1 b1
6. a b a 2 b2
a b
3 3
7. a.b a1 .b1 a 2 .b2 a3 .b3
a1 a 2 a3
8. a // b a k.b a b 0
b1 b2 b3
9. a b a.b 0 a1 .b1 a 2 .b2 a 3 .b3 0
a a3 a3 a1 a1 a2
10. a b 2
b , ,
2 b3 b3 b1 b1 b2
11. a , b, c đồng phẳng a b .c 0
12. a , b, c không đồng phẳng a b .c 0
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1
x kx B y A ky B z A kz B
M A , ,
1 k 1 k 1 k
14. M là trung điểm AB
x xB y A y B z A zB
M A , ,
2 2 2
15. G là trọng tâm tam giác ABC
x x x y yB yC z A z B zC
G A B C , A , ,
3 3 3
16. Véctơ đơn vị cña 3 trôc: e1 (1,0,0); e2 (0,1,0); e3 (0,0,1)
17. M ( x,0,0) Ox; N (0, y,0) Oy; K (0,0, z ) Oz
18. M ( x, y,0) Oxy; N (0, y , z ) Oyz; K ( x,0, z ) Oxz
1 1
19. S ABC AB AC a12 a 2 a3
2 2
2 2
1
20. V ABCD ( AB AC ). AD
6
21. V ABCD . A B C D ( AB AD ). AA /
/ / / /
9
- 2.CÁC DẠNG TOÁN
Daïng 1: Chöùng minh A,B,C laø ba ñænh tam giaùc
A,B,C laø ba ñænh tam giaùc [ AB , AC ] ≠ 0
1
SABC = [AB , AC]
2
2.S ABC
Ñöôøng cao AH =
BC
Shbh = [AB , AC]
Daïng 2: Tìm D sao cho ABCD laø hình bình haønh
Chöùng minh A,B,C khoâng thaúng haøng
ABCD laø hbh AB DC
Daïng 3: Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän:
[ AB , AC ]. AD ≠ 0
1
Vtd = [AB , AC] . AD
6
*Ñöôøng cao AH cuûa töù dieän ABCD
1 3V
V SBCD.AH AH
3 SBCD
Theå tích hình hoäp :
V ABCD. A/ B /C / D / AB; AD . AA /
Daïng4: Hình chieáu cuûa ñieåm M
1. H laø hình chieáu cuûa M treân mp
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d n
Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()
2. H laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng (d)
*Vieát phöông trình mp qua M vaø vuoâng goùc vôùi (d): ta coù n a d
*Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()
Daïng 5 : Ñieåm ñoái xöùng
1.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua mp
*Tìm hình chieáu H cuûa M treân mp (daïng 4.1)
*H laø trung ñieåm cuûa MM/
2.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua ñöôøng thaúng d:
*Tìm hình chieáu H cuûa M treân (d) ( daïng 4.2)
H laø trung ñieåm cuûa MM/
10
- 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
1: ViÕt täa ®é cña c¸c vect¬ say ®©y: a 2 i j ; b 7 i 8k ; c 9 k ; d 3 i 4 j5k
2: Cho ba vect¬ a = ( 2;1 ; 0 ), b = ( 1; -1; 2) , c = (2 ; 2; -1 ).
a) T×m täa ®é cña vect¬ : u = 4 a - 2 b + 3 c b) Chøng minh r»ng 3 vect¬ a , b , c kh«ng ®ång ph¼ng .
c) H·y biÓu diÓn vect¬ w = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ a , b , c .
3: Cho 3 vect¬ a = (1; m; 2), b = (m+1; 2;1 ) , c = (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ó 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng .
1
4: Cho: a 2; 5;3 , b 0; 2; 1 , c 1; 7; 2 . T×m täa ®é cña vect¬: a) d 4 a b 3 c b) e a 4 b 2 c
2
5: T×m täa ®é cña vect¬ x , biÕt r»ng:
a) a x 0 vµ a 1; 2;1 b) a x 4 a vµ a 0; 2;1
c) a 2 x b vµ a 5; 4; 1 , b 2; 5;3 .
6: Cho ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng: A(1;3; 7), B ( 5; 2;0), C (0; 1; 1). H·y t×m träng t©m G cña tam gi¸c
ABC.
7: Cho bèn diÓm kh«ng ®ång ph¼ng : A(2;5; 3), B(1;0;0), C(3;0; 2), D(3; 1;2). H·y t×m täa ®é träng t©m G
cña tø diÖn ABCD.
8: Cho ®iÓm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm M:
a) Trªn c¸c mÆt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trôc täa ®é: Ox, Oy, Oz
9: Cho ®iÓm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cña ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm M:
a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mÆt ph¼ng Oxy c) Qua Trôc Oy.
10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cña c¸c ®Ønh cßn
l¹i.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §êng th¼ng AB c¾t mÆt ph¼ng Oyz t¹i ®iÓm M.
a) §iÓm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? b) T×m täa ®é ®iÓm M.
13 . Cho ba vect¬ a 1; 1;1 , b 4;0; 1 , c 3;2; 1 . T×m:
2 2 2 2 2 2 2
a) a . b c ; b) a b . c ; c ) a b b c c a ; d ) 3 a 2 a . b b c b ;
e) 4 a . c b 5 c .
14. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ a vµ b : a) a 4;3;1 , b 1;2;3 b) a 2;5;4 , b 6;0; 3 .
15. a) Trªn trôc Oy t×m ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®iÓm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1).
b) Trªn mÆt ph¼ng Oxz t×m ®iÓm c¸ch ®Òu ba ®iÓm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
16. XÐt sù ®ång ph¼ng cña ba vect¬ a , b , c trong mçi trêng hîp sau ®©y:
a ) a 1; 1;1 , b 0;1; 2 , c 4; 2;3 b) a 4;3; 4 , b 2; 1; 2 , c 1; 2;1
c) a 4; 2;5 , b 3;1;3 , c 2; 0;1 d ) a 3;1; 2 , b 1;1;1 , c 2; 2;1 .
17. Cho ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch ABC.
c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ó tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d) TÝnh ®é dµi ®êng cao cña ABC h¹ tõ ®Ønh A.
e) TÝnh c¸c gãc cña ABC.
11
- 18. Cho bèn ®iÓm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cña mét tø diÖn.
b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diÖn cña tø diÖn ABCD.
c) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®êng cao cña tø diÖn h¹ tõ ®Ønh A.
19. Cho ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc B.
20. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho bèn ®iÓm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diÖn. TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ABCD.
b) TÝnh ®é dµi ®êng cao h¹ tõ ®Ønh C cña tø diÖn ®ã.
c) TÝnh ®é dµi ®êng cao cña tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B.
d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®êng th¼ng AB, CD.
21. Cho 3 ®iÓm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) X¸c ®Þnh ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh .
b) T×m täa ®é giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo.
c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A.
T×m täa ®é träng t©m cña tam gi¸c ABC .
22. Cho 4 ®iÓm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iÓm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD
b) T×m täa ®é träng t©m cña tø diÖn ABCD .
c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiÒu cao cña tø diÖn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®êng cao cña tø diÖn vÏ tõ D .
23. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ba ®iÓm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cña tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectô phaùp tuyeán cuûa mp :
n ≠ 0 laø veùctô phaùp tuyeán cuûa n
2. Caëp veùctô chæ phöông cuûa mp :
a // b laø caëp vtcp cuûa a , b cuøng //
3 Quan heä giöõa vtpt n vaø caëp vtcp a , b : n = [ a , b ]
4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n = (A;B;C)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
() : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n = (A; B; C)
5.Phöông trình maët phaúng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :
x y z
1
a b c
Chuù yù : Muoán vieát phöông trình maët phaúng caàn:
1 ñieåm vaø 1 veùctô phaùp tuyeán
6.Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chuøm maët phaúng : giaû söû 1 2 = d trong ñoù
12
- (1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Pt mp chöùa (d) coù daïng sau vôùi m2+ n2 ≠ 0 :
m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0
8. Vò trí töông ñoái cuûa hai mp (1) vaø (2) :
° caét A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2
A B C D
° // 1 1 1 1
A2 B 2 C2 D2
A B C D
° 1 1 1 1
A2 B 2 C2 D2
ª A1 A2 B1 B2 C1C 2 0
9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0
Ax o By o Cz o D
d(M, )
A 2 B2 C 2
n1 . n 2
10.Goùc giữa hai maët phaúng : cos( , )
n1 . n 2
2.CAÙC DAÏNG TOAÙN
Daïng 1: Maët phaúng qua 3 ñieåm A,B,C :
qua A ( hay B hay C )
° Caëp vtcp: AB , AC °
vtpt n [ AB , AC ]
Daïng 2: Maët phaúng trung tröïc ñoaïn AB :
qua M trung ñieåm AB
°
vtpt n AB
Daïng 3: Maët phaúng qua M vaø d (hoaëc AB)
qua M
°
Vì (d) neân vtpt n a ....( AB )
d
Daïng 4: Mp qua M vaø // : Ax + By + Cz + D = 0
qua M
°
Vì // neân vtpt n n
13
- Daïng 5: Mp chöùa (d) vaø song song (d/)
Ñieåm M ( choïn ñieåm M treân (d))
Mp chöùa (d) neân a d a
Mp song song (d/) neân a d / b
■
Vtpt n a d , a d /
Daïng 6 Mp qua M,N vaø :
■ Mp qua M,N neân MN a
■ Mp mp neân n b
qua M (hay N)
°
vtpt n [ MN , n ]
Daïng 7 Mp chöùa (d) vaø ñi qua
■ Mp chöùa d neân a d a
■ Mp ñi qua M (d ) vaø A neân AM b
qua A
°
vtpt n [ a , AM ]
d
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi to¸n 1. Ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
Bµi 1: LËp ph¬ngtr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M vµ cã vtpt n biÕt
a, M 3;1;1 , n 1;1;2 b, M 2;7;0 , n 3;0;1
c, M 4; 1; 2 , n 0;1;3 d, M 2;1; 2 , n 1;0;0
Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trung trùc cña AB biÕt:
1 1 2 1 1
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, A ; 1; 0 , B 1; ;5 d, A 1; ; , B 3; ;1
2 2 3 2 3
Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm M vµ song song víi mÆt ph¼ng biÕt:
a, M 2;1;5 , Oxy b, M 1;1; 0 , :x 2y z 10 0 c, M 1; 2;1 , : 2x y 3 0
Bµi 4 LËp ph¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M(2;3;2) vµ cÆp VTCP lµ a(2;1; 2); b(3; 2; 1)
Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ
a) Song song víi c¸c trôc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trôc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trôc 0y, 0z.
Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng ®i qua 2 ®iÓm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ :
a) Cïng ph¬ng víi trôc 0x. b) Cïng ph¬ng víi trôc 0y. c) Cïng ph¬ng víi trôc 0z.
Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cña vÐc t¬ n vu«ng gãc víi hai vÐc t¬ a(6; 1;3); b(3; 2;1) .
Bµi 8: T×m mét VTPT cña mÆt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cÆp VTCP lµ a(2,7,2); b(3,2,4)
Bµi 9: LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iÓm A(-1;3;-2) vµ nhËn n(2,3,4); lµm VTPT.
14
- b) (P) ®i qua ®iÓm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
Bµi 10: LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(-1;2;3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 12: LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hîp sau:
a) §i qua hai ®iÓm A(0;-1;4) vµ cã cÆp VTCP lµ a 3; 2;1 vµ b 3;0;1
b) §i qua hai ®iÓm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph¬ng víi trôc víi 0x.
Bµi 13: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD.
Bµi 14: ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P)
a) §i qua ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
Bµi 15: Cho hai ®iÓm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz
a) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ trung trùc cña AB.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng y0z
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mÆt ph¼ng (P).
III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) qua
M(xo ;yo ;zo) coù vtcp a = (a1;a2;a3)
x x o a 1t
(d) : y y o a 2 t ; t R
z z a t
o 3
2.Phöông trình chính taéc cuûa (d)
z-z Qui öôùc:
x xo y yo 0
(d) : Maãu = 0 thì Tö û= 0
a a2 a3
1
3.PT toång quaùt cuûa (d) laø giao tuyeán cuûa 2 mp 1 vaø 2
A 1 x B 1 y C 1z D 1 0
(d) :
A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0
B1 C1 C1 A1 A1 B1
Veùctô chæ phöông a , ,
B C2 C2 A2 A2 B2
2
4.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng :
15
-
(d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d /
d cheùo d’ [ a d , a d / ]. MN ≠ 0 (khoâng ñoàng phaúng)
d,d’ ñoàng phaúng [ a d , a d / ]. MN = 0
d,d’ caét nhau [ a d , a d / ] 0 vaø [ a d , a d / ]. MN =0
/
d,d’ song song nhau { a d // a d / vaø M (d ) }
d,d’ truøng nhau { a d // a d / vaø M (d / ) }
5.Khoaûng caùch :
Cho (d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d /
[a d ; AM ]
Kc từ đieåm ñeán ñường thẳng: d ( A, d )
ad
[a d ; a d / ].MN
Kc giöõa 2 ñường thẳng : d (d ; d / )
[a d ; a d / ]
6.Goùc : (d) coù vtcp a d ; ’ coù vtcp a d / ; ( ) coù vtpt n
a d .a d /
Goùc giữa 2 ñöôøng thaúng : cos(d, d' )
ad . ad /
ad .n
Goùc giữa ñường vaø mặt : sin(d, )
ad . n
2.CAÙC DAÏNG TOAÙN
Daïng 1: : Ñöôøng thaúng (d) ñi qua A,B
quaA ( hayB )
(d )
Vtcp a d AB
Daïng 2: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø song song ()
qua A
(d )
Vì (d) // ( ) neân vtcp a a
d
Daïng 3: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc mp
qua A
(d )
Vì (d) ( ) neân vtcp a n
d
Daïng4: PT d’ hình chieáu cuûa d leân : d/ =
16
- Vieát pt mp chöùa (d) vaø vuoâng goùc mp
quaM (d )
( ) (d ) a a
( )
d
ª (d
/
)
n b ( )
n [a d ; n ]
Daïng 5: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc (d1),(d2)
qua A
( d ) vtcp a [ a
,a ]
d1 d2
Daïng 6: PT d vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2 :
+ Tìm a d = [ a d1, a d2]
+ Mp chöùa d1 , (d) ; mp chöùa d2 , (d)
d=
Daïng 7: PT qua A vaø d caét d1,d2 : d =
vôùi mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)
Daïng 8: PT d // vaø caét d1,d2 : d = 1 2
vôùi mp1 chöùa d1 // ; mp2 chöùa d2 //
Daïng 9: PT d qua A vaø d1, caét d2 : d = AB
vôùi mp qua A, d1 ; B = d2
Daïng 10: PT d (P) caét d1, d2 : d =
vôùi mp chöùa d1 ,(P) ; mp chöùa d2 , (P)
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hîp sau :
a) (d) ®i qua ®iÓm M(1;0;1) vµ nhËn a(3; 2;3) lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iÓm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng
( P) : x - 3 y 2 z - 6 0 vµ c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2;3;-5) vµ song song víi ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng
x t
tr×nh: : 2 2
d y t , tR
z 1 2t
x t
Bµi 4: Cho ®êng th¼ng (D) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh lµ : vµ (P): x+y+z+1=0
d : y 2 2t , t R
z 1 2t
T×m ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng
th¼ng (D)
Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cña ®êng
th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã
17
- Bµi6: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng (P) trong c¸c trêng hîp sau:
a) ( P) : x 2 y 3 z - 4 0 b) P : x 2 y 3z 1 0 .
Bµi 7: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1;2;3) vµ song song víi ®êng
x 2 2t
th¼ng ( ) cho bëi : .
: y 3t
tR
z 3 t
Bµi8: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) ,biÕt:
x 1 t x 12 4t
a) d : y 3 t , t R (P): x-y+z+3=0 b) (P): y+4z+17=0
d : y 9 t
, t R
z 2 t z 1 t
Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ
d : x 1 y z2
.
2 1 3
a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) .
b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P) .
Bµi 10: Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
x 1 2t
d1 : x 2 y 1 z 1
d 2 : y t 2
t R
1 2 1
z 1 3t
a) CMR hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2).
Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
x 7 3t x 1 t1
d1 : y 4 2t
d 2 : y 9 2t1
t, t 1 R
z 4 3t z 12 t
1
a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .
III.MẶT CẦU
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R
2 2 2
S(I, R) : x a y b z c R 2 (1)
S(I,R) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 (2)
( vôùi a2 b2 c2 d 0 )
2 2 2
Taâm I(a ; b ; c) vaø R a b c d
2.Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu
Cho (S): x a2 y b2 z c2 R2
vaø : Ax + By + Cz + D = 0
Goïi d = d(I,) : khoûang caùch töø taâm mc(S) ñeán mp :
d > R : (S) =
18
- d = R : tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, : tieáp dieän)
*Tìm tieáp ñieåm H (laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d n
Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()
2 2 2
d < R : caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt (S): x a y b z c R
2
: Ax By Cz D 0
*Tìm baùn kính r vaø taâm H cuûa ñöôøng troøn:
+ baùn kính r R2 d2(I , )
+ Tìm taâm H ( laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d n
Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()
3.Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu
x x o a 1t
(1) vaø
d : y y o a 2 t
z z o a 3 t
2 2 2
(S) : x a y b z c R2 (2)
+ Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t,
+ Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm
2.CAÙC DAÏNG TOAÙN
Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A
2 2 2
ª S(I, R) : x a y b z c R 2 (1)
Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2
Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB
Taâm I laø trung ñieåm AB
Vieát phöông trình maët caàu taâm I (1)
Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2
Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp
Pt maët caàu taâm I
(S ) A.x B . y C . z D
I I I
R d(I, )
A2 B2 C 2
Daïng 4: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD
Duøng (2) S(I,R) : x2 y2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 A,B,C,D mc(S) heä pt, giaûi tìm a, b, c, d
Daïng 5:Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α)
S(I,R) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 (2)
A,B,C mc(S): theá toïa toïa A,B,C vaøo (2)
I(a,b,c) (α): theá a,b,c vaøo pt (α)
19
nguon tai.lieu . vn
