Xem mẫu

TAÏP CHÍ ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 5 - Thaùng 01/2011


HÀM MŨ CỦA TOÁN TỬ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN HỆ ĐỘNG LỰC

VÕ XUÂN BẰNG (*)
LÊ NGỌC HƯNG (**)

TÓM TẮT
Hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số hằng số, hay phương trình vi phân hệ
động lực, trong các giáo trình đại học được giải theo phương pháp giá trị riêng của ma
trận hoặc đưa về một phương trình vi phân cấp cao. Bài này giới thiệu phương pháp giải
phương trình vi phân hệ động lực nhờ hàm mũ của toán tử.

ABSTRACT
Linear differential equations with constant coefficients or dynamical differential
equations, which are basic knowledge for students, can be solved by using the values of
matrices or by using advanced differential equations. This writing aims to introduce a
method of solving dynamical linear differential equations based on the exponential
function of operators.
1. PHƯƠNG PHÁP HÀM MŨ CỦA exp(T) = eT = =I+ + +… +
TOÁN TỬ (*) (**)
+…
Xét hệ phương trình vi phân thuần
nhất có hệ số hằng Là một chuỗi trong không gian vector
n
L(R ). Coi T là ma trận vuông cấp n, I là ma
x’ = A.x (1)
trận đơn vị cấp n.
x’ = ( … ),
Ta có các tính chất trong bổ đề sau đây
x = (x1 x2 x3 … xn) viết theo dạng cột, Bổ đề.
A = (aij)n . 
Tk
Tập L(Rn) = {T : Rn Rn T là toán
1. Chuỗi lũy thừa 
k 0 k !
hội tụ tuyệt

tử tuyến tính} được đồng nhất với tập tất đối và đều trên L(Rn).
cả các ma trận vuông cấp n ( ma trận 2. Giả sử P, S, T là các toán tử trên Rn.
của toán tử tuyến tính T trong cơ sở Khi đó:
chính tắc) . Tập này được đồng nhất với
a) Nếu Q = PT. P-1 thì eQ = P.eT. P-1 .
2
vì ma trận là bảng gồm n số. Chuẩn b) Nếu S.T = T.S thì eS+T = eS. eT .
được sử dụng là chuẩn Euclide trên Rk . c) e-S = (eS)-1 .
Với mỗi toán tử T : Rn Rn ta định nghĩa
d) Nếu n = 2 và T =

(*)
thì eT = ea .
ThS, Trường Đại học Giao thông Vận tải
Thành phố Hồ Chí Minh e) Nếu T là ma trận chéo:
(**)
ThS, Trường Đại học Sài Gòn

73
 c1 0 ... 0  (*)
 
0 c2 ... 0 
T= 
 ... ... ... ...  Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính
 
0 0 ... cn  không thuần nhất
 ec1 0 ... 0  x’(t) = A.x(t) + B (2)
 
ec2
thì e = 
T 0 ... 0  có phương trình vi phân tuyến tính thuần
.
 ... ... ... ...  nhất tương ứng
 
0 0 ... ecn  x’(t) = A.x(t) (3)
n
3. Cho T có trị riêng là c thì T có trị Định lý 2. Giả sử x0 là một nghiệm riêng
riêng là cn và eT có trị riêng là ec. của (2) và H là tập các nghiệm của (3). Khi
Gọi A là toán tử trên Rn, tức đó tập K các nghiệm của (2) có dạng
A L(Rn). Ta sẽ biểu diễn các nghiệm K = {x = y + x0 y H}.
của phương trình
Từ định lý 1 và 2, để giải (2) ta chỉ cần
x’ = A.x (1) dưới dạng hàm mũ của tìm một nghiệm riêng của (2) bằng phương
toán tử. pháp biến thiên hằng số.
Xét ánh xạ: φ : R → L(Rn), t etA . Nghiệm của (3) có dạng x(t) = et.A.M
Vì L(Rn) được đồng nhất với nên đạo ( ) nên có thể tìm một nghiệm của (2)
hàm của ánh xạ này là có nghĩa. Khi đó φ dạng x(t) = et.A.M(t), .
khả vi trên R và hơn nữa φ’(t) = A.et.A =
Đạo hàm x(t) và thay vào (2) ta có
et.A.A.
nghiệm riêng của (2) là
Ta có các định lý cơ bản sau
x0(t) = et.A , .
n
Định lý 1. Giả sử A L(R ). Khi đó
hệ phương trình vi phân tuyến tính Do các nghiệm của (2) có dạng
x(t) = et.A .



2. VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Giải hệ thuần nhất


(I)


 2 0 0   2 0 0   0 0 0 
     
Giải. Ta có: A =  1 2 0  =  0 2 0    1 0 0  = S + N
 0 1 2   0 0 2   0 1 0 
     
Ta có: S.N = N.S vì S là ma trận đường chéo và

74
 0 0 0  0 0 0  0 0 0
2     
N =  1 0 0  1 0 0  = 0 0 0
 0 1 0  0 1 0  1 0 0
    

 0 0 0  0 0 0  0 0 0
    
0 0 0= 
3
N =  0 0 0  1 0 0  =
 1 0 0  0 1 0  0 0 0
    
Khi đó etA = et(S+N) = etS.etN.

 e 2t 0 0 
 2 t  tN t2 2
etS =  0 e 0  ; e = I3 + tN + N
 0 2!
 0 e 2t 

   
 1 0 0   0 0 0  0 0 0  1 0 0
   
 e =  0 1 0    t 0 0    0
tN   
0 0   t 1 0
 0 0 1  0 t 0  t2   2 
     0 0  
t
t 1 

2  2 
Nghiệm của hệ (I) là

     
 x(t )   e 2t
 
0 0 1 0 0  m1  e  2t 
0 0  m1   m1e 2 t 
  tA            
 y (t )   e M   0 e
2t
0   t 1 0   m2    e 2t e 2t 0   m2    m1te 2t  m2e 2t 
 z (t )   2t   2  m   2  m   m 
   0 0 e   t t 1   3   t e2t e2t   3   1 t 2e2t  m2te2t  m3e2t 
   
2  2   2 

Ví dụ 2. Giải hệ

(II)

 0 1 0
 x’(t) = A.x(t) + B(t), trong đó A =  , B =  
1 0  t
Giải hệ thuần nhất
x’(t) = A.x(t).




75
Ta có nghiệm của thuần nhất
x(t) = etA.M (M R2 )
 0 t 
   cos t  sin t 
e =etA t 0 
 
 sin t cos t 



Tìm nghiệm riêng
t s
 cos s s ins  0 
e 0   s ins cos s 
 sA
x’(t) = e tA
.B( s)ds  e tA
 ds
0  s 
t
 s.s ins 
 etA   ds
0  s.cos s 
 sin t  t cos t 
 etA  
 cos t  t sin t 
 cos t  sin t   sin t  t cos t 
  
 sin t cos t   cos t  sin t 
 cos t.sin t  t cos 2 t  sin t.cos t  t sin 2 t 
 
 sin t  t cos t  cos t  t sin t.cos t 
2 2 2


 t 
 
1  t cos t (sin t  cos t ) 


 cos t  sin t   m   m1 cos t  m2 sin t 
etA .M       
 sin t cos t  m2   m1 sin t  m2 cos t 
Vậy nghiệm của (II) là

 x (t )   t   m1 cos t  m2 sin t 
x(t) =  1  =  
2   
 x2 (t )  1  t cos t sin t  t cos t   m1 sin t  m2 cos t 

 t  m1 cos t  m2 sin t 
=  , (m1,m2) R2.
1  t cos t sin t  t cos t  m1 sin t  m2 cos t 
2




76
Ví dụ 3. Giải hệ


(III)  X’(t) = A.X(t) + B(t)


với

1 1 1  x (t )   x '(t )   0 
       
A =  0 2 0  , X(t) =  y (t )  , X’(t) =  y '(t )  , B(t) =  t 
0 0 2  z (t )   z '(t )   sin t 
       
Trước hết giải hệ thuần nhất: X’(t) = A.X(t) (*)
Phương trình đặc trưng:

 1 1 1
PA(  ) = 0  2 0 = (  - 1)(  - 2)(  + 2)
0 0  2

  1 = 1,  2 = 2,  3 = -2
Ứng với  1 = 1, ta có vector riêng 1  (1, 0, 0)

Ứng với  2 = 2, ta có vector riêng  2  (1, 0,1)

Ứng với  3 = -2, ta có vector riêng 1  (1,3, 0) .

 1 1 1
3  
Ta có một cơ sở của R gồm các vector riêng của T =  0 0 3  là
0 1 0 
 
V  1 ,  2 , 3 .

Theo phương pháp chéo hóa ma trận, với

1 1 1
 1 1 1  3  1 0 0
   
P = 0 0 3  , P-1 =  0 0 1 , A  0 2 0
  0
0 1 0 
  0 1 0  0 2 
 3 
ta có [T] = P-1.A.P  A = P.[T].P-1 .


Từ đó etA  P.et[T ] .P1




77
 t 1 t 2t 
(e  e ) e t  e 2 t 
0   1 1 e
1
 1 1 1  e
t
0 3  3
    
= 0 0 3  0 e 2t 0 0 0 1 = 0 e2t 0 
0 1 0  0   0
  0 e2t   0 1 0 0 e 2t 
 3   
 
Vậy nghiệm của hệ thuần nhất (*) là:

X (t) = etA.M, (M R3 )

 t 1 t 2t 
e (e  e ) e t  e 2 t 
3  m1 
   
X (t) =  0 e 2t 0   m2 
0 0 e2t   m3 
 
 

 1 2 t t 
 m1e  3 m2 (e  e )  m3 (e  e ) 
t t 2t


 
= m2 e 2t 
 m3e 2t 
 
 
Nghiệm riêng của hệ (III) là X0(t):
t
X0(t) = etA  e SA .B( S )ds
0


 s 1 s 2s 
e (e  e ) e2 s  e s 
3  0 
t
  
= etA   0 s.e 2s
0   s  ds
0
0 0 e2 s   s ins 
 
 

 s s 2s 2 s s 
 3 (e  e )  s ins.(e  e ) 
t
 
= e 
tA
s.e 2 s ds
0 2 s 
s ins.e
 
 




78
vậy

 1 1 t 1 2t 1 1 
 t 1 t 2t t    e (t  1)  e (2t  1)  et (cos t  sin t )  e 2t (cos t  sin t ) 
 e 3 (e  e ) e  e   4 3
2t
12 2 3


X0(t) = 0 2 t
  1 1 .
 e 0  e (2t  1) 
2t
 4 4 
0 0 e 2t   
  1 2t 1 
   e (cos t  sin t )  
 3 3 

Từ đó nghiệm của hệ (III) là:

X(t) = X (t) + X0(t).
3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN nghiệm của phương trình. Cách làm này là
TÍNH CẤP CAO HỆ SỐ HẰNG cơ sở lý luận để đưa đến dạng nghiệm của
Đối với phương trình vi phân tuyến phương trình vi phân có hệ số hằng cấp cao
tính cấp cao có hệ số hằng số ta có thể đưa hơn 2, nhưng về mặt thực hành thì tính
về hệ phương trình vi phân thuần nhất hoặc toán phức tạp hơn cách giải trực tiếp.
không thuần nhất cấp một có hệ số hằng Xét phương trình vi phân tuyến tính
số. Từ nghiệm của hệ đó ta tìm được thuần nhất cấp n:


u ( n)  a1u ( n1)  ...  an1u ' anu  0 , (u = u(t), t R)
Đặt: x1 = u, x2 = u’ = x’1, … xn = u(n – 1) = x’n-1.
Ta có hệ phương trình vi phân thuần nhất cấp 1 có hệ số hằng số như sau:
x1  x2
x2  x3
x3  x4
............
xn 1  xn
xn  un x1  un 1 x2  ...  u1 xn

 0 1 0 ... 0 0
 
 0 0 1 ... 0 0
 X’ = A.X với A =  ... ... ... ... ... ... 
 
 0 0 0 ... 0 1
 a an 1 an  2 1 
 n ... 0

Đa thức đặc trưng của ma trận A là
PA(  ) =  n  a1 n1  ...  an1  an


79
(có thể chứng minh quy nạp theo n 2).
Từ hệ X’ = A.X có nghiệm X(t) = etA. M (M Rn) suy ra u(t) = x1(t) là nghiệm của
phương trình.




TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Hoàng Hữu Đường, Võ Đức Tôn, Nguyễn Thế Hoàn, Phương trình vi phân, NXB Giáo
dục Hà Nội, 1970.
2. N.Nitecki, Differentiable dynamics, The MIT Press, 1971.
3. F.Gantmacher, Theorie des matries, Dunod E’ditor, Paris, 1966.




80
nguon tai.lieu . vn