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- GIÔÙI THIEÄU MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN OÂN THI ÑAÏI HOÏC VEÀ TAM GIAÙC 1 − cos 2A 1 − cos 2B
Giaûi: Ta coù sin A + sin B + sin C = + + 1 − cos 2 C
2 2 2
3 2 2
1) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA + cosB + cosC ≤
2 1
= 2− (cos 2A + cos 2B) − cos 2 C = 2 − cos(A + B) cos(A − B) − cos 2 [π − (A + B)]
Giaûi: Ñaët y= cosA+cosB+cosC ta coù: 2
A+ B A− B C π C A− B C 1 1
y = 2 cos cos + 1 − 2 sin 2 = 2 cos( − ) cos + 1 − 2 sin 2 = 2 − cos(A + B) cos(A − B) − cos 2 (A + B) = 2 + cos 2 (A − B) − [cos(A + B) + cos(A − B)] 2
2 2 2 2 2 2 2 4 2
C A− B C C A− B C 9
⇔ y = 2 sin cos + 1 − 2 sin 2 ⇔ 2 sin 2 − 2 cos sin + y − 1 = 0 ⇒ sin A + sin B + sin C ≤ .
2 2 2
2 2 2 2 2 2 4
C 9
Ñeå phöông trình naøy xaùc ñònh sin ta phaûi coù: Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù sin A + sin B + sin C ≤
2 2 2
2 4
A− B 2 A− B 2 5) a) Chöùng minh baát ñaúng thöùc: Vôùi 6 soá thöïc a1, a2, a3, b1, b2, b3 ta luoân coù:
∆ ' = (cos ) − 2(y − 1) ≥ 0 ⇔ 2y ≤ 2 + (cos ) ≤ 3
2 2 a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ≤ a1 + a 2 + a 3 . b1 + b 2 + b 2
2 2 2
2 2 3
3 3
⇔ y≤ ⇔ cosA + cosB + cosC ≤ a1 a 2 a 3
2 2 = =
Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi ( BÑT Bunhiacoâpxki)
3 b1 b 2 b 3
Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA + cosB + cosC ≤
2 b) Tam giaùc ABC coù 3 trung tuyeán ma, mb, mc vaø R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc
1 9R
2) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA.cosB.cosC ≤ ABC. Chöùng minh raèng: Neáu ma+mb+mc= thì ABC laø moät tam giaùc ñeàu.
8 2
Giaûi:* Giaû thieát A tuø ⇒ø B, C nhoïn. Khi ñoù cosA0, cosC>0 Giaûi: a) Xeùt trong heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz xeùt 2 vectô khaùc 0 :
→
1
⇒ cosA.cosB.cosC < 0 ⇒ cosA.cosB.cosC ≤ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) vaø b = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) . Theo coâng thöùc ñònh goùc cuûa 2 vectô ta coù
→ →
8
→ → → →
*Giaû thieát A, B, C nhoïn. Khi ñoù cosA>0 vaø cosB>0, cosC>0 → →
a.b → →
| a.b | → → → →
cos A + cos B + cos C 3 cos(a, b) = → → . Vì | cos(a, b) | ≤ 1 neân → →
≤ 1 ⇒ | a.b |≤ | a | . | b |
Theo baát ñaúng thöùc Coâsi daønh cho 3 soá ta coù: ≥ cos A. cos B. cos C |a|.| b| | a|.| b|
3
Theo phöông phaùp toïa ñoä: a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ≤ a 12 + a 2 + a 3 . b 12 + b 2 + b 2
2
⇔27cosA.cosB.cosC≤(cosA+cosB+cosC)3 (1). 2 2 3
3 a1 a 2 a 3
Theo keát quaû baøi 1): cosA + cosB + cosC ≤
→ → → →
(2). Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi | cos(a, b) | = 1 ⇔ a, b cuøng phöông ⇔ = = .
2 b1 b 2 b 3
3 1
Töø (1) vaø (2) ta coù: 27cosA.cosB.cosC≤( )3 ⇒ cosA.cosB.cosC ≤ b) Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: |1.ma+1.mb+1.mc| ≤ 12 + 12 + 12 . m 2 + m 2 + m 2
a b c
2 8
⇒ (ma+mb+mc)2 ≤ 3(m a + m b + m c ) (1).
2 2 2
1
Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù: cosA.cosB.cosC ≤ Theo ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán trong tam giaùc ABC ta coù:
8
1 2 b 2 + 2c 2 − a 2 2a 2 + 2 c 2 − b 2 2a 2 + 2 b 2 − c 2 3 2
m2 + m2 + m2 = + + = (a + b 2 + c 2 ) (2)
3) Chöùng minh raèng: Neáu cosA.cosB.cosC = thì ∆ABC ñeàu. a b c
4 4 4 4
8
1 1 Theo ñònh lyù sin trong tam giaùc ABC ta coù:
Giaûi: Ta coù cosA.cosB.cosC = ⇔ 8 cos A. [cos(B + C) + cos(B − C)] − 1 = 0 baøi 4
9
8 2 a 2 + b 2 + c 2 = 4R 2 sin 2 A + 4R 2 sin 2 B + 4R 2 sin 2 C = 4R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C) ≤ 4 R 2 .
4
⇔ 4 cos A.[cos(π − A ) + cos(B − C)] − 1 = 0 ⇔ 4 cos A.[− cos A + cos(B − C)] − 1 = 0
⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9R 2 (3).
⇔ 4 cos A − 4 cos A. cos(B − C) + cos (B − C) + 1 − cos (B − C) = 0
2 2 2
27R 2
⇔ [2 cos A − cos(B − C)] + sin (B − C) = 0 Töø (2) vaø (3): m a + m b + m c ≤
2 2
(4)
2 2 2
4
1
2 cos A − cos(B − C) = 0 2 cos A − cos 0 = 0 cos A = A = 60 0 81R 2 9R
⇒ ⇒ ⇒ 2 ⇒ Töø (1) vaø (4): (ma+mb+mc)2 ≤ ⇔ ma+mb+mc≤ .
sin(B − C) = 0 B= C B= C B= C 4 2
9R ma mb mc
⇒A=B=C=600 ⇒ ∆ABC ñeàu. Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: ma+mb+mc= ⇔ = =
2 1 1 1
9
4) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù sin A + sin B + sin C ≤ ⇒ Tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu.
2 2 2
4
nguon tai.lieu . vn