Giáo trình Đại số tuyến tính (Lý thuyết và bài tập)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYỄN HỮU VIỆT HƯNG Giáo trình ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Lý thuyết và bài tập) Bài tập lớn môn cấu trúc T X Lê Hoàng Long A08232, Trần Quang Bôn A08361 TM18 - ĐẠI HỌC THĂNG LONG Hà Nội, Tháng 12 năm 2008 Mục lục Trang 0.1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.2 Quan hệ và Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 0.3 Lực lượng của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 0.4 Nhóm, Vành và Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 0.5 Trường số thực 0.6 Trường số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0.7 Đa thức . . . . . . . . . . . 0.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 1. Không gian vectơ 37 1.1 Khái niệm không gian véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . 41 1.3 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ . . . . . . . . . . . . . 45 1.4 Không gian con - Hạng của một hệ véctơ . . . . . . . . . . . . 51 1.5 Tổng và tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.6 Không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Chương 2. Ma trận và ánh xạ tuyến tính 63 2.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2 Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3 Hạt nhân và ảnh của đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.4 Không gian véctơ đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Chương 3. Định thức và hệ phương trình tuyến tính 93 3.1 Các phép thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 i Mục lục 3.2 Định thức của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.3 Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.4 Định thức của tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.5 Các tính chất sâu hơn của định thức . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.6 Định thức và hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.7 Hệ phương trình tuyến tính - Quy tắc Cramer . . . . . . . . . . 112 3.8 Hệ phương trình tuyến tính - Phương pháp khử Gauss . . . . . . 114 3.9 Cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 118 3.10 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Chương 4. Cấu trúc của tự đồng cấu 127 4.1 Véctơ riêng và giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.2 Không gian con ổn định của các tự đồng cấu thực và phức . . . 131 4.3 Tự đồng cấu chéo hoá được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.4 Tự đồng cấu lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.5 Ma trận chuẩn tắc Jordan của tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . 140 4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Chương 5. Không gian vectơ Euclid 152 5.1 Không gian véctơ Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.2 Ánh xạ trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3 Phép biến đổi liên hợp và phép biến đổi đối xứng . . . . . . . . 173 5.4 Vài nét về không gian Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Chương 6. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương 189 6.1 Khái niệm dạng song tuyến tính và dạng toàn phương . . . . . . 189 6.2 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc . . . . . . . . . . . . 192 6.3 Hạng và hạch của dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.4 Chỉ số quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.5 Dạng toàn phương xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Chương 7. Đại số đa tuyến tính 211 7.1 Tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 ii Đại số tuyến tính 7.2 Các tính chất cơ bản của tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.3 Đại số tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.4 Đại số đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.5 Đại số ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Tài liệu tham khảo 236 Lời nói đầu heo dòng lịch sử, môn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính. Về sau, để có thể hiểu thấu đáo cấu trúc củatậpnghiệmvàđiềukiệnđểmộthệphươngtrìnhtuyếntínhcónghiệm, người ta xây dựng những khái niệm trừu tượng hơn như không gian véctơ và ánh xạ tuyến tính. Người ta cũng có nhu cầu khảo sát các không gian với nhiều thuộc tính hình học hơn, trong đó có thể đo độ dài của véctơ và góc giữa hai véctơ. Xa hơn, hướng nghiên cứu này dẫn tới bài toán phân loại các dạng toàn phương, và tổng quát hơn phân loại các tenxơ, dưới tác động của một nhóm cấu trúc nào đó. Ngày nay, Đại số tuyến tính được ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học vi phân và Lý thuyết biểu diễn nhóm, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật... Vì thế, nó đã trở thành một môn học cơ sở cho việc đào tạo các giáo viên trung học, các chuyên gia bậc đại học và trên đại học thuộc các chuyên ngành khoa học cơ bản và công nghệ trong tất cả các trường đại học. Đã có hàng trăm cuốn sách về Đại số tuyến tính được xuất bản trên toàn thế giới. Chúng tôi nhận thấy có hai khuynh hướng chủ yếu trong việc trình bày môn học này. Khuynh hướng thứ nhất bắt đầu với các khái niệm ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính, rồi đi tới các khái niệm trừu tượng hơn như không gian véctơ và ánh xạ tuyến tính. Khuynh hướng này dễ tiếp thu. Nhưng nó không cho phép trình bày lý thuyết về định thức và hệ phương trình tuyến tính bằng một ngôn ngữ cô đọng và đẹp đẽ. Khuynh hướng thứ hai trình bày các khái niệm không gian véctơ và ánh xạ tuyến tính trước, rồi áp dụng vào khảo sát định thức và hệ phương trình tuyến tính. Ưu điểm của phương pháp này là đề cao vẻ đẹp trong tính nhất quán về cấu trúc của các đối tượng được khảo sát. Nhược điểm của nó là khi xét tính độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính, thật ra người ta đã phải đối mặt với việc giải hệ phương trình tuyến tính. Cách trình bày nào cũng có cái lý của nó. Theo kinh nghiệm của chúng tôi thì nên chọn cách trình bày thứ hai cho các sinh viên có khả năng tư duy trừu tượng tốt hơn và có mục đích hướng tới một mặt bằng kiến thức cao hơn về toán. 2 ... - tailieumienphi.vn