Xem mẫu
- THPT LÊ XOAY BÀI TẬP LUYỆN TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11
Chuyên đề I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
π
a. 2sin 3x − = 3 b. sin ( 2x − 45 ) + cos( x + 60 ) = 0
0 0
6
x
c. tan 3x = cot 2x d. cot = −cos( 2x 0 )
30
2
1
e. cosx.cos2x.cos4x.cos8x= g. s inx+cosx = 2 sin 4 x
16
h. cos( x 2 ) = sin x
Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên các khoảng đã cho:
a. tan(2x − 150 ) = 1 , với x ∈ ( −180 ;90 )
0 0
2π
b. s i = 3cos , với x ∈ − ; π
nx x
3
Bài 3. Giải các phương trình
π π 2
a. cos cos x = b. sin ( πcos ) = 1
2x c.
2 4 2
π
tan ( cos i ) = 1
x+s nx c. 3sinx + 4cosx = 5
4
π
(
Bài 4*. a. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: cos 3x − 9x + 160x + 800 = 1
8
2
)
π
b. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình cos (3 x − 9 x − 16 x − 80) = 1
2
4
(ĐH An Ninh-2000)
II. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Bài 5. Giải các phương trình
a. 3 tan 3x − 3 = 0 b. ( s i (
nx+1) 2cos 2 = 0
2x )
c. 3 sin 2 2 x + 7cos 3 0
2x = d. 3 cot 2 x − 4 cot x + 3 = 0
Bài 6. Giải các phương trình
a. cos2x - sinx +2 =0 b. 2 tan 2 x + cot 2 x = 3
c. cos2x + sin 2 x + 2cosx +1 = 0 d. 4 sin 2 2 x + 8cos 2 x − 9 = 0
2π 4π
Bài 7. a. Tìm các nghiệm của phương trình sin 2 3x + sin 3 x = 0 thỏa mãn x ∈ ;
3 3
π π
b. Tìm m để phương trình m tan x + 2 ( m − 1) t anx - 2 = 0 , có nghiệm duy nhất x ∈ − ;
2
2 2
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (asinx + bcosx = c)
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a. 3cosx + 4sinx = -5 b. 5 sin 2 x − 6cos 2 x = 13
c. 3cos2x - 2sinxcosx = 2sin7x d. sin 8 x − cos 6 x = 3(sin 6 x + cos8 x)
π
e. (3sin x + cos x)(cos x − 2sin x ) = 1 g. 2 cos x cos( x + ) + 4sin 2 x = 1
3
Coppyright©dtruonghd@yahoo.com 1 Hoàng Đức Trường
- THPT LÊ XOAY BÀI TẬP LUYỆN TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11
Bài 9. Giải phương trình:
a. cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 3sin 2 x = 1 .
b. 4sin 3 x cos 3x + 4 cos3 x sin 3 x + 3 3 cos 4 x = 3 . (HV CNBCVT-2001).
c. cos 7 x − sin 5 x = 3(cos 5 x − sin 7 x ) .
π
d. 4sin ( x + ) + sin 2 x = 1
2
6
π
e. 2sin(2 x + ) + 4sin x = 1
2
6
Bài 10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số :
π π π
a. y = 2sin ( x + ) + 2 cos x + cos 2 x b. y = 2sin( x + ) cos( x + ) + sin 2 x
2 2
6 6 3
π π
c. y = 2sin(2 x + ) + 4 cos x cos( x + ) d. y = sin 6 x + cos 6 x + sin 4 x .
3 3
Bai 11. Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
4sin 2 x
sin x + 2 cos x + 1 sin x y=
a. y = . b. y = c. π .
sin x + cos x + 2 cos x + 3 2 + sin(2 x + )
6
1 + sin x
Bài 11’. Tìm các giá trị của x để y = là số nguyên.
2 + cos x
IV. Phương trình bậc thuần nhất đối với sinx và cosx
Bài 12. Giải các phương trình:
a. 6 sin 2 x + s inxcosx - cos 2 x = 2 b. 2 sin 2 2 x − 3 s in2xcos2x + cos 2 2 x = 2
c. 2 3cos 2 x + 6 s inxcosx = 3 + 3 d. 4 sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2cos 2 x = 4
π 3π
e. 4 s inxcos x - + 4 sin ( x + π ) cosx + 2sin − x cos ( x + π ) = 1
2 2
Bài 13. Giải các phương trình
2
( )
a. 3 sin x + 8 s inxcosx + 8 3 − 9 cos x = 0
2
b. sin x + s in2x - 2cos x =
2 2 1
2
( ) ( )
c. 2 sin x + 3 + 3 s inxcosx + 3 − 1 cos x = −1 d. 4sinx + 6cosx =
2 2 1
cosx
Bài 14. Giải các phương trình
a. 2 sin 2 x + 4cos 3 x = 3 s inx b. 2sin3x = cos3x
3 π
c. sin x + = 2 s inx d. 2sin3x = cosx
4
1 − t anx
e. sin 3 x + cos3 x = sin x − cos x g. = 1 + sin 2 x
1+tanx
Bài 15. Giải các phương trình
a. sin x sin 2 x + sin 3 x = 6cos 3 x b. sin x − 4 sin3 x + cosx = 0
c. cos 3 x − 4 sin3 x − 3cosxsin 2 x + s inx=0 d. sin 3 x + 3cos x = 3sin 2 x cos x + 2sin x
e. cos 2 x sin x + cos3 x = cos x + sin x g. sin 3 x + cos3 x = cos x + sin x
Coppyright©dtruonghd@yahoo.com 2 Hoàng Đức Trường
- THPT LÊ XOAY BÀI TẬP LUYỆN TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11
V. Phương trình đối xứng với sinx và cosx, đối xứng với tanx và cotx
Bài 16. Gải các phương trình
a. 3 ( s inx+cosx ) + 2 sin 2 x + 3 = 0 b. s inx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
c. sin 2 x − 12 ( s inx - cosx ) + 12 = 0 d. sin3 x + cos 3 x = 1
3 π
g. sin x + = sin x + cos x
3 3
e. 1 + sin32x + cos32x = sin 4 x
2 4
1 1 10
h. 1 + t anx = 2 2 s inx i. sinx + + cosx + =
s inx cos x 3
Bài 17. Giải các phương trình
a. sin x − cos x + 4sin 2 x = 1 b. sin x + 1 + cos x + 1 = 1
π
c. sin 2 x + 2 sin x − = 1 . d. 2 + sin 3 x − cos 3 x = sin x + cos x .
4
e. sin 3 x + cos3 x = sin 2 x + sin x + cos x .g. cos x sin x + sin x + cos x = 1 .(ĐH QGHN 97)
Bài 18. Giải các phương trình
1
a. ( t anx+7 ) t anx + ( co t x+7 ) co t x = -14 b. tan x + cot x − ( t anx + cotx ) = 1
2 2
2
c. tan 2 x + cot 2 x − t anx + cotx = 2 ` d. tan 3 x + cot 3 x + tan 2 x + cot 2 x = 1
1
e. tan x + cot x + =3
3 3
g. 3 + tan x + 3 + cot x = 4 .
sin 2 x
VI. Phương trình lượng giác khác
Bài 19. Giải các phương trình
a. cos5xcos3 = cosxcos7x b. sin2x - cos5x = cosx - sin6x
c. cosx + cos11x = cos6x d. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x
s inx+sin3x+sin5x
e. tanx + tan2x = tan3x g. = tan 2 3 x
cosx+cos3x+cos5x
Bài 20. Giải các phương trình
3
b. cos 3x + cos 4 x + cos 5 x =
2 2 2
a. sin 2 x + sin 2 5 x = 2 sin 2 3 x
2
c. 8cos4x = 1 + cos4x d. sin4x + cos4x = cos4x
2
e. 3cos22x - 3sin2x + cos2x g. sin3xcosx - sinxcos3x =
8
h. ( 1 − tan x ) ( 1 + sin 2 x ) = 1 + tan x i. tanx + tan2x = sin3xcosx
Bài 21.(B1.43 +44 SBT Tr 15) Giải các phương trình
1
a. tanx = 1- cos2x b. tan(x - 150)cot(x - 150) =
3
4 4
c. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx d. 3sin x + 5cos x - 3 = 0
e. (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x g. 1 + sinxcos2x = sinx + cos2x
h. sin2xtanx + cos2xcotx - sin2x = 1 + tanx + cotx
3
i. sin2x + sinxcos4x + cos24x = .
4
VII. Tổng hợp các phương pháp giải phương trình lượng giác
1. Đặt ẩn phụ
Áp dụng cho các loại phương trình :
• Phương trình bậc hai, bậc ba… với một hàm số lượng giác
• Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Đặt t = tanx)
Coppyright©dtruonghd@yahoo.com 3 Hoàng Đức Trường
- THPT LÊ XOAY BÀI TẬP LUYỆN TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11
• Phương trình đối xứng với sinx, cosx (đặt t = s inx ± cosx ) ; đối xứng với tanx và cotx
(đặt t = tanx ± cotx )
• Một số phương trình khác…….
x x
VD1. Giải phương trình : 2 + cosx = 2tan (đặt t = t an )
2 2
2
VD2. GPT : s inx + 3cosx + =3
s inx + 3cosx
4 2 2
VD3. GPT : 2 2
+ cos 2 x + 9 − cosx = 1 (HD : Đặt t = − cosx )
cos x cosx cosx
VD4 . GPT : sin 6 x + cos6 x + sin 2 x = 1 (đặt t sin2x)
3 π π
VD5. 8cos x + = cos3x (Đặt t = x + ).
3 3
VD6. sin x + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x + 1 = 0
Bài tập vận dụng :
Bài 22. Giải các phương trình lượng giác sau
1. 1 + 3sin 2 x = 2 tan x 2. ( 1 − t anx ) ( 1 + sin 2 x ) = 1 + t anx
6
3. t anx.sin x − 2sin x = 3 ( cos2x+sinx.cosx ) 4. 3cos x + 4sin x + =6
2 2
3cos x + 4sin x + 1
4 4 2 2
5. tan x −
2
+5 = 0 6. 2
+ cos 2 x − + cos x − 3 = 0
cos x cos x 3 cos x
4
7. 4 tan x + 10 ( 1 + tan x ) tan x + =0
2 2
8. cos x + cos x + cos 2 x + sin x = 1
cos 2 x
3π x 1 π 3x 2π
9. sin − = sin + 10. cos 9 x + 2 cos 6 x + +2 = 0
10 2 2 10 2 3
2. Biến đổi lượng giác
• Sử dụng công thức hạ bậc
• Đưa về phương trình tích
VD1: sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x
21π
VD2: sin 4 x − cos 6 x = sin 10 x +
2 2
2
2 3x 4x
VD3: 1 + 2 cos = 3cos
5 5
VD4: 2sin 3 x + cos 2 x + cos x = 0
VD5: 2sin x + cot x = 2 sin 2 x + 1
2 π x 7
VD6: sin x cos 4 x − sin 2 x = 4sin − −
2
4 2 2
Coppyright©dtruonghd@yahoo.com 4 Hoàng Đức Trường
- THPT LÊ XOAY BÀI TẬP LUYỆN TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11
Bài tập vận dụng
Bài 23 : Giải các phương trình
1. cos3 4 x = cos 3 x.cos3 x + sin 3 x sin 3x
x x 2 π x
2. 1 + sin x sin − sin x cos = 2 cos −
2
2 2 4 2
sin x + cos x
10 10
sin x + cos x
6 6
3. =
4 4sin 2 2 x + cos 2 2 x
4. cos x + cos 3 x + 2 cos 5 x = 0
sin 3 x sin 5 x
5. =
3 5
6. ( 2sin x + 1) ( 3cos 4 x + 2sin x − 4 ) + 4 cos = 3
2
3.Phương pháp không mẫu mực
Vd1 : sin 4 x + cos 4 x = cos 2 x
Vd2 : sin 2008 x + cos 2009 x = 1
( )
Vd3 : sin x + 3 cos x sin 3 x = 2
1
Vd4 : sin 2 x + cos 2 x =
8 8
8
Vd5 : 8cos 4 x cos 2 x + 1 − sin 3 x + 1 = 0
2
Bài tập vận dụng
Bài 24 : Giải các phương trình
2 x
1. cos 4 x − 3cos x = 4sin
2
cos x − sin x
3 3
2. = 2 cos 2 x
cos x + sin x
( )
3. 4 cos x + 3 cos x + 1 + 2 3 tan x + 3 tan x = 0
2 2
4. 2sin 2 x cos 2 4 x = sin 2 x + cos 2 4 x
5. 2 ( sin x + cos x ) = 2 + cot 2 x
2
VIII. Phương trình lượng giác trong một số đề thi ĐH
1 1 7π
+ = 4sin − x
1. sin x 3π 4 (ĐH A-2008)
sin x −
2
2. sin x − 3 cos x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x.cos x (DH B-2008)
3 3
3. 2sin x ( 1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2 cos x (ĐH D-2008)
4. ( 1 + sin x ) cos x + ( 1 + cos x ) sin x = 1 + sin 2 x (ĐH A - 2007)
2 2
5. 2sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x (ĐH B - 2007)
2
x x
6. sin + cos + 3 cos x = 2 (ĐH D - 2007)
2 2
2 ( cos + sin x ) − sin x cos x
6 6
7. = 0 (ĐH A - 2006)
2 − 2sin x
x
8. cot x + sin x 1 + tan x tan = 4 (ĐH B - 2006)
2
Coppyright©dtruonghd@yahoo.com 5 Hoàng Đức Trường
- THPT LÊ XOAY BÀI TẬP LUYỆN TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11
9. cos 3x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 (ĐH D - 2006)
10. cos 2 3x cos 2 x − cos 2 x = 0 (ĐH A - 2005)
11. 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 (ĐH B - 2005)
π π 3
12. cos x + sin x + cos x − sin 3x − − = 0 (ĐH D - 2005)
4 4
4 4 2
13. Tam giác ABC không tù thỏa mãn đk: cos 2 x + 2 2 ( cos B + cos C ) = 3 . Tính các góc của tam
giác (ĐH A - 2004)
14. 5sin x − 2 = 3 ( 1 − sin x ) tan x (ĐH B - 2004)
2
15. ( 2 cos x − 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x (ĐH D - 2004)
cos 2 x 1
16. cot x − 1 = + sin 2 x − sin 2 x (ĐH A - 2003)
1 + tan x 2
2
17. cot x − tan x + 4sin 2 x = (ĐH B - 2003)
sin 2 x
2 x π 2 2 x
18. sin − tan x − cos = 0 (ĐH D - 2003)
2 4 2
cos 3 x + sin 3x
19. Tìm các nghiệm thuộc (0;2π) của pt: 5 sin x + = cos 2 x + 3 (ĐH A - 2002)
1 + 2sin 2 x
20. sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x (ĐH B - 2002)
21. cos 3x − 4 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0 (ĐH D - 2002)
1 1
22. sin 2 x + sin x − − = 2 cot 2 x
2sin x sin 2 x
(
23. 2 cos x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 sin x + 3 cos x
2
)
5x π x π 3x
24. sin − − cos − = 2 cos
2 4 2 4 2
sin 2 x cos 2 x
25. + = tan x − cot x
cos x sin x
π
26. 2 2 sin x − cos x = 1
12
sin 4 x + cos 4 x 1 1
27. = cot 2 x −
5sin 2 x 2 8sin 2 x
(2 − sin 2 x)sin 3 x
2
28. tan 4 x + 1 =
cos 4 x
2sin x + cos x + 1
29. Cho phương trình = m (m là tham số).
sin x − 2 cos x + 3
1
a. Giải phương trình với m =
3
b. Tìm m để pt có nghiệm
1
30. = sin x
8cos 2 x
x π
31.
( )
2 − 3 cos x − 2sin 2 −
2 4 =1
2 cos x − 1
Coppyright©dtruonghd@yahoo.com 6 Hoàng Đức Trường
nguon tai.lieu . vn