Xem mẫu
- H TH NG KI N TH C MÔN HÌNH H C
PH N TRONG KHÔNG GIAN T A OXYZ
…………………………………….* * * ………………………………………..
KI N TH C CƠ B N :
1 - H tr c t a : z
- N u : OM = x .i + y . j + z .k ; thì t a
i m M là : M ( x;y;z)
O
x y
- Tr c ox là tr c hoành ; trên ó có véc tơ i = (1;0;0)
- Tr c oy là tr c tung ; trên ó có véc tơ j = (0;01;0)
- Tr c oz là tr c cao ; trên ó có véc tơ k = ( 0 ; 0 ;1)
- i m O là g c t a ; O ( 0;0;0)
2- Các công th c t a i m và vécto
a)T a i m:
* i m n m trên các tr c t a
-N u i m M n m trên tr c hoành ox ; thì t a M(x; 0;0)
-N u i m M n m trên tr c tung oy ; thì t a M(0; y;0)
-N u i m M n m trên tr c cao oz ; thì t a M(0; 0;z)
* i m n m trên các m t ph ng t a
-N u i m M n m trong m t ph ng (oxy) ; thì t a M(x; y;0)
-N u i m M n m trong m t ph ng (oyz) ; thì t a M(0; y;z)
-N u i m M n m trong m t ph ng (oxz) ; thì t a M(x; 0;z)
b)T a trung i m c a m t o n th ng ; trong tâm c a tam giác ; c a t di n
A( x1 ; y1 ; z1 ) và B( x2 ; y2 ; z2 )
*T a trung i m M c a o n th ng AB ; v i
- x + x y + y2 z1 + z2
M 1 2 ; 1 ;
Thì t a trung i m M là :
2 2 2
A( x1 ; y1 ; z1 ) ; B( x2 ; y2 ; z2 ) ;
*T a tr ng tâm G c a tam giác ABC ; v i
C ( x3 ; y3 ; z3 ) . Thì t a tr ng tâm G
x + x + x y + y2 + y3 z1 + z2 + z3
G 1 2 3 ; 1 ;
3 3 3
A( x1 ; y1 ; z1 ) ; B( x2 ; y2 ; z2 ) ;
*T a tr ng tâm G c a t di n ABCD ; v i
C ( x3 ; y3 ; z3 ) ; D( x4 ; y4 ; z4 ) Thì t a trung i m G là :
x + x + x + x y + y2 + y3 + y4 z1 + z2 + z3 + z4
G 1 2 3 4 ; 1 ;
4 4 4
c) Công th c tính dài c a m t o n th ng
A( x1 ; y1 ; z1 ) và B( x2 ; y2 ; z2 ) thì ta có :
Cho hai i m :
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
AB =
Chú ý : dùng công th c tính dài o n th ng tính chu vi c a m t tam giác ; t
giác ; kho ng cách t m t i m nm t i m
b) T a vécto
A( x1 ; y1 ; z1 ) và B( x2 ; y2 ; z2 ) ; khi ó ta có công th c tính t a
* Cho hai i m
AB là : AB = ( x2 − x1 ; y2 − y1; z2 − z1 )
c a vecto
* Cho hai vecto: a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ) ; khi dó ta có các công th c tính
như sau :
Ct1: (T a vecto t ng và vecto hi u c a các vecto )
- a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) và a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 )
Ct2: (T a vecto tích m t s th c v i m t vecto )
ka = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) (v i k l à m t s t h c b t k ỳ )
Ct3 : ( Tích vô hư ng hai vecto)
ab = a1 .b1 + a2 .b2 + a3 .b3
Ct4 : ( Hai vecto cùng phương )
a1 a2 a3
a // b ⇔ a = k b ⇔ = =
b1 b2 b3
Chú ý : V n d ng hai vecto cùng phương ch ng minh :
-Ba i m th ng hàng ( hay không th ng hàng ; khi hai vecto không cùng phương )
-Hai ư ng th ng song song
Ct5 : ( Hai vecto vuông góc )
a ⊥ b ⇔ ab = 0 ⇔ a1 .b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0
Chú ý : V n d ng hai vecto vuông góc ch ng minh :
-Tam giác vuông
-Hai ư ng th ng vuông góc
Ct6 : ( Hai vecto b ng nhau )
a1 = b1
a = b ⇔ a2 = b2 ( Hai vecto b ng nhau )
a = b
3 3
Chú ý : V n d ng hai vecto b ng nhau :
-Tìm t a i m ; khi bi t t giác ó là m t hình bình hành
Ct7: ( Tính góc c a hai vecto)
a1 .b1 + a2 .b2 + a3 .b3
a.b
()
cos a; b = =
a12 + a2 + a3 b12 + b2 + b32
2 2 2
a. . b
- 3) Tích có hư ng hai vecto và áp d ng c a nó :
a) Khái ni m : Tích có hư ng hai vecto là m t vecto ; mà vuông góc v i hai vecto ó .
[]
ký hi u là : a; b
b ) Công th c t a c a tích có hư ng hai vecto :
*Cho hai vecto: a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ) ; khi dó ta có các công th c tính
như sau :
[a; b] = a
a3 a3 a1 a1 a2
= (a2 .b3 − b2 .a3 ; a3 .b1 − b3 .a1 ; a1 .b2 − b1 .a2 )
2
; ;
b b3 b3 b1 b1 b2
2
c) Áp d ng c a tích có hư ng hai vecto
-Ad1: ( Tính di n tích c a tam giác ABC )
1
[ ]
AB; AC
S ∆ABC =
2
-Ad2 : ( Tính th tích c a t di n ABCD)
1
[ ]
AB; AC . AD
V∆ABCD =
6
-Ad3: ( Chúng minh b n i m A; B ; C ; D ng ph ng )
[ ]
ng ph ng ⇔ AB; AC . AD = 0
Chúng minh b n i m A; B ; C ; D
*Chú ý :
dài ư ng cao c a tam
1) V n d ng công th c tính di n tích tam giác ta có th tính
giác k t m t nh
dài ư ng cao c a t
2) V n d ng công th c tính th tích t di n ta có th tính
di n k t m t nh
3) V n d ng ch ng minh 4 i m ng ph ng ; ta ch ng minh 4 i m ó l p thành m t
t di n ( N u không ng ph ng thì nó l p thành m t t giác )
- 3) Phương trình m t c u:
a) N u m t c u ( S ) có tâm I ( a; b ; c ) và bán kính R thì phương trình m t c u là :
(x − a )2 + ( y − b )2 + (z − c )2 = R 2 ( 1)
l p ư c phương trình m t c u ta ph i tìm t a
Chú ý : tâm và tính bán kính sau
ó thay vào phương trình ( 1)
Ví d : Vi t phương trình m t c u ( S ) ; trong các trư ng h p sau :
1)Khi bi t m t c u có tâm I và i qua m t i m M thì bán kính là : R = IM
2)Khi m t c u nh n MN làm ư ng kính thì t a tâm I là trung i m c a MN ;
1
và bán kính R = MN
2
3) Khi bi t m t c u có tâm I và ti p xúc v i m t ph ng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0
; thì bán kính là : R = kho ng cách t tâm I n m t ph ng ó . Ta có :
Ax I + By I + Cz I + D
R=
A2 + B 2 + C 2
b) Phương trình t ng quát c a m t c u ( S ) :
x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 ( 2 )
Trong ó : -T a tâm I ( a; b ; c )
-Bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d ( v i : a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 )
Chú ý :
l p ư c phương trình m t c u i qua b n i m A; B ; C ; D cho trư c ; ta thay
-
b n i m ó vào phương trình ( 2) ; r i gi i h phương trình tìm : a; b ; c; d .
ta
ó ta vi t ư c phương trình m t c u ( S )
T
-T phương trình ( 2) ta tìm ư c t a tâm và tính bán kính
Ví d :
1)Vi t phương trình m t c u ( S ) ; bi t m t c u i qua b n i m A ( 1; 0; 0 ) ;
B ( 0; 1; 0 ) ; C ( 0;0;1) và O ( 0;0; 0 )
- 2) Xác nh tâm và tính bán kính c a m t c u ( S ) :
2 2 2
a) x + y + z − 8 x + 2 y + 1 = 0
2 2 2
b) 4 x + 4 y + 4 z − 16 x + 8 y − 12 z − 2 = 0
4) PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG
Ki n th c 1 > Phương trình m t ph ng :
D ng c a phương trình m t ph ng :
-Phương trình Ax + By + Cz + D = 0 ( trong ó : A; B ; C không ng th i b ng 0)
-Phương trình các m t ph ng t a :
a) Phương trình m t ph ng (Oxy ) là : z = 0
b) Phương trình m t ph ng (Oyz ) là : x = 0
c) Phương trình m t ph ng (Oz x) là : y= 0
Ki n th c 2 > Phương pháp vi t phương trình m t ph ng :
*Phương pháp chung :Mu n vi t phương trình c a m t ph ng ta ph i tìm
vecto pháp tuy n n = ( A; B; C ) và m t i m M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) mà m t ph ng i qua
- Khi ó phương trình m t ph ng ư c vi t : A(x − x 0 ) + B( y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 .
ó khai tri n và rút g n ưa v phương trình d ng trên
T
-Cách tìm vecto pháp tuy n c a m t ph ng :
Cách 1: N u th y m t ph ng ã có m t ư ng th ng vuông góc v i m t ph ng thì
Vecto pháp tuy n chính là vecto ch a o n th ng ó
Cách này các bài t p :
Bài 1:Vi t phương trình m t ph ng trung tr c c a o n th ng AB
HDG:
Bư c 1: Theo bài Vecto pháp tuy n c a m t ph ng là AB
Bư c 2: M t ph ng i qua trung i m I c a o n th ng AB . Khi ó phương trình
m t ph ng thành l p ư c
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 2: Vi t phương trình c a m t ph ng i qua i m M và vuông góc v i
ư ng th ng AB
HDG:
Bư c 1: Theo bài Vecto pháp tuy n c a m t ph ng là AB
Bư c 2: M t ph ng i qua i m M . Khi ó phương trình m t ph ng thành l p
ưc
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 3: Vi t phương trình c a m t ph ng i qua i m M và vuông góc v i ư ng
x = x0 + a1t
th ng (d) có phương trình y = y 0 + a 2 t
z = z + a t
0 3
HDG:
Bư c 1: Theo bài Vecto pháp tuy n c a m t ph ng là vecto ch phương c a
Phương c a ư ng th ng ta có : n = (a1 ; a 2 ; a3 )
- Bư c 2: M t ph ng i qua i m M . Khi ó phương trình m t ph ng thành l p
ưc
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 4: Vi t phương trình m t ph ng ( P ) i qua m t i m M và song song v i
m t ph ng (Q ) : Ax + By + Cz + D = 0
HDG:
Bư c 1: Theo bài m t ph ng ( P ) song song v i m t ph ng ( Q ); nên vécto
Pháp tuy n c a m t ph ng ( P ) là : n = ( A; ; B; C )
Bư c 2: M t ph ng i qua i m M . Khi ó phương trình m t ph ng thành l p
ưc
---------------------------------------------------------------------------------------------
Cách 2 : N u m t ph ng i qua các i m A(x0 ;0;0 ) ; B(0; y0 ;0 ) ; C (0;0; z 0 )
( Ba i m này l n lư t n m trên các tr c t a Ox ; Oy ; Oz)
x y z
=1
+ +
thì phương trình m t ph ng có d ng :
x0 y 0 z 0
Cách 3: Ngoài các d ng bài t p ã nêu trên ; thì còn l i ta gi i như
Sau :
[]
Bư c 1: G i n là vecto pháp tuy n c a m t ph ng ; theo bài ta có : n = a; b
( vecto tích có hư ng c a hai vecto)
Bư c 2: Ch n m t i m m t ph ng i qua . Khi ó phương trình m t ph ng thành
Lp ưc
Ki n th c 3 > Các v trí tương i c a hai m t ph ng :
Cho hai m t ph ng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 và ( Q ) : A’x+ B’ y + C’z + D’= 0
Bư c 1 : Vi t ra các Vecto pháp tuy n c a hai m t ph ng
Bư c 2: (l p lu n )
ABC
⇔ ≠ ≠
- hai m t ph ng c t nhau
A' B' C '
- ABCD
⇔ = = ≠
- hai m t ph ng song song
A' B' C ' D'
ABCD
⇔ = = =
- hai m t ph ng trùng nhau
A' B ' C ' D'
Chú ý : hai m t ph ng vuông góc v i nhau
⇔ n ( P ) ⊥ n ( Q ) ⇔ n ( P ) .n ( Q ) = 0 ⇔ A. A'+ B.B'+C.C ' = 0
K i n th c 4 > Kho ng cách t m t i m n m t m t ph ng :
( )
Cho m t i m M x0 ; y0; ; z 0 và m t m t ph ng (P): Ax +B y +Cz +D = 0
( )
i m M x0 ; y0; ; z 0
thì kho ng cách t n m t ph ng ( P) ư c tính b ng
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
công th c : d (M /( P) ) =
A2 + B 2 + C 2
CÁC D NG TOÁN ÁP D NG CÔNG TH C KHO NG CÁCH
D NG 1
Tính kho ng cách t gi a hai m t ph ng( P ) và ( Q ) song song :
Ax +By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0
HDG
Th c hi n theo các bư c sau :
Bư c 1 ) L y m t i m M n m trong m t ph ng ( P )
Bư c 2 ) Tính kho ng cách t i mM n m t ph ng ( Q)
D NG 2
- Tìm các i m cách u hai m t ph ng ( P ) :Ax +By + Cz + D = 0 và
( Q ) : A’ x + B’ y +C’z + D’ = 0
HDG
Th c hi n theo các bư c sau :
Bư c 1 ) G i i m c n tìm là M (x ; y ; z )
Bư c 2 ) Theo bài ta có
A' x + B ' y + C ' z + D'
Ax + By + Cz + D
: d (M /( P) ) = d (M /(Q) ) ⇔ =
A2 + B 2 + C 2 A'2 + B '2 +C '2
A = B
Bư c 3 ) Kh d u giá tr tuy t i ( theo công th c : A = B ⇔ )t ó
A = −B
K t lu n các i m M
D NG 3
Vi t phương trình m t c u ( S ) có tâm I và ti p xúc v i m t m t ph ng
(P) Ax+By+Cz+D= 0
HDG:
Th c hi n theo các bư c :
Bư c 1) Theo bài m t c u tâm I và ti p xúc v i m t ph ng ( P) ;
nên bán kính c a m t c u là : d (I /( P ) ) = R
Bư c 2 ) V y phương trình m t c u là : ………
D NG 4
Vi t phương trình m t ph ng song song v i m t m t ph ng Ax+By+Cz+D= 0
2 2 2
và ti p xúc v i m t m t c u ( S ) x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
HDG:
- Th c hi n theo các bư c :
Bư c 1 ) G i ( P ) là m t ph ng c n tìm , theo bài m t ph ng c n
tìm song song v i m t ph ng Ax + By + Cz + D = 0 nên phương trình
m t ph ng ( P ) : Ax + B y + Cz + D’ = 0(1) ( v i D khác D’)
Bư c 2 ) Tìm t a tâm I và tính bán kính c a m t c u (S)
Bư c 3 ) Theo bài m t ph ng (P) ti p xúc v i m t c u ( S ) nên ta có :
Kho ng cách t tâm I n m t ph ng (P ) b ng bán kính R
d (I /( P ) ) = R (2) ; gi i ( 2)( theo công th c : A = B ⇔
A=B
)t ó
A = −B
tìm D’ thay D’ vào (1) ta có phương trình ( P)
--------------------------------------------------------
PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG
Ki n th c 1 > Cách vi t phương trình ư ng th ng :
Mu n vi t phương trình c a ư ng th ng ta tìm vecto ch phương
a = (a1 ; a 2 ; a3 ) c a ư ng th ng và tìm m t i m M (x0 ; y0; ; z0 ) mà ư ng
th ng i qua .
* Có hai d ng
x = x0 + a1t
y = y0 + a2 t
D ng 1 : Phương trình tham s
z = z + a t
0 3
D ng 2 : Phương trình chính t c
x − x0 y − y 0 z − z 0
= =
a1 a2 a3
- Ki n th c 2 > Các v trí tương i c a ư ng th ng và m t ph ng
Mu n xét ( hay ch ng minh ) các v trí tương i c a ư ng th ng(d) và m t ph ng
(P)
Ta th c hi n theo các bư c sau :
Bư c 1: ư ng th ng ( d ) i qua i m M và có vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 )
M t ph ng ( P ) có vecto pháp tuy n n = ( A; B; C ) .
( ây là bư c chung cho các trương h p )
Bư c 2:
- TH 1 : ch ng minh ư ng th ng song song v i m t ph ng
a) Ta tính tích vô hư ng c a a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và n = ( A; B; C ) là :
a.n = Aa1 + Ba2 + C.a3 = 0 . ta suy ra a ⊥ n ( 1)
b) Ta thay t a i m M vào phương trình m t ph ng ( P ) ; mà không úng
ta k t lu n M ∉ ( P) (2)
c) T ( 1 ) và (2) ta k t lu n ư ng th ng ( d) song song m t ph ng ( P)
- TH 2 : ch ng minh ư ng th ng n m trong m t ph ng
a) Ta tính tích vô hư ng c a a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và n = ( A; B; C ) là :
a.n = Aa1 + Ba2 + C.a3 = 0 . ta suy ra a ⊥ n ( 1)
b) Ta thay t a i m M vào phương trình m t ph ng ( P ) ; mà úng
ta k t lu n M ∈ ( P) (2)
c) T ( 1 ) và (2) ta k t lu n ư ng th ng ( d) n m trong m t ph ng ( P) ( ho ta
nói m t ph ng ( P ch a ư ng th ng ( d ) )
- - TH 3 : ch ng minh ư ng th ng c t m t ph ng
a) Ta tính tích vô hư ng c a a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và n = ( A; B; C ) là :
a.n = Aa1 + Ba2 + C.a3 ≠ 0 . ta suy ra hai vecto này không vuông góc
b ) K t lu n ư ng th ng ( d ) c t m t ph ng ( P )
ư ng th ng vuông góc v i m t ph ng
Chú ý :
Khi vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 ) c a ư ng th ng và vecto pháp tuy n
[]
C a n = ( A; B; C ) c a m t ph ng ( P ) cùng phương ⇔ a; n = 0
Hình v tương ng :
Chú ý : Mu n tìm giao i m c a ư ng th ng và m t ph ng ta gi i h phương trình
A. x + B . y + C . z + D = 0 (1)
x = x + a t ( 2)
0 1
y = y 0 + a 2 t ( 3)
z = z 0 + a 3t ( 4 )
( Gi i h : b ng phương pháp th : l y (2); (3 ) ; (4) thay vào (1) )
-N u h có m t nghi m duy nh t thì ư ng th ng c t m t ph ng
- N u h vô nghi m thì ư ng th ng song song v i m t ph ng
- N u h có vô s nghi m thì ư ng th ng n m trong m t ph ng ( ho c m t
ph ng ch a ư ng th ng )
- Ki n th c 3 > Các v trí tương i gi a hai ư ng th ng
Mu n xét ( hay ch ng minh ) các v trí tương i c a hai ư ng th ng (d) và (d’)
Ta th c hi n theo các bư c sau :
: ư ng th ng ( d ) i qua i m M và có vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 )
ư ng th ng ( d’ ) i qua i m N và có vecto ch phương b = (b1 ; b2 ; b3 )
( ây là bư c chung cho các trương h p ) , Sau ó ta căn c vào cho mà ta
làm
TH1: Xét ( hay ch ng minh ) Hai ư ng th ng c t nhau
Ta th c hi n theo các bư c sau :
[]
Bư c 1:Ta tính a; b tích có hư ng c a hai vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 )
và b = (b1 ; b2 ; b3 )
[]
Bư c 2: Ta tính t a ô vecto MN và sau ó tính a; b .MN = 0 (1)
T ( 1) ta k t lu n ( d ) c t ( d’)
TH2: xét ( hay ch ng minh ) Hai ư ng song song
Ta th c hi n theo các bư c sau :
[]
Bư c 1:Ta tính a; b tích có hư ng c a hai vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 )
và b = (b ; b ; b ) ; mà [a; b ] = 0 ( 1) khi ó hai vesto ch phương cùng phương
1 2 3
Bư c 2: Ta thay t a i m M c a ư ng th ng ( d) vào phương trình c a ư ng
Th ng (d’) mà không th a mãn . Thì ta k t lu n ( d) song song ( d’)
- TH3: xét ( hay ch ng minh ) Hai ư ng trùng nhau
Ta th c hi n theo các bư c sau :
[]
Bư c 1:Ta tính a; b tích có hư ng c a hai vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 )
và b = (b ; b ; b ) ; mà [a; b ] = 0 ( 1) khi ó hai vecto ch phương cùng phương
1 2 3
Bư c 2: Ta thay t a i m M c a ư ng th ng ( d) vào phương trình c a ư ng
Th ng (d’) mà th a mãn . Thì ta k t lu n ( d) trùng ( d’)
TH4: xét ( hay ch ng minh ) Hai ư ng chéo nhau
Ta th c hi n theo các bư c sau :
[]
Bư c 1:Ta tính a; b tích có hư ng c a hai vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 )
và b = (b ; b ; b ) ; mà [a; b ] ≠ 0
1 2 3
[]
vecto MN và sau ó tính a; b .MN ≠ 0 (1)
Bư c 2 Ta tính t a
T ( 1) ta k t lu n ( d ) chéo ( d’)
CÁC CHÚ Ý:
1)Hai ư ng th ng vuông góc ⇔ a ⊥ b ⇔ a .b = 0
[]
2)Hai ư ng th ng cùng n m trong m t m t ph ng ⇔ a ; b .MN = 0
3)Tìm giao i m c a hai ư ng th ng:
tìm giao i m c a hai ư ng th ng ta gi i h phương trình tìm nghi m ;
n u:
-H có m t nghi m duy nh t ⇔ hai ư ng th ng c t nhau
-H có vô s nghi m ⇔ hai ư ng th ng trùng nhau
-H có vô nghi m và hai vecto ch phương cùng phương ⇔ hai ư ng th ng
Song song
-H có vô nghi m và hai vecto ch phương không cùng phương ⇔ hai ư ng
th ng chéo nhau
Các hình v tương ng : b
- b
a a a a
b b
(h - 1) (h - 2) (h - 3) (h - 4)
7) CÁC BÀI TOÁN V HÌNH CHI U VUÔNG GÓC C A M T I M
a) Tìm hình chi u vuông góc c a i m M ( x0 ; y0 ; z 0 ) trên các tr c t a
-Trên tr c hoành Ox là i m A( x0 ;0;0 )
-Trên tr c hoành Oy là i m B(0; y 0 ;0)
-Trên tr c hoành Oz là i m C (0;0; z 0 )
b) Tìm hình chi u vuông góc c a i m M ( x0 ; y0 ; z 0 ) trên các m t ph ng t a
-Trên tr c mp( Oxy) là i m A( x0 ; y0 ;0)
-Trên tr c mp(Oyz) là i m B(0; y0 ; z 0 )
-Trên tr c mp(Oz x) là i m C ( x0 ;0; z 0 )
c) Tìm hình chi u vuông góc c a i m M ( x0 ; y0 ; z 0 ) lên m t ph ng (P)
Ax + By + C z + D = 0
HDG:
-G i H (x; y ;z) là hình chi u c a M ( x0 ; y0 ; z 0 ) trên m t ph ng Ax + By + Cz +D = 0.
- -G i (d) là ư ng th ng i qua M ( x0 ; y0 ; z 0 ) và vuông góc v i m t ph ng (P); nên
vecto ch phương c a ư ng th ng (d) là a = ( A; B; C ) ; nên phương trình c a (d)
x = x0 + At
là: y = y0 + Bt
z = z + Ct
0
- Ta có H = (d ) ∩ ( P) . Do ó t a c a H là nghi m c a h phương trình
x = x0 + At (1)
y = y + Bt (2)
0
( gi i h b ng phép th )
z = z 0 + Ct (3)
Ax + By + Cz + D = 0(4)
d) Tìm hình chi u vuông góc c a i m M ( x0 ; y0 ; z 0 ) lên ư ng th ng
x = x0 + a1t
y = y0 + a2 t
z = z + a t
) 3
HDG:
-G i H (x; y ;z) là hình chi u c a M ( x0 ; y0 ; z 0 ) lên ư ng th ng . Ta có :
MH = ( x − x0 ; y − y0 ; z − z 0 ) vuông góc v i vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 ) ; nên :
MH ⊥ a ⇔ MH .a = 0 ⇔ a1 ( x − x0 ) + a 2 ( y − y0 ) + a3 ( z − z 0 ) = 0 (1)
M t khác H ( x;y;z ) n m trên ư ng th ng . Nên x;y;z là nghi m c a h phương trình
(1) và phương trình c a ư ng th ng
8) BÀI TOÁN TÌM T A IM I X NG V I M T I M QUA ;
M T PH NG ; Ư NG TH NG
• Tìm t a c am t i m i x ng v i m t i m M qua m t ph ng (P)
Ta th c hi n theo các bư c sau :
- Bư c 1: Tìm t a H là hình chi u vuông góc c a M trên m t ph ng ( P)
Bư c 2: G i N là i m i x ng c a M qua m t ph ng ( P) . Ta có H là trung
i m MN ; t ó tìm t a i mN
• Tìm t a c am t i m i x ng v i m t i m M qua ư ng th ng (d)
Ta th c hi n theo các bư c sau :
Bư c 1: Tìm t a H là hình chi u vuông góc c a M trên ư ng th ng (d)
Bư c 2: G i N là i m i x ng c a M qua ư ng th ng (d) . Ta có H là trung
i m MN ; t ó tìm t a i mN
9)CÁC CÔNG TH C V KHO NG CÁCH:
(x B − x A )2 + ( y B − y A )2 + (z B − z A )2
Ct 1: Kho ng cách gi a hai i m : AB =
V n d ng Ct1: gi i các bài t p :
Bài 1 : Ch ng minh tam giác cân ; tam giác u ; tam giác vuông ;
tam giác vuông cân ( b ng cách tính dài ba c nh c a tam giác
: n u có hai c nh b ng nhau thì tam giác cân; ba c nh b ng nhau thì tam
giác u; n u th a mãn nh lý Pitago thì tam giác vuông )
Bài 2 : Tính chu vi tam giác (B ng cách tính dài ba c nh c a tam giác
R i l y ba c nh c ng l i )
Ct 2: Kho ng cách t m t i m n m t ph ng
Ax0 + By0 + Cz 0 + D
d (M /( P ) ) =
A2 + B 2 + C 2
Chú ý : Tính kho ng cách t ư ng th ng song song n m t p h ng b ng
Kho ng cách t m t i m M trên ư ng th ng n m t p h ng
[a; MN ]
n ư ng th ng : d (M / d ) =
Ct3: Kho ng cách t m t i m
a
Chú ý : kho ng cách gi a 2 ư ng th ng song song b ng kho ng cách
t m t i m M trên ư ng th ngnày n ư ng th ng kia
- [a;b].MN
d (d / d ') =
Ct4 : Kho ng cách gi a hai ư ng th ng chéo nhau
[a;b]
10)BÀI TOÁN VI T PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHI U VUÔNG GÓC
C A Ư NG TH NG LÊN M T PH NG
x = x0 + a1t
Cho ư ng th ng ( d ) : y = y0 + a 2 t và m t ph ng ( P ) :Ax + By + Cz + D = 0
z = z + a t
0 3
vi t phương trình hình chi u vuông góc c a ư ng th ng ( d ) lên m t ph ng
( P) ta th c hi n theo các bư c sau:
ư ng th ng ( d) i qua i m M ( x0 ; y0 ; z 0 ) và có vecto ch phương
Bư c 1:
a = (a1 ; a 2 ; a3 ) . M t ph ng ( P ) có vecto pháp tuy n n = ( A; B; C )
Bư c 2: Xét v trí tương i c a (d ) và ( P ). B ng cách tính
a.n = a1 . A + a2 .B + a3 .C
-TH1: N u a.n = a1 . A + a 2 .B + a3 .C = 0 ; thi ( d ) song song ( P). Trong trư ng
h p này ta gi i như sau:
d M
d’ H
- a) Ta tìm t a H là hình chi u vuông góc c a M trên m t ph ng ( P ). ưn
b) ư ng th ng ( d’) i qua H và song song v i ( d) ; ó chính là ư ng
th ng c n tìm
-TH2:N u a.n = a1 . A + a 2 .B + a3 .C ≠ 0 ; thi ( d ) c t ( P). Trong trư ng h p này ta
gi i như sau :
a)Tìm t a giao i m N c a ( d ) và ( P) ;
b)Tìm t a H là hình chi u vuông góc c a M trên ( P ) .
c) ư ng th ng i qua hai i m N và H là ư ng th ng c n tìm
d
M
H N d’
PH N BÀI T P :
I ) CÁC BÀI T P V T A
Oxyz ; cho : u = i − 2 j + 3k ; v = 2 j + 3k ; r = i − 2 j
BÀI 1 > Trong không gian t a
1) Tìm t a các vecto ó
2) Tính các tích vô hư ng : u.v ; u.r ; r.v
()()()
3) Tính coossin c a các góc : u; v ; u; r ; r; v
các vecto: a = 2u − 3v + r ; b = u − v + 2r
4) Tính t a
() () ()
5) Ch ng minh r ng : cos 2 u; i + cos 2 u; j + cos 2 u; k = 1
sao cho : c + 2u = 3v + r
6) Tìm t a vecto c ;
nguon tai.lieu . vn
