Xem mẫu
Chuong 4
C´ac t´ınh chˆat co ban cua h`am chınh h`ınh
4.1 Ca´c kˆet qua quan trong nhaˆt ru´t ra tu` t´ıch phˆan Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.1.1 Dinh ly´ gi´a tri trung b`ınh . . . . . . . . . . . . . . 279
4.1.2 Dinh l´y Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
4.1.3 Dinh ly´ Weierstrass vˆe chuˆoi h`am hˆoi tu dˆeu . . . 284
4.1.4 T´ınh chaˆt dia phuong cua ha`m chınh h`ınh. Chuoˆi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4.1.5 Ca´c quan diˆem kha´c nhau trong viˆec xaˆy dung ly´ thuyˆet ha`m chınh h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . 305
4.2 T´ınh chaˆt duy nhˆat cua ha`m chınh h`ınh . . . . . 310
4.2.1 Khˆong diˆem (0-diˆem) cua h`am chınh h`ınh . . . . . 310
4.2.2 T´ınh chˆat duy nhˆat cua ha`m chınh h`ınh . . . . . . 313
4.2.3 Nguyˆen ly´ th´ac triˆen giai t´ıch . . . . . . . . . . . . 317
4.2.4 Nguyˆen l´y moˆdun cuc dai . . . . . . . . . . . . . . 320
4.3 Diˆem bˆat thuo`ng cˆo lˆap . . . . . . . . . . . . . . 326
4.1. C´ac kˆet qua quan trong nhaˆt ru´t ra tu` t´ıch phaˆn Cauchy 279
4.3.1 Chuoˆi Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
4.3.2 Diˆem bˆat thu`ong coˆ laˆp don tri . . . . . . . . . . . 337
4.3.3 Da´ng diˆeu cua ha`m tai diˆem vˆo cu`ng . . . . . . . . 348
4.3.4 Phˆan loai h`am chınh h`ınh . . . . . . . . . . . . . . 350
4.4 T´ınh baˆt biˆen cua tˆap hop mo . . . . . . . . . . 354
4.4.1 Nguyˆen ly´ acgumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
4.4.2 Dinh ly´ Rouch´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
4.4.3 T´ınh bˆat biˆen cua taˆp hop mo . . . . . . . . . . . 363
4.5 B`ai tˆap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
Trong chuong truo´c, ta d˜a chu´ng minh d nh ly´ co ban cua ly´ thuyˆet ha`m chınh h`ınh- inh ly´ Cauchy. Dinh ly´ na`y k´eo theo moˆt loat hˆe qua quan trong. Da˘c biˆet l`a no´ cho ph´ep ta x´ac laˆp mˆoi liˆen hˆe nhˆat dinh giu˜a ca´c gi´a tri cua ha`m chınh h`ınh tai c´ac diˆem trong cua miˆen chınh h`ınh v´oi c´ac gi´a
tri biˆen cua ha`m do´. Moˆi liˆen hˆe d´o duoc mˆo ta trong coˆng thu´c t´ıch phˆan c . ban thu´ hai cua Cauchy. D´o l`a cˆong thu´c trung tˆam cua ly´ thuyˆet h`am
chınh h`ınh.
4.1 Ca´c kˆet qua quan trong nhaˆt ru´t ra tu` t´ıch phˆan Cauchy
O mˆot mu´c dˆo nhaˆt dinh, moi dinh ly´ cua muc n`ay dˆeu la` hˆe qua cua coˆng thu´c t´ıch phˆan Cauchy.
4.1.1 Dinh ly´ gi´a tri trung b`ınh
Do´ l`a dinh ly´ sau daˆy.
Dinh ly´ 4.1.1. Gia su f(z) l`a h`am liˆen tuc trong h`ınh tr`on do´ng S(R) = {z ∈ C : |z − z0| R} v`a chınh h`ınh trong h`ınh tro`n S(R). Khi d´o ta co´
280 Chuong 4. Ca´c t´ınh chaˆt co ban cua h`am chınh h`ınh
d˘ang thu´c
2π
f(z0) = 2π f(z0 + reit)dt, 0
tu´c l`a gia´ tri cua ha`m tai tˆam h`ınh tro`n ba˘ng trung b`ınh coˆng ca´c gi´a tri cua n´o trˆen du`ong tro`n.
Chu´ng minh. Theo cˆong thu´c t´ıch phaˆn Cauchy ta co´ 1 f(ζ)
0 2πi ζ −z0 ∂S(R)
Thuc hiˆen ph´ep biˆen dˆoi theo cˆong thu´c
ζ = z0 + Reit, 0 t 2π
ta thu duoc
f(z0) = 21i 2πf(z0 + Reit)Reeidt = 1 2πf(z0 + Reit)dt. 0 0
4.1.2 Dinh ly´ Liouville
Dinh ly´ 4.1.2. (Liouville1) Nˆeu h`am chınh h`ınh trˆen to`an m˘at pha˘ng phu´c f(z) c´o mˆodun bi cha˘n th`ı no´ dˆong nhaˆt ha˘ng soˆ, tu´c l`a f(z) ≡ const ∀z ∈ C.
Chu´ng minh. Gia su |f(z)| M < ∞ ∀z ∈ C. Ta s˜e a´p dung coˆng thu´c t´ıch phˆan Cauchy cho dao ha`m f(z) va` h`ınh tr`on S(R) v´oi tˆam tai iˆem z
v`a b´an k´ınh R. Ta co´
f(z) = 2πi (ζ −z)2dζ. ∂S(R)
1I. Liouville (1809-1882) l`a nh`a toa´n hoc Pha´p
4.1. C´ac kˆet qua quan trong nhaˆt ru´t ra tu` t´ıch phaˆn Cauchy 281
Tu` d´o
|f(z)| 2π R22πR = R
Vˆe tr´ai cua baˆt d˘ang thu´c n`ay khoˆng phu thuoˆc R, c`on vˆe phai daˆn dˆen 0 khi R t˘ang voˆ han. Tu` do´ suy r˘ang |f(z)| = 0 v`a f(z) = 0 ∀C. Do do´ f(z) ≡ const trong C.
Nhu vˆay l´op c´ac h`am chınh h`ınh trong toa`n m˘at pha˘ng v`a bi cha˘n chı goˆm c´ac ha`m taˆm thu`ong (c´ac h˘ang sˆo).
Dinh ly´ Liouville vu`a chu´ng minh co´ thˆe kh´ai qua´t du´oi dang
Dinh ly´ 4.1.3. Nˆeu ha`m f(z) chınh h`ınh trong to`an m˘at ph˘ang va` thoa ma˜n diˆeu kiˆen |f(z) M|z|n, M < ∞ v`a n l`a soˆ nguyˆen duong th`ı do´ l`a da thu´c baˆc khoˆng cao hon n.2
Chu´ng minh. Gia su z0 la` diˆem tu`y y´ cua m˘at ph˘ang phu´c. Tu` cˆong thu´c t´ıch phˆan Cauchy dˆoi v´oi dao h`am cˆap cao ta co´
f(n+1)(z0) = (n + 1)! (z f(z)n+2 dz, S(R) = {z : |z −z0| < R} ∂S(R)
v`a do d´o
|f(n+1)(z0)| M|z|n (n + 1)!.
V`ı |z| |z0| + R nˆen qua gi´oi han khi R → ∞ ta thu duoc f(n+1)(z0) = 0. Do z0 l`a diˆem tu`y y´ cua C nˆen f(n+1)(z) ≡ 0. Tu` d´o suy r˘ang f(n)(z) ≡ const v`ı
z
f(n)(z) −f(n)(z0) = f(n+1)(z)dz ≡ 0,
z0
tu´c la` f(n)(z) ≡ f(n)(z0) = const... Ba˘ng ca´ch laˆp luˆan nhu vaˆy, dˆe da`ng thu duoc iˆeu kh˘ang inh cua dinh ly´.
2Khi n = 0 th`ı ta thu duoc dinh ly´ 12.1
282 Chuong 4. Ca´c t´ınh chaˆt co ban cua h`am chınh h`ınh
Dinh ly´ Liouville co`n c´o thˆe ph´at biˆeu duo´i dang
Dinh ly´ 4.1.2∗. Nˆeu ha`m f(z) chınh h`ınh trˆen toa`n m˘at ph˘ang mo roˆng C th`ı n´o dˆong nhˆat h˘ang soˆ.
Chu´ng minh. V`ı ha`m f chınh h`ınh tai d ˆem ∞ nˆen lim f(z) toˆn tai va` hu˜u han. Tu` d´o suy ra f(z) bi cha˘n trong lˆan cˆan na`o d´o U(∞) = {z : |z| > R} cua iˆem ∞. Gia su f(z)| M1, ∀z ∈ U(∞). Ma˘t kha´c, do ha`m f chınh h`ınh (v`a do do´ n´o liˆen tuc) trong h`ınh tro`n d´ong S(R) = {z : |z| R} nˆen no´ bi cha˘n trong h`ınh tr`on d´o. Gia su |f(z)| M2, z ∈ S(R). Nhung khi do´ ha`m f bi ch˘an trong toa`n m˘at pha˘ng: f(z)| < M = max(M1,M2) ∀z ∈ C. V`ı ha`m f chınh h`ınh trˆen C nˆen theo dinh ly´ 4.1.2 ta co´ f ≡ const.
Bˆay gi`o ta ´ap dung dinh ly´ Liouville dˆe chu´ng minh dinh ly´ Gauss - dinh ly´ co ban cua dai sˆo.
Dinh ly´ 4.1.4. (Gauss) Moi da thu´c dai sˆo bˆac m 1 vo´i hˆe soˆ phu´c dˆeu c´o m nghiˆem nˆeu moˆi nghiˆem duoc t´ınh moˆt sˆo lˆan ba˘ng bˆoi cua n´o.
Chu´ng minh. Gia su
Pm(z) = amzm + am−1zm−1 + + a1z + a0, am = 0, m 1.
Ta chu´ng minh b˘ang phan chu´ng: gia su Pm(z) khoˆng co´ nghiˆem trong C. Ta x´et ha`m
f(z) = Pm(z)
Ha`m f(z) co´ ca´c t´ınh chaˆt sau dˆay
(i) H`am f(z) ∈ H(C) v`ı Pm(z) = 0 ∀z ∈ C.
(ii) Ha`m f(z) co´ mˆodun bi ch˘an, tu´c la` |f(z)| M ∀z ∈ C. Thˆat vaˆy,
v`ı lim Pm(z) = ∞ nˆen lim P (z) = 0. Tu` do´ ∃R > 0 sao cho ∀z : |z| > R ta c´o
|f(z)| < 1.
...
- tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn