Xem mẫu
CHÖÔNG III
CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN
§1 Ba baøi toaùn bieân cô baûn.
Caùc baøi toaùn bieân trong lyù thuyeát theá nhaèm xaùc ñònh haøm ñieàu hoøa thoûa maõn moät soá ñieàu kieän bieân.
Caùc haøm ñieàu hoøa ôû ñaây trong thöïc teá laø theá cuûa moät tröôøng löïc naøo ñoù. Tuøy theo ñieàu kieän bieân maø ngöôøi ta chia ra laøm ba loaïi baøi toaùn bieân :
+ Baøi toaùn bieân thöù nhaát, coøn goïi laø baøi toaùn Dirichlet. Coù theå phaùt bieåu : Cho tröôùc haøm V xaùc ñònh taïi moïi ñieåm treân beà maët cuûa maët kín s . Caàn
phaûi tìm haøm V(x,y,z), ñieàu hoøa trong mieàn giôùi haïn bôûi maët s vaø coù giaù trò treân maët naøy baèng giaù trò V cho tröôùc.
Ta caàn phaân bieät baøi toaùn trong, töùc tìm haøm ñieàu hoøa trong mieàn t giôùi haïn bôûi maët s vaø baøi toaùn ngoaøi laø tìm haøm ñoù trong mieàn voâ haïn ôû khoâng gian beân ngoaøi maët s .
+ Baøi toaùn thöù hai, coøn goïi laø baøi toaùn Neumann. ñaët ra nhieäm vuï sau :
- Treân maëts , cho tröôùc giaù trò ñaïo haøm
dV
dn
cuûa haøm ñieàu hoøa caàn tìm
V(x,y,z). Caàn phaûi tìm haøm naøy trong mieàn giôùi haïn bôûi maët s . Töông töï ta cuõng caàn phaân bieät hai tröôøng hôïp trong vaø ngoaøi ñoái vôi maët s .
+ Baøi toaùn thöù ba, coøn goïi laø baøi toaùn hoãn hôïp nhaèm xaùc ñònh haøm ñieàu hoøa theo giaù trò cho tröôùc treân maët s laø moät toå hôp tuyeán tính aV + dV .
Gioáng nhö treân, ta cuõng coù baøi toaùn trong vaø ngoaøi. Cuõng caàn chuù yù raèng, haøm ñieàu hoøa buoäc phaûi thoûa ñieàu kieän chính quy ôû voâ cöïc.
Trong ngaønh troïng löïc vaø thuyeát veà hình daïng Traùi ñaát, theá haáp daãn laø haøm ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi vaø theo ñieàu kieän bieân, ngöôøi ta chæ coù theå xaùc ñònh ôû khoâng gian ngoaøi. Vì noùi chung, chuùng ta gaêp baøi toaùn ngoaøi (beân trong Traùi ñaât theá khoâng ñieàu hoøa, vì khoâng thoûa phöông trình Laplace. Ta haõy ñi saâu töøng baøi toaùn :
1. Baøi toaùn bieân thöù nhaát.
Muïc ñích laø xaùc ñònh taïi moïi ñieåm P(x, y, z) ôû khoâng gian ngoaøi một haøm V(x, y,z) ñieàu hoøa ôû ngoaøi maët s , chính qui ôû voâ cöïc vaø coù caùc giaù trò treân maët s baèng ñuùng taäp hôïp lieân tuïc caùc V cho tröôùc.
54
Theo (2.27) ta coù coâng thöùc Green :
1
V(p) = − 1 r dn −V dn ds (3.1)
r vaãn laø khoaûng caùch töø ñieåm chaïy M ñeán ñieåm quan saùt P. Giaù trò
khoâng ñöôïc cho tröôùc neân baây giôø ta phaûi tìm caùch loaïi noù ra khoûi tích phaân.
dV
dn
Haøm U laø haøm ñieàu hoøa ngoaøi s vaø chính qui ôû voâ cöïc. Khi haøm U vaø V laø caùc haøm ñieàu hoøa thì coâng thöùc Green thöù hai theo (2.15a) coù daïng :
0 = − 1 U dn −V dn ds (3.2)
Coäng töøng veá ñaúng thöùc (3.1) vaø (3.2) ta coù :
V(p) = 1 1 +U dV −V d 1 +U ds (3.2a)
Kyù hieäu G = 1 +U vaø gaùn cho U ñieàu kieän sau : treân maët s , U = −1. Ta cho
raèng khaû naêng xaây döïng haøm U nhö vaäy laø coù thöïc teá. Nhö vaäy tích phaân chöùa
dV
dn
seõ baèng 0 vaø :
V(p) = 1 V dn ds
(3.3)
Haøm G maø ta ñöa ra ôû ñaây goïi laø haøm Green cho khoâng gian ngoaøi ñoái vôùi maët s .
Nhö vaäy neáu xaây döïng ñöôïc haøm Green ñoái vôùi moät maët cho tröôùc thì ta coù theå tìm ñöôïc haøm ñieàu hoøa V baát kyø ôû khoâng gian ngoaøi theo nhöõng giaù trò cho tröôùc V cuûa noù treân maët s .
Phaûi choïn sao cho U = −1 treân σ vaø ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi.
55
Haøm 1 = [x −x)2 +(y −h)2 +(z −z )2 ]−1 laø haøm ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi
vaø chính qui ôû voâ cöïc.
Toùm laïi haøm Green laø haøm phaûi thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau :
Ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi, tröø P, chính qui ôû voâ cöïc, baèng 0 treân maët s . x, y, z - toïa ñoä ñieåm quan saùt P.
x,h,z - toïa doä ñieåm chaïy M cuûa tích phaân.
Chuù yù :Haøm U phaûi choïn sao cho noù ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi, baèng -1
tröø ñieåm P ( x, y, z). Bôûi vì ôû khoâng gian ngoaøi, taïi P haøm U(x,h,z ) maø baèng -1
thì U seõ bò giaùn ñoïan, vì luùc ñoù M truøng vôùi P vaø r = 0.
2. Baøi toaùn bieân thöù hai.
Giaù trò ñaïo haøm cuûa theá ñöôïc cho tröôùc treân maët s . Vì vaäy, trong coâng thöùc (3.2a), ta caàn phaûi loaïi tröø giaù trò cuûa V. Ñeå laøm vieäc naøy ta haõy duøng moät haøm phuï laø U ñieàu hoøa ngoaøi maët s , chính qui ôû voâ cöïc vaø thoûa maõn ñieàu kieän sau :
dN = 0 N = 1 +U (N laø haøm Neumann) s
Khi ñoù nghieäm cuûa baøi toaùn bieân thöù hai theo (3.2a) seõ laø :
V(p) = − 1 N dVds
s (3.4)
3.Baøi toaùn bieân thöù ba.
Giaû söû treân maët s haøm V coù giaù trò sao cho aV + dV = f . s
Kyù hieäu haøm E = 1 +U vaø buoäc haøm naøy treân maët s thoûa maõn ñieàu kieän :
aE + dE = 0 s
56
Nhö vaäy coù nghóa treân maët s ta coù :
dE = −[sE]s s
Do ñoù, döïa vaøo keát quaû naøy ta vieát laïi veá phaûi cuûa tích phaân (3.2a) :
dV dE dV dV s dn dn s dn s dn
Coâng thöùc (3.2a) naøy coù daïng :
V(p) = − 1 aV + dV Eds s
V(p) = − 1 f Eds s
(3.5)
Nhö vaäy haøm V coù theå xaùc ñònh taïi ñieåm P baát kyø trong khoâng gian ngoaøi, döïa vaøo giaù trò toå hôïp tuyeán tính aV + dV treân maët s . Vaán ñeà khoù khaên laø xaây
döïng ñöôïc haøm E ñoái vôùi maët s cho tröôùc.
Phần kết mục 1, ta cần chứng minh rằng bài toán Dirichlet ngoài coù tính ñơn trị. Dùng phương pháp phản chứng :
Giả sử có hai hàm V và V’ ñiều hòa ngoài s, chính quy ở ¥ và có cùng giá trị trên s. Lúc ñó hàm số mới là T = V-V’ sẽ ñiều hòa ở ngoài s và chính quy ở ¥. Áp dụng công thức (2.14) ñối với không gian cho haøm U = V = T.
[TΔT + D(T,T)]dt = −T dTds t s
Nhưng ΔT = 0 ở không gian ngoài.
Vaø T = 0 ở trên s (vì ñaõ cho tröôùc : V = V’ trên s) Vậy kết quả :
D(T,T)dt = 0 t
ðiều treân coù ñược khi tại mọi ñiểm ở không gian ngoài :
57
¶T ¶T ¶T ¶x ¶y ¶z
ðiều này có nghĩa hàm T là hằng số ở toàn không gian ngoài. Nhưng ở vô cực, hàm ñó bằng không. Vậy tại mọi ñiểm ở không gian ngoài hằng soá ñó baèng 0.
T = 0 , ta suy ra : V = V’ ở toàn không gian ngoài – ñieàu caàn chöùng minh. Tính ñơn trị của bài toán Neumann cũng ñược chứng minh tương tự.
§.2. Baøi toaùn Dirichlet cho quaû caàu.
Chuùng ta haõy tìm nghieäm cho baøi toaùn Dirichlet ngoaøi cho nhöõng maët s cuï
theå. Tröôùc heát phaûi choïn maët caàu S baùn kính R taâm taïi O. Phaûi xaùc ñònh taïi ñieåm ngoaøi baát kyø P(r,q,l), haøm Ve ñieàu hoøa ngoaøi maët caàu S, chính quy ôû ∞ vaø laáy ôû
treân maët S caùc giaù trò baèng :
limV = f ( `,l`) r®R
(r,q,l) - toïa ñoä caàu cuûa ñieåm quan saùt (coù daáu phaåy laø treân maët S ).
Nhö ñaõ thaáy, ta phaûi xaùc ñònh haøm Green cho maët caàu.
Treân ñöôøng thaúng OP ôû khoaûng caùch r`ta choïn ñieåm P’ sao cho r , thoûa
maõn ñieàu kieän sau :
rr`= R2 (3.6)
Ñieåm P vaø P’ nhö theá goïi laø lieân hôïp nhau. Choïn ñieåm K ôû khoâng gian ngoaøi vaø xaùc ñònh khoaûng caùch cuûa noù ñeán caùc ñieåm lieân hôïp. K laø ñieåm di ñoäng.
Kyù hieäu r, r’ khoaûng caùch töø K ñeán caùc ñieåm lieân hôïp, ta coù :
r2 = d2 + r2 −2drcosy (3.7) r`2 = d2 + r`2 −2dr`cosy
Coøn khi K treân maët caàu S thì hieån nhieân laø : r P K
r 2 = R2 + r2 −2Rrcosy (3.8)
r¢2 = R2 + r`2 −2Rr¢cosy (3.9)
d = R ψ r’ ρ P’
O ρ’ H.16
Vì r`= R2 theo (3.6), neân coâng thöùc (3.9) coù daïng :
58
...
- tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn