Xem mẫu
- PHẦN LƯỢNG GIÁC
dccthd@gmail.com
2 3 5
Radian 0 Công Thức Lượng
6 4 3 2 3 4 6
Giác Cơ Bản
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
Độ
1
1 2 3 3 2
sin 2 x cos2 x 1
sin x 0 0
1
2
2 2 2 2 2
1 1
3 2 2 3
tan x.cot x 1
cos x 1
0
1
2 2
2 2 2 2
3 1
3
1 tan 2 x
3 1
tan x ||
0 0
3
1
cos 2 x
3 3
1
3 3
1 cot 2 x 2
3
1
cot x || ||
0
3 1
sin x
3 3
Giá Trị Lượng Giác Của Các Góc (Cung) Có Liên Quan Đặc Biệt.
Góc hơn kém / 2
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
sin x cos x sin x cos x
sin x sin x sin x sin x
2 2
cos x sin x cos x sin x
cos x cos x cos x cos x
2 2
tan x cot x tan x cot x
tan x tan x tan x tan x
2 2
cot x cot x cot x tan x cot x tan x
cot x cot x
2 2
Công Thức Cộng Nhân Đôi Và Hạ Bậc Đường tròn lượng giác
cos a b cos a.cos b sin a.sin b sin 2 x 2sin x.cos x
cos a b cos a.cos b sin a.sin b cos2 x cos2 x sin 2 x
sin a b sin a.cos b cos a.sin b 2cos 2 x 1
tan 2 x 2tan 2
sin a b sin a.cos b cos a.sin b x
1 tan x
tan a b tan a tan b cos2 x 1 1 cos2 x
1 tan a.tan b 2
tan a b tan a tan b sin 2 x 1 1 cos2 x
1 tan a.tan b 2
Công Thức biến Đổi Tổng Thành Tích Công Thức biến Đổi Tích Thành Tổng
a b a b 1
cos a.cos b cos a b cos a b
cos a cos b 2 cos .cos
2 2 2
a b a b 1
sin a.cos b sin a b sin a b
cos a cos b 2sin .sin
2 2 2
ab a b 1
sin a.sin b cos a b cos a b
sin a sin b 2sin .cos
2 2 2
a b a b Công thức nhân ba
sin a sin b 2cos .sin
2 2
sin 3 x 3sin x 4sin 3 x
sin a b
tan a tan b cos3 x 4cos3 x 3cos x
cos a.cos b
1
- dccthd@gmail.com
x
Với t tan ta có :
Một Số Công Thức Chú Ý Khác
2
2t
cos x sin x 2.cos x cos x sin x 2.cos x
sin x
1 t 2
4 4
1 t 2
sin x cos x 2.sin x sin x cos x 2.sin x
cos x
4 4 1 t 2
Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :
a 2 b2 0
Phương trình lượng giác cơ bản a cos x b sin x c (1)
A B k 2 Cách giải : Nếu a 2 b 2 c 2 thì phương trình (1) vô nghiệm.
k Z
cos A cos B
A B k 2 Nếu a 2 b2 c 2 thì phương trình (1) có nghiệm. Khi đó :
A B k 2 a b c
cos x cos
(1) cos x sin x
k Z
sin A sin B
A B k 2 a b a b a b2
2 2 2 2 2
tan A tan B A B k k Z a b c
Với cos ; sin ; cos
a b a b a b2
2 2 2 2 2
cot A cot B A B k k Z
Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x :
Phương trình dạng :
a cos x sin x b sin x cos x c a sin 2 x b sin x.cos x c.cos 2 x d (1) abc 0
Cách giải :
Cách giải 1 :
Đặt t cos x sin x 2 cos x Xét cos x 0 và tìm những giá trị của x là nghiệm của pt (1).
4
Xét cos x 0 .Chia hai vế của pt (1) cho cos2 x đưa phương trình về
t 2 1
sin x.cos x , 2t 2 dạng bậc hai (hoặc bậc nhất) theo tan x đã biết cách giải .
2
Đưa phương trình đã cho về p/t ẩn t .Giải Cách giải 2:
phương trình này tìm t ,từ đó giải phương
Dùng công thức hạ bậc đối với sin 2 x và cos2 x và công thức nhân đôi
trình 2 cos x t để tìm x . đối với sin x.cos x để đưa (1) về dạng bậc nhất đối với cos 2 x và sin 2 x .
4
PHẦN GIẢI TÍCH 12
TÍNH CHẤT
LŨY THỪA a 0, b 0 LÔGARIT b 0, 0 a 1
a 1 0 a 1
m
a
f x g x f x g x
loga b b a f x g x f x g x
m
a a
n am a a a
n n
log a f x log a g x log a f x log a g x
1
b a loga b
aa n
f x g x 0 0 f x g x
n
n
1 an f x g x
log a a f x g x
a
a
a
log a f x loga g x f x g x , g x 0
log a b log a b
a .a a
a log a b1 loga b2 loga b1 .b2
a PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT, BPT MŨ LÔGARIT
a
b1
a log a b1 log a b2 loga
a . Đưa Về Cùng Cơ Số
b2
1
a .b a.b loga b Đặt Ẩn Phụ
.loga b
a a
log n a b n.loga b
Lôgarit Hóa (mũ)
b b
log c b
1
log a b log a c.log c b Sử Dụng Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
a nk a a nk
nk
log c a
2
- dccthd@gmail.com
ĐẠO HÀM NGUYÊN HÀM
x2
a.dx ax c
u v ' u ' v ' k.u ' k.u ' xdx c
2
/
u '.v u.v ' 1 1
1
u
u.v ' u '.v u.v ' dx .2 ax b c
dx 2 x c
v ax b
v2 a
x
u u x 1
1 ax b
x 1
c ' 0 ; x ' 1
ax b dx a . 1 c
x dx c
1
1 1 1
x ' . x 1 u ' .u 1.u ' ax b dx a .ln ax b c
dx ln x c
x
1 1
/ /
1 ax b
1 u'
e
ax b
e
dx e x c dx c
2
x
e
x u
x2 a
u
1 a mx n
x u ax
1 u'
/ /
mx n
a
a
dx c dx c
x
.
2x 2u ln a m ln a
sin x' cos x sin u' 1
u '.cos u cos xdx sin x c cos ax b dx a sin ax b c
1
sin xdx cos x c
cos x ' sin x cos u ' u '.sin u sin ax b dx a cosax b c
1 u' 1 1
1
tan x ' tan u ' cos2 ax b dx a tan ax b c
cos dx tan x c
cos2 x cos2 u 2
x
1 u' 1 1
1
cot x ' 2 cot u ' 2 sin dx cot ax b c
sin dx cot x c
ax b
2
2
a
sin x sin u x
e e
x/ u/
ex u '.e u Phương Pháp Tìm Nguyên hàm
f u x .u ' x dx F u x C
Phương pháp đổi biến :
a x a u
/ /
a x .ln a u '.a u .ln a
Trong đó : F là một nguyên hàm của f .
Phương pháp nguyên hàm từng phần :
1 u'
ln x ln u
/ /
x 0
u x .v ' x dx u x .v x v x .u ' x dx (Hay u.dv u.v v.du )
x u
Chú ý : Đối với các nguyên hàm dạng : P x .e dx , P x .cos ax.dx , ax
1 u'
log a x log a u
/ /
x.ln a u.ln a
P x .sin ax.dx với P(x) là đa thức thì ta chọn u x P x và
v ' x là nhân tử còn lại .
x u
1 u'
/ /
n n
n1 n1
n n
n. u
nx
P x .ln ax.dx
Đối với các nguyên hàm dạng : thì ta chọn
u x ln ax còn v ' x P x
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM-KHẢO SÁT HÀM SỐ TÍCH PHÂN
Khái niệm : Cho F x là một nguyên hàm của f x trên a ; b
Sự đồng biến nghịch biến
b
Định lý .
f x dx F x a F b F a
b
Ta có :
Cho hàm số y f x có đạo hàm trên K và a
f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm . Khi đó . Tính chất của tích phân
›› f ' x 0, x K
b a c b c
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
hàm số y f x đồng biến trên K . a b a a b
›› f ' x 0 , x K b b b b b
k. f x dx k. f x dx f x g x dx f x dx g x dx
hàm số y f x nghịch biến trên K . a a a a a
Phương pháp tính tích phân
Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.
ub
Tìm tập xác định . b
f u x .u ' x dx f u du
Công thức đổi biến số :
Tính đạo hàm f ' x .Tìm các điểm xi mà tại
ua
a
đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định . b b
u x .v ' x .dx u x .v x a v x .u ' x .dx
b
Lập bảng biến thiên rồi dựa vào dấu đạo Công thức từng phần :
hàm để kết luận về sự đồng biến nghịch biến a a
của hàm số . b b
u.dv v.du
b
u.v a
Hoặc
Cực trị của hàm số a a
3
- dccthd@gmail.com
Điều kiện cần. Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích.
Cã ®¹o hµmt¹i x 0
Hàm số f x f ' x0 0
y
§¹t cùc trÞ t¹i x 0
y
Định lý . y = f(x)
x
b
f ' x0 0
bx
x là điểm cực tiểu của f x .
a
f '' x0 0
0
a
f ' x0 0 y = f(x)
x là điểm cực đại của f x . y = g(x)
f '' x0 0
0
y f x , Ox y f x , x a
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số b b
S f x dx S f x g x dx
y g x, x b
x a, x b
Định nghĩa : a a
Cho hàm số y f x xác định trên tập D
y y
f x M , x D
M max f x y = f(x)
d
x D sao cho f x M
x D
0
0
f x m , x D x
m min f x
a b
x D sao cho f x m
x D
0
0
x = g(y)
c
Phương pháp tìm GTLN , GTNN cùa hàm số
x
y f x liên tục trên đoạn a ; b .
Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên a ; b mà tại
y f x , Ox x g y , Oy
b d
đó f ' x bằng 0 hoặc không xác định .
V f 2 x .dx V g 2 y .dy
x a, x b y c, y d
Tính f a , f b, f x1 , f x 2 ,..., f xn . a c
Kết luận :
max f Max f a , f b, f x1, f x 2 ,., f xn SỐ PHỨC
x a ; b
f a, f b, f x1, f x2 ,., f xn a , b R
Dạng đại số : Z a bi
min f Min
x a ; b
a là phần thực , b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i 2 1 .
Sơ đồ khào sát và vẽ đồ thị hàm số
1. Tập xác định Z là số thực Phần ảo của Z bằng 0.
2. Sự biến thiên . Z là số thuần ảo Phần thực của Z bằng 0.
› Tìm các giới hạn vô cực, tại vô cực và tìm
Dạng lượng giác : Z r (cos i sin )
các đường tiệm cận (nếu có).
M(z)
› Lập bảng biến thiên . Trong đó : r Z a 2 b 2 r 0 b
Tính y’, xét dấu y’, xét chiều biến thiên, tìm r
a b
cực trị (nếu có) và điền các kết quả vào bảng. là số thực sao cho cos , sin
r r
Từ bảng biến thiên nêu kết luận về chiều biên a
O
gọi là một acgumen của Z , Ox , OM .
thiên và cực trị .
3. Vẽ đồ thị . Số phức liên hợp của số phức Z a bi là số phức Z a bi
› Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) a a '
Hai số phức bằng nhau : a bi a ' b ' i
› Xác định một số điểm đặc biệt .
b b '
Giao với các trục, điểm uốn (nêu có)…
Các dạng đồ thị của hàm bậ ba Các phép toán về số phức .
Phép cộng và trừ hai số phức : a bi a ' b ' i a a ' b b ' i
Phép nhân hai số phức : a bi a ' b ' i a.a ' b.b ' ab ' a ' b.i
a b.i (a b.i )(a ' b '.i )
a>0
Phép chia hai số phức :
a0
a
nguon tai.lieu . vn
