Xem mẫu
-
Giáo trình
Cơ học lượng tử
- 1
M ĐU
M ĐU
H c ph n cơ h c lư ng t nâng cao là môn h c b t bu c đ i v i h c
viên cao h c chuyên ngành Phương pháp Gi ng d y V t lý và chuyên ngành
V t lý Lý thuy t-V t lý Toán, nó nh m b sung và nâng cao m t s ki n th c
cơ h c lư ng t như các phương pháp tính g n đúng trong cơ h c lư ng t ,
lý thuy t tán x lư ng t , cơ h c lư ng t tương đ i tính,... Các ki n th c
này là cơ s đ h c viên ti p thu các ki n th c v V t lý th ng kê, V t lý
ch t r n, Cơ s lý thuy t trư ng lư ng t ,...
V i m c tiêu như trên, n i dung c a môn h c đư c xây d ng trong 4
chương. Chương I khái quát l i các cơ s c a cơ h c lư ng t (cơ s toán h c,
các tiên đ c a cơ h c lư ng t , nguyên lý b t đ nh Heisenberg, phương trình
Schrõdinger, s bi n đ i theo th i gian c a giá tr trung bình các đ i lư ng
v t lý,...). Chương II trình bày các phương pháp g n đúng đ gi i phương
trình Schrõdinger thư ng đư c s d ng trong cơ h c lư ng t . Chương III
trình bày lý thuy t tán x lư ng t . Chương IV trình bày khái quát cơ h c
lư ng t tương đ i tính, bao g m m t s phương trình cơ b n (Phương trình
Klein-Gordon, phương trình Dirac, phương trình Pauli,...), m t s khái ni m
cơ b n (M t đ xác su t tương đ i tính và m t đ dòng xác su t tương đ i
tính, spin và mômen t c a h t vi mô,...). Ngoài ra, các h c viên cao h c
V t lý Lý thuy t -V t lý Toán còn có 15 ti t đ kh o sát sâu hơn v c u trúc
các tr ng thái nguyên t , lý thuy t lư ng t v b c x , hi u ng Zeemann d
thư ng, các tr ng thái năng lư ng âm, tính b t bi n c a phương trình Dirac.
Đ giúp h c viên n m ch c các ki n th c c a môn h c, s th i gian
dành cho h c viên rèn luy n các k năng v n d ng và gi i các bài t p, xêmine
chi m 1/4 th i lư ng c a môn h c.
- 2
M cl c
1 Cơ s c a cơ h c lư ng t 4
1.1 Cơ s toán h c c a cơ h c lư ng t . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Toán t : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Các phép tính trên toán t . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Hàm riêng, tr riêng và phương trình tr riêng c a toán
t ............................. 6
1.1.4 Toán t t liên h p tuy n tính (toán t hermitic) . . . 6
1.1.5 Các tính ch t c a toán t hermitic . . . . . . . . . . . 8
1.2 Các tiên đ c a cơ h c lư ng t . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Tiên đ 1: Tr ng thái và thông tin . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Tiên đ 2: Các đ i lư ng đ ng l c . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Tiên đ 3: Phép đo các đ i lư ng đ ng l c . . . . . . . 10
1.2.4 Giá tr trung bình c a bi n s đ ng l c . . . . . . . . . 11
1.2.5 Tính h s phân tích ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 S đo đ ng th i hai đ i lư ng v t lý . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 S đo chính xác đ ng th i hai đ i lư ng v t lý . . . . . 12
1.3.2 Phép đo hai đ i lư ng đ ng l c không xác đ nh đ ng
th i. Nguyên lý b t đ nh Heisenberg. . . . . . . . . . . 13
1.4 Phương trình Schrõdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Phương trình Schrõdinger ph thu c th i gian . . . . . 15
1.4.2 M t đ dòng xác su t. S b o toàn s h t . . . . . . . 16
1.4.3 Phương trình Schrõdinger không ph thu c th i gian.
Tr ng thái d ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 S bi n đ i theo th i gian c a các đ i lư ng đ ng l c . . . . . 19
1.5.1 Đ o hàm c a toán t đ ng l c theo th i gian . . . . . 19
2 M t s phương pháp g n đúng trong cơ h c lư ng t 22
2.1 Nhi u lo n d ng trong trư ng h p không suy bi n . . . . . . . 23
2.2 Lý thuy t nhi u lo n d ng trong trư ng h p có suy bi n . . . 26
- 3
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
2.2.1 Lý thuy t nhi u lo n khi có hai m c g n nhau . . . . . 26
2.2.2 Lý thuy t nhi u lo n d ng khi có suy bi n: . . . . . . . 31
2.3 Hi u ng Stark trong nguyên t Hydro . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Nhi u lo n ph thu c th i gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 S chuy n d i lư ng t c a h vi mô sang các tr ng thái m i
dư i nh hư ng c a nhi u lo n . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 Nguyên t Hêli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Phương pháp trư ng t h p Hartree-Fok . . . . . . . . . . . . 48
2.7.1 Nguyên lý bi n phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.2 Phương pháp trư ng t h p Hartree-Fok . . . . . . . . 52
3 Lý thuy t tán x lư ng t 57
3.1 Biên đ tán x và ti t di n tán x . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Ti t di n tán x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.2 Biên đ tán x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.3 Tán x đàn h i c a các h t không có spin . . . . . . . 60
3.2 Tán x đàn h i trong phép g n đúng Born . . . . . . . . . . . 65
3.3 Phương pháp sóng riêng ph n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Cơ h c lư ng t tương đ i tính 74
4.1 Phương trình Klein-Gordon (K-G) . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Phương trình Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 M t đ xác su t và m t đ dòng xác su t trong lý thuy t Dirac 81
4.4 Nghi m c a phương trình Dirac đ i v i h t chuy n đ ng t do 83
4.5 Spin c a h t đư c mô t b ng phương trình Dirac . . . . . . . 85
4.6 Chuy n t phương trình Dirac sang phương trình Pauli. Mô-
men t c a h t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
- 4
Chương 1
Cơ s c a cơ h c lư ng t
1.1 Cơ s toán h c c a cơ h c lư ng t
1.1.1 Toán t :
a) Đ nh nghĩa: Toán t là m t phép toán tác d ng vào m t hàm này thì
bi n đ i thành m t hàm khác.
ˆ
Ta g i A là m t toán t n u
ˆ
Aψ (x) = φ(x). (1.1)
Ví d : Các toán t :
+ Phép nhân v i x2
ˆ
Aψ (x) = x2 ψ (x),
ˆ
trong trư ng h p này A ph thu c bi n s x.
+ Phép l y đ o hàm v i bi n s x:
dψ (x)
ˆ
Aψ (x) =
dx
+ Phép nhân v i m t s ph c C:
ˆ
Aψ (x) = Cψ (x),
ˆ
đây, A không ph thu c vào bi n x và phép l y đ o hàm theo x. Đ c bi t
n u:
ˆ ˆ
C =0 : Aψ (x) = 0, A là toán t không,
ˆ ˆ
C =1 : Aψ (x) = ψ (x), A là toán t đơn v .
+ Phép l y liên hi p ph c:
ˆ
Aψ (x) = ψ ∗ (x).
- 5
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
ˆ
b) Toán t tuy n tính: Toán t A đư c g i là toán t tuy n tính n u nó
tho mãn tính ch t sau:
ˆ ˆ ˆ
A(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 Aψ1 + c2 Aψ2 . (1.2)
Trong h th c trên, ψ1 và ψ2 là hai hàm b t kỳ, c1 và c2 là hai h ng s
b t kỳ.
ˆ
Ví d : A = (d/dx) là toán t tuy n tính vì
d dψ1 dψ2
(c1ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 + c2 .
dx dx dx
Còn toán t l y liên hi p ph c không ph i là toán t tuy n tính vì
ˆ ˆ ˆ
A(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = (c1ψ1 + c2 ψ2 )∗ = c∗ ψ1 + c∗ ψ2 = c∗ Aψ1 + c∗ Aψ2
∗ ∗
1 2 1 2
ˆ ˆ
= c1 Aψ1 + c2 Aψ2 .
1.1.2 Các phép tính trên toán t
ˆˆˆ
Cho ba toán t A, B, C. ta đ nh nghĩa các phép tính toán t sau:
ˆ ˆˆ
a) T ng hai toán t : S đư c g i là t ng c a hai toán t A, B , ký hi u
là
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
S ≡ A+B n u ∀ψ (x), Sψ (x) = Aψ (x) + Bψ (x). (1.3)
ˆ ˆˆ
b) Hi u hai toán t : D đư c g i là hi u hai toán t A, B , ký hi u
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
D ≡ A−B n u ∀ψ (x), Dψ (x) = Aψ (x) − Bψ (x). (1.4)
ˆ ˆˆ ˆ ˆ
c) Tích hai toán t : P ≡ AB là tích c a hai toán t A và B n u
ˆ ˆˆ ˆˆ
P ψ (x) = (AB )ψ (x) = A Bψ (x) . (1.5)
ˆˆ ˆˆ
Tích c a hai toán t nói chung là không giao hoán, nghĩa là AB = B A.
Ch ng h n, cho
d
ˆ ˆ
A= , B=x
dx
thì ta có
d dψ (x)
ˆˆ
ABψ (x) = (xψ (x)) = ψ (x) + x ,
dx dx
còn
dψ (x) dψ (x)
ˆˆ ˆˆ
B Aψ (x) = x = ABψ (x) = ψ (x) + x ,
dx dx
- 6
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
ˆˆ ˆˆ ˆˆ
rõ ràng B A = AB , nên A, B không giao hoán nhau.
ˆ ˆ
N u A = x2 , B = x thì
ˆˆ ˆˆ
ABψ (x) = x3 ψ (x) = B Aψ (x)
ˆˆ
hai toán t A, B giao hoán nhau.
ˆ ˆ ˆˆ
d) Giao hoán t c a hai toán t A và B đư c đ nh nghĩa là [A, B ] ≡
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ
AB − B A. N u A và B giao hoán thì AB = B A, do đó giao hoán t c a
ˆˆ
chúng b ng không, nghĩa là [A, B ] = 0. N u hai toán t không giao hoán thì
ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ
[A, B ] = AB − B A = 0 hay [A, B ] = 0.
1.1.3 Hàm riêng, tr riêng và phương trình tr riêng c a toán t
ˆ ˆ
Xét m t toán t A, khi cho A tác d ng lên m t hàm ψ (x) nào đó, ta có
th thu đư c chính hàm đó nhân v i m t h ng s :
ˆ
Aψ (x) = aψ (x). (1.6)
(1.6) là m t phương trình, d ng c a ψ (x) có th thu đư c t vi c gi i phương
trình trên.
ˆ
Ta b o ψ (x) là hàm riêng v i tr riêng a c a toán t A. Và vi c gi i
phương trình (1.6) có th cho ta bi t các hàm riêng và tr riêng c a toán t
ˆ ˆ
A. N u có s hàm riêng có cùng m t tr riêng a, thì ta b o toán t A có tr
riêng suy bi n b c s. Các tr riêng có th bi n thiên gián đo n ho c liên t c.
Trong cơ h c lư ng t , hàm riêng ph i tho mãn các đi u ki n chu n
sau:
- Hàm ψ (x) ph i t n t i, xác đ nh trên toàn mi n bi n thiên c a các
bi n đ c l p.
- Trong mi n t n t i, hàm ψ (x) và đ o hàm b c nh t c a nó dψ (x)/dx
ph i h u h n, liên t c (tr m t s đi m đ c bi t).
- Hàm ψ (x) ph i xác đ nh đơn tr
1.1.4 Toán t t liên h p tuy n tính (toán t hermitic)
ˆ
Toán t tuy n tính A+ đư c g i là toán t liên h p tuy n tính v i toán
ˆ
t tuy n tính A n u:
∗
ˆ ˆ
∗
A+ ψ1 (x)
∀ψ1 (x), ψ2 (x), ψ1 (x)Aψ2 (x)dx = ψ2(x)dx. (1.7)
V V
- 7
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
ˆ ˆ ˆ
N u A+ = A thì ta b o A là toán t t liên h p tuy n tính, hay toán
t hermitic, nghĩa là:
∗
ˆ ˆ
∗
ψ1 (x)Aψ2(x)dx = Aψ1 (x) ψ2 (x)dx. (1.8)
V V
N u ta đưa ra ký hi u m i v tích vô hư ng hai hàm sóng
∗
ψ1 (x)|ψ2(x) = ψ1 (x)ψ2(x)dx, (1.9)
V
theo đó (1.8) đư c vi t l i như sau:
ˆ ˆ
ψ1 (x)|Aψ2 (x) = Aψ1 (x)|ψ2(x) .
ˆ
Ví d 1: A = (d/dx) có ph i là toán t hermitic không?
Mu n bi t, ta tính
+∞ +∞
dϕ
ˆ ∗
ψ∗
ψ Aϕdx = dx.
dx
−∞ −∞
Đ t u = ψ ∗ , dv = (dϕ/dx).dx, thì
+∞ +∞
dψ ∗
ˆ
ψ Aϕdx = ψ ∗ ϕ|x=+∞ −
∗
ϕ dx,
x=−∞
dx
−∞ −∞
vì các hàm ψ (x), ϕ(x) → 0 khi x → ±∞ nên ψ ∗ ϕ|x=+∞ = 0,
x=−∞
∗
+∞ +∞ +∞ +∞
dψ ∗ dψ ∗
ˆ ˆ
∗
ψ Aϕdx = − ϕ dx = ϕ dx = Aψ ϕdx.
dx dx
−∞ −∞ −∞ −∞
ˆ
V y A = (d/dx) không ph i là toán t hermitic.
ˆ
Ví d 2: A = i(d/dx) có ph i là toán t hermitic không?
Ta có:
∗
+∞ +∞ +∞ +∞
dψ ∗ dψ ∗ dψ
ˆ
∗
ψ Aϕdx = −i ϕ dx = ϕ −i dx = ϕi dx,
dx dx dx
−∞ −∞ −∞ −∞
+∞ +∞ ∗
ˆ ˆ
∗
ψ Aϕdx = Aψ ϕdx.
−∞ −∞
ˆ
V y A = i(d/dx) là toán t hermitic.
- 8
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
1.1.5 Các tính ch t c a toán t hermitic
a) Tr riêng c a toán t hermitic là s th c.
ˆ
Gi thi t toán t hermitic A có tr riêng gián đo n v i phương trình
tr riêng
ˆ
Aψn = anψn .
ˆ ˆ ˆ
Ta có: ψn |Aψn = Aψn |ψn vì A hermitic, nghĩa là:
an ψn |ψn = a∗ ψn |ψn =⇒ (an − a∗ ) ψn |ψn = 0.
n
Vì ψn |ψn = 0 nên an = a∗ : an là s th c.
n
b) Hàm riêng tương ng v i hai tr riêng phân bi t thì tr c giao v i
nhau.
Th c v y, theo đ nh nghĩa c a toán t hermitic thì:
ˆ ˆ
ψ1 |Aψ2 = Aψ1 |ψ2 =⇒ a2 ψ1 |ψ2 = a1 ψ1 |ψ2 , =⇒ (a2 − a1) ψ1 |ψ2 = 0,
vì a2 = a1 nên (a2 − a1) = 0. V y:
ψ1 |ψ2 = 0 : ψ1 , ψ2 tr c giao v i nhau.
ˆ
Tóm l i, n u các hàm riêng c a toán t hermitic A đư c chu n hoá thì
ta có:
Ph tr riêng gián đo n : ψm |ψn = δmn , (1.10)
Ph tr riêng liên t c : ψa |ψa = δ (a − a). (1.11)
Trong đó, δmn , δ (a − a) là các hàm Dirac.
c) Các hàm riêng c a toán t hermitic l p thành m t h hàm cơ s
tr c giao và đ trong không gian Hilbert các hàm sóng, nghĩa là v i m t hàm
sóng b t kỳ ψ (x) trong không gian Hilbert, ta có:
Đ i v i ph tr riêng gián đo n : ψ (x) = cn ψn (x). (1.12)
n
Đ i v i ph tr riêng liên t c : ψ (x) = ca ψa (x)da. (1.13)
a
- 9
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
1.2 Các tiên đ c a cơ h c lư ng t
Trong cơ h c lư ng t , h t không đư c hình dung như là m t ch t đi m
chuy n đ ng theo m t qu đ o xác đ nh mà nó đư c hình dung như là m t
bó sóng đ nh x trong m t mi n c a không gian t i m t th i đi m và bó sóng
thay đ i theo th i gian. T i m t th i đi m ta ch có th nói v xác su t đ
tìm th y h t trong m t ph n t th tích c a không gian, hay nói khác đi là
xác xu t đ to đ c a h t có giá tr n m trong kho ng nào đó. Nói chung
v các bi n s đ ng l c khác cũng v y, ta ch có th nói v xác su t đ m t
bi n s đ ng l c có giá tr n m trong kho ng nào đó ch không th nói v
giá tr xác đ nh c a bi n s đ ng l c t i m t th i đi m như trong cơ h c c
đi n.
Vì có s khác bi t nói trên nên trong cơ h c lư ng t bi n s đ ng l c
không ph i đư c mô t b ng m t s như trong cơ h c c đi n. Chúng ta ph i
tìm m t cách mô t khác th hi n đư c nh ng đ c tính c a các quy lu t
lư ng t . Nh ng nghiên c u v toán t cho th y có th dùng công c toán
h c này đ mô t bi n s đ ng l c trong cơ h c lư ng t . Chúng ta th a nh n
m t s gi thi t v n i dung cách mô t như nh ng tiên đ . Nh ng tiên đ
y không có mâu thu n nhau và cho các k t qu phù h p v i th c nghi m.
1.2.1 Tiên đ 1: Tr ng thái và thông tin
" Tr ng thái v t lý c a m t h lư ng t thì tương ng v i m t hàm sóng
chu n hoá."
Ta ký hi u ψ (x, t) là hàm sóng c a h lư ng t th i đi m t và t i v
trí to đ x ( hay ng v i bi n đ ng l c x).
Hàm sóng đư c chu n hoá khi
ψ (x, t)∗ ψ (x, t)dx = 1.
ψ (x, t)|ψ (x, t) = (1.14)
V
Như v y, ψ (x, t) và cψ (x, t) cùng chung m t tr ng thái n u c∗ c = |c|2 =
1.
1.2.2 Tiên đ 2: Các đ i lư ng đ ng l c
" Tương ng v i m t đ i lư ng đ ng l c A trong cơ h c lư ng t là m t
ˆ
toán t hermitic A."
- 10
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
Vì giá tr b ng s c a bi n đ ng l c là th c nên tr riêng c a toán t
tương ng v i bi n đ ng l c đó ph i th c, do đó toán t tương ng v i bi n
ˆ
đ ng l c ph i hermitic. Toán t A hermitic nên có m t h đ các vectơ riêng
tr c giao chu n hoá {ψi (x, t)} tương ng v i ph các tr riêng th c {ai },
i = 1, 2, ..., n. Theo đó, m t tr ng thái b t kỳ c a h lư ng t s đư c khai
tri n theo các hàm riêng như sau:
n
ψ (x, t) = ci ψi (x, t). (1.15)
i=1
1.2.3 Tiên đ 3: Phép đo các đ i lư ng đ ng l c
N u h lư ng t tr ng thái bi u di n b i hàm sóng ψ (x) thì xác
su t đ khi đo bi n đ ng l c A thu đư c giá tr ai s là |ci |2 = pi . Rõ ràng
n n
| ci | 2 = 1
pi = (1.16)
i=1 i=1
đư c suy t tính ch t tr c giao, chu n hoá c a các hàm riêng.
Như v y phép đo làm nhi u lo n tr ng thái. N u ψ (x) = ψi (x), ta có
ˆ ˆ | c i | 2 = pi = 1 .
Aψ (x) = Aψi (x) = ai ψi (x) v i xác su t
Chú ý r ng theo tiên đ 3 thì
(i) Không th tiên đoán chính xác k t qu phép đo m t đ i
lư ng đ ng l c c a h vi mô có tr ng thái ψ (x) hoàn toàn xác đ nh.
(ii) N u ti n hành hai phép đo riêng bi t nhưng gi ng nhau trên
cùng m t h có tr ng thái ban đ u trư c m i l n đo là ψ (x) hoàn toàn gi ng
nhau thì k t qu hai l n đo này không nh t thi t ph i trùng nhau.
Ta ch p nh n “ tính không tiên đoán đư c ” và tính “ không đ ng nh t ”
c a quá trình đo như là m t thu c tính v n có c a t nhiên.
Trong trư ng h p ph tr riêng liên t c thì
ψ (x) = c(a)ψa (x)da (1.17)
a
và xác su t dW (a) đ đ i lư ng A có giá tr trong kho ng t a đ n a + da là
dW (a) = |c(a)|2da. (1.18)
- 11
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
1.2.4 Giá tr trung bình c a bi n s đ ng l c
ˆ
Xét bi n s đ ng l c A có toán t hermitic tương ng A, tr trung bình
A c a nó tr ng thái ψ (x) ng v i trư ng h p ph tr riêng gián đo n {ai }
n n
ˆ
ai |ci |2 = ψ ∗ (x)Aψ (x)dx
A= pi ai = (1.19)
V
i=1 i=1
vì
ˆ ˆ
ψ ∗ (x)Aψ (x)dx = c∗ ψi (x)Acj ψj (x)dx
∗
i
V V i j
ˆ
c∗ cj ∗
= ψi (x)Aψj (x)dx
i
V
i j
c∗ cj aj ∗
= ψi (x)ψj (x)dx
i
V
i j
c∗ cj aj δij
= i
i j
|ci |2 ai .
=
i
Trư ng h p ph tr riêng liên t c, ta có
|c(a)|2ada
A= adW (a) =
a a
1.2.5 Tính h s phân tích ci
Theo tiên đ 3, mu n tính xác su t đ đo A đư c giá tr ai thì ta ph i
xác đ nh cho đư c h s phân tích ci . Mu n v y, ta nhân lư ng liên hi p ph c
∗
c a hàm riêng ψi (x) là ψi (x) v i hàm sóng ψ (x) r i l y tích phân theo bi n
s x, ta đư c
∗ ∗
ψi (x)ψ (x)dx = ψi (x)ck ψk (x)dx = ck δik = ci , (1.20)
V V
k k
giá tr này c a ci hoàn toàn xác đ nh v i sai kém h ng s nhân.
- 12
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
1.3 S đo đ ng th i hai đ i lư ng v t lý
1.3.1 S đo chính xác đ ng th i hai đ i lư ng v t lý
ˆ
Xét hai bi n s đ ng l c L và M đư c bi u di n b i hai toán t L và
ˆ
M. H tr ng thái đư c bi u di n b i hàm sóng ψ mà đây đ cho đ rư m
rà ta hi u ng m là hàm theo bi n s x. Chúng ta s xét trong đi u ki n nào
hai bi n đ ng l c có th đo đư c chính xác đ ng th i. Theo tiên đ 3, mu n
ˆ
cho bi n đ ng l c L có giá tr xác đ nh thì ψ = ψL,k là hàm riêng c a L ng
v i tr riêng Lk . Nghĩa là
ˆ ˆ
Lψ = LψL,k = Lk ψL,k .
Ta đo đ ng th i đ i lư ng M v i L, t c là lúc h tr ng thái ψ = ψL,k .
ˆ
Mu n cho M cũng có giá tr xác đ nh Mk thì ψ ph i là hàm riêng c a M ,
nghĩa là ψ = ψM,k . Theo đó
ˆ ˆ
Mψ = MψM,k = Mk ψM,k .
ˆ ˆ
Như v y, hai toán t L và M ph i có chung hàm riêng:
ψ = ψL,k = ψM,k .
Đây chính là đi u ki n đ đ ng th i đo đư c chính xác hai đ i lư ng đ ng
l c L và M . Và ta có th rút ra đ nh lý sau:
“ Đi u ki n t có và đ đ hai đ i lư ng đ ng l c đo đư c đ ng th i là
toán t tương ng c a chúng giao hoán v i nhau.”
Chúng ta s ch ng minh đ nh lý này sau đây.
ˆˆ
a) Đi u ki n t có: N u L, M có chung hàm riêng ψk thì hai toán t
ˆˆ
L, M giao hoán đư c v i nhau.
Ta có
ˆˆ ˆˆ ˆ
LMψk = L Mψk = Mk Lψk = Mk Lk ψk ,
ˆˆ ˆˆ ˆ
M Lψk = M Lψk = Lk Mψk = Lk Mk ψk .
Suy ra
ˆˆ ˆˆ
LMψk = M Lψk ,
hay
ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ
LM − M L ψk = 0 =⇒ LM − M L = 0 =⇒ LM = M L.
- 13
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
ˆ ˆ
Rõ ràng L và M giao hoán v i nhau.
a) Đi u ki n đ : N u hai toán t giao hoán thì chúng có chung hàm
riêng.
ˆ
G i ϕ là hàm riêng c a L, nghĩa là
ˆ
Lϕ = Lϕ,
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ
M L ϕ = M Lϕ = M (Lϕ) = L Mϕ .
ˆ ˆ
Vì M và L giao hoán nên
ˆˆ ˆˆ ˆ
M L ϕ = LM ϕ = L Mϕ .
ˆ ˆ
Rõ ràng ψ ≡ Mϕ là m t hàm riêng c a toán t L v i tr riêng L. Như
ˆ
v y, ψ và ϕ đ u là hàm riêng c a L v i cùng tr riêng L. Khi không có suy
bi n thì chúng trùng nhau, nhưng vì hàm riêng c a các toán t hermitic đư c
xác đ ng sai kém nhau m t h ng s nhân nên
ψ = h ng s .ϕ,
ˆ ˆ
hay Mϕ = h ng s .ϕ = M.ϕ, nghĩa là ϕ cũng là hàm riêng c a toán t M .
1.3.2 Phép đo hai đ i lư ng đ ng l c không xác đ nh đ ng th i.
Nguyên lý b t đ nh Heisenberg.
ˆˆ
Trong trư ng h p t ng quát n u hai toán t L, M theo th t bi u di n
hai đ i lư ng đ ng l c L, M không giao hoán đư c v i nhau thì không th
đo đư c chính xác đ ng th i L và M . Bây gi ta xét xem n u đo đ ng th i
hai bi n đ ng l c y thì đ chính xác đ t đ n m c nào.
ˆ ˆ
Do L và M là nh ng toán t hermitic không giao hoán đư c v i nhau
nên
ˆˆ ˆ
L, M = iP , (1.21)
ˆ ˆ
trong đó P là m t toán t hermitic, P = 0.
G i L và M là tr trung bình c a L và M tr ng thái ψ (x). Xét đ
l ch
∆L = L − L; ∆M = M − M (1.22)
Nh ng đ i lư ng này theo th t đư c bi u di n b i các toán t hermitic
ˆ ˆ
∆L = L − L; ∆M = M − M (1.23)
- 14
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
Ta có giao hoán t
ˆ ˆ ˆˆ ˆ
∆L, ∆M = L − L, M − M = L, M = iP . (1.24)
Xét tích phân:
| α∆L − i∆M ϕ|2 dx ≥ 0
I (α) = (1.25)
V
trong đó α là m t thông s th c, tích phân l y trong toàn b mi n bi n thiên
V c a x.
∗
I (α) = (α∆L − i∆M )ϕ (α∆L − i∆M )ϕdx
V
ϕ∗ (α∆L − i∆M )+ (α∆L − i∆M )ϕdx
=
V
+ +
∆M = ∆M , do đó (α∆L − i∆M )+ =
vì tính ch t hermitic, ∆L = ∆L ,
α∆L + i∆M , nên
ϕ∗ α∆L + i∆M )(α∆L − i∆M ϕdx
I (α) =
V
2 2
ϕ∗ α2 ∆L − iα ∆L∆M − ∆M ∆L + ∆M
I (α) = ϕdx
V
2 2
ϕ∗ α2 ∆L − iα ∆L, ∆M + ∆M
I (α) = ϕdx
V
theo (1.24), thì
2 2
ˆ
ϕ∗ α2 ∆L + αP + ∆M ϕdx,
I (α) = suy ra
V
I (α) = α2 ∆L2 + αP + ∆M 2 ≥ 0.
Mu n cho I (α) ≥ 0 thì tam th c b c hai theo α trên ph i có bi t th c
2
∆ = P − 4 ∆L2 ∆M 2 ≤ 0, nghĩa là
2
ˆˆ
L, M
2
P
∆L2 ∆M 2 ∆L2 ∆M 2 ≥
≥ hay . (1.26)
4 4
- 15
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
Đây là công th c cho đ b t đ nh khi đo đ ng th i hai bi n đ ng l c
L và M , nó đư c g i là h th c b t đ nh Heisenberg. Đ t
∆L2, ∆M = ∆M 2 ,
∆L = (1.27)
h th c b t đ nh có th vi t dư i d ng khác
ˆˆ
L, M
P
∆L.∆M ≥ hay , ∆L.∆M ≥ . (1.28)
2 2
ˆˆ
Ví d : N u ch n L = x = x : toán t to đ ,
∂
ˆ
M = px = −i
ˆ : toán t xung lư ng theo phương x.
∂x
thì
[ˆ, px ] = i ,
xˆ
suy ra h th c b t đ nh Heisenberg cho to đ và xung lư ng
∆x.∆px ≥ . (1.29)
2
Như v y ta không th đ ng th i đo chính xác to đ và xung lư ng c a
m t h t vi mô. Sai s m c ph i khi đo tuân theo h th c b t đ nh Heisenberg
(1.29).
Ý nghĩa v t lý: Vi c không đo đư c chính xác đ ng th i to đ và xung
lư ng c a h t vi mô ch ng t r ng nó lư ng tính sóng h t. H t vi mô không
có qu đ o xác đ nh. Đó là m t th c t khách quan do b n ch t c a s v t
ch không ph i vì kh năng hi u bi t s v t c a ta b h n ch ho c máy đo
kém chính xác. Và h th c b t đ nh là bi u th c toán h c c a lư ng tính
sóng h t c a h t vi mô.
1.4 Phương trình Schrõdinger
1.4.1 Phương trình Schrõdinger ph thu c th i gian
Trong cơ h c lư ng t , do lư ng tính sóng h t c a các đ i tư ng vi
mô nên tr ng thái c a h t đư c đ c trưng b i hàm sóng ψ (r, t).Vì v y, c n
có phương trình mô t di n bi n c a hàm tr ng thái theo th i gian. Phương
- 16
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
trình này đư c Schrõdinger đưa ra năm 1926 và đư c g i là phương trình
Schrõdinger ph thu c th i gian
∂ ψ (r, t) ˆ
i = Hψ (r, t), (1.30)
∂t
ˆ
trong đó H là Hamiltonian c a h
2
ˆ ˆˆ 2
H =T +U =− + U (r, t) (1.31)
2m
Đây là phương trình vi phân h ng hai theo không gian và h ng nh t
theo th i gian. V nguyên t c đ tìm nghi m c a phương trình, ta ph i bi t
đư c hàm sóng t i th i đi m t0 (đi u ki n đ u) và bi t đư c hai đi u ki n
biên liên quan đ n to đ ψ (x0 , t0 ) = ψ0 , và dψdx ) x=x0 = ψ0 .
(x,t
1.4.2 M t đ dòng xác su t. S b o toàn s h t
Đ đơn gi n, ta s vi t t t ψ, ψ ∗ theo th t thay cho ψ (r, t), ψ ∗ (r, t).
T phương trình (1.30), ta suy ra phương trình liên hi p ph c c a nó
∂ ψ∗ ˆ ˆ ˆ
= Hψ ∗ H = H+ .
−i (1.32)
∂t
Nhân ψ ∗ cho hai v c a (1.30) v phía trái và nhân ψ cho hai v c a (1.32)
cũng v phía trái r i tr cho nhau v theo v , ta đư c
∂ψ ∗
∗ ∂ψ ˆ ˆ
= ψ ∗ Hψ − ψ Hψ ∗ .
i ψ +ψ (1.33)
∂t ∂t
ˆ ˆ
2 2
+ U và lưu ý (∂/∂t)(ψ ∗ ψ ) = ψ ∗ (∂ψ/∂t)+ ψ (∂ψ ∗/∂t),
Thay H = − /2m
ta có
2
∂
(ψψ ∗ ) = − ψ∗ 2 2
ψ∗ ,
i ψ−ψ (1.34)
∂t 2m
mà
(ψ ∗ ψ − ψ ψ ∗ ) = ψ∗ ψ + ψ∗ 2
ψ ψ∗ − ψ 2
ψ∗,
ψ−
nên ta có th vi t l i (1.34) như sau
∂ i
(ψψ ∗ ) + (ψ ψ ∗ − ψ ∗ ψ ) = 0. (1.35)
∂t 2m
Đt
ρ ≡ ψ ∗ ψ = |ψ |2 (1.36)
- 17
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
là m t đ xác su t tìm th y h t to đ r t i th i đi m t. Và
i
(ψ ψ ∗ − ψ ∗ ψ )
j (r, t) = (1.37)
2m
là vectơ m t đ dòng xác su t. Đ l n c a j (r, t) có ý nghĩa như là dòng h t
trung bình qua m t đơn v di n tích đ t vuông góc v i phương chuy n đ ng
trong m t đơn v th i gian.
Theo đó phương trình (1.35) có d ng c a phương trình liên t c mô t
đ nh lu t b o toàn s h t vi mô:
∂ρ
j+ = 0. (1.38)
∂t
1.4.3 Phương trình Schrõdinger không ph thu c th i gian. Tr ng
thái d ng.
ˆ
Ta xét m t h t vi mô chuy n đ ng trong trư ng th U (r ) không bi n
thiên theo th i gian và do đó có năng lư ng không thay đ i theo th i gian.
G i E là giá tr năng lư ng c a h t và ta ký hi u ψE (r) là hàm sóng ng v i
tr ng thái có năng lư ng E . Ta có th vi t phương trình tr riêng c a năng
lư ng như sau
ˆ
HψE (r) = EψE (r ) (1.39)
ˆ ˆ
v i H = (− 2 /2m) 2 + U (r) nên ta có th vi t (1.39) dư i d ng khác:
2
ˆ
2
− + U (r ) ψE (r) = EψE (r ) (1.40)
2m
Trong trư ng h p này hàm sóng ψE (r, t) = ψE (r).f (t) đư c vi t dư i
ˆ
d ng phân ly bi n s . Theo đó, phương trình Schrõdinger (1.30), v i lưu ý H
không ph thu c tư ng minh vào th i gian t, đư c vi t l i
i ∂f ˆ
∂f HψE (r )
ˆ ∂t
ψE (r )i = f (t)HψE (r ) ⇔ = = E,
∂t f (t) ψE (r)
Như v y, ta có hai phương trình đ c l p
∂f
i = E.f (t), (1.41)
∂t
ˆ
HψE (r ) = E.ψE (r ). (1.42)
- 18
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
Phương trình (1.41) cho ta nghi m
i
f (t) = Ce− Et
. (1.43)
Còn (1.42) chính là phương trình cho ta hàm riêng và tr riêng c a toán t
năng lư ng. Gi s năng lư ng c a h có giá tr gián đo n En , n = 0, 1, 2, ...,
lúc đó ta vi t l i (1.42) như sau
ˆ
Hψn (r) = En .ψn (r). (1.44)
trong đó ψn (r ) là vi t t t c a ψEn (r ). Như v y, nghi m riêng đ y đ c a h t
vi mô ng v i tr ng thái d ng có năng lư ng hoàn toàn xác đ nh En là
i
ψn (r, t) = ψn (r )e− Ent
. (1.45)
Nghi m t ng quát c a phương trình Schrõdinger tr ng thái d ng
trong trư ng h p ph gián đo n
i i
cn e− Ent
Cn (t) ≡ cn e− Ent
ψ (r, t) = ψn (r ) = Cn (t)ψn(r ), vi .
n n
(1.46)
Trư ng h p ph tr riêng liên t c, hàm sóng có d ng
i i
cE e− Et
CE (t) ≡ cE e− Et
ψ (r, t) = ψE (r )dE = CE (t)ψE (r )dE, vi .
(1.47)
Các h s cn , cE có th đư c xác đ nh t đi u ki n đ u.
Nói tóm l i, m t h lư ng t tr ng thái d ng có các tính ch t sau:
a) Hàm sóng ph thu c th i gian c a tr ng thái d ng xác đ nh đơn tr
b i giá tr năng lư ng c a tr ng thái đó.
b) tr ng thái d ng, m t đ xác su t và m t đ dòng xác su t không
ph thu c vào th i gian.
c) tr ng thái d ng, tr trung bình c a m t đ i lư ng đ ng l c có
toán t tương ng không ph thu c rõ r t vào th i gian thì không đ i theo
th i gian.
d) Xác su t đo giá tr c a m t đ i lư ng đ ng l c tr ng thái d ng
không ph thu c th i gian.
Nghi m c a phương trình Schrõdinger không ph thu c th i gian có
các tính ch t cơ b n sau:
a) Hàm ψ (r, t) ph i đơn tr .
- 19
Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t
b) Hàm ψ (r, t) ph i liên t c. Trong trư ng h p th năng U (r ) gián
đo n thì hàm sóng ψ (r, t) và đ o hàm c a nó v n liên t c t i nh ng đi m
gián đo n đó. Tuy nhiên, nh ng mi n mà th năng U → ∞ thì hàm sóng
và đ o hàm c a nó gián đo n.
c) N u th năng U không ti n đ n vô cùng thì hàm sóng ψ (r ) ph i h u
h n trong toàn b không gian. Đi u này cũng đư c tho mãn trong trư ng
h p U → ∞ t i m t đi m nào đó nhưng không quá nhanh (U ∼ r1s , s ≤ 2).
1.5 S bi n đ i theo th i gian c a các đ i lư ng đ ng
lc
1.5.1 Đ o hàm c a toán t đ ng l c theo th i gian
Ta có tr trung bình c a m t đ i lư ng đ ng l c L tr ng thái ψ (x)
ˆ
ψ ∗ (x)Lψ (x)dx,
L= (1.48)
trong đó x bao g m t t c các bi n s kh dĩ và ψ (x) đã đư c chu n hoá.
ˆ
Toán t L có th ph thu c th i gian nên L cũng có th ph thu c th i gian.
Ta tính đ o hàm c a tr trung bình L theo th i gian
ˆ ∂ ψ ∗ (x) ˆ
dL ∂L ˆ ∂ψ (x) dx. (1.49)
∗
ψ ∗ (x)L
= ψ (x) ψ (x)dx + Lψ (x)dx +
dt ∂t ∂t ∂t
Lưu ý r ng, theo phương trình Schrõdinger (1.30), ta có
∂ψ ∗ (x)
∂ψ (x) iˆ iˆ
= Hψ ∗ (x),
= − Hψ (x) và (1.50)
∂t ∂t
do đó phương trình (1.49) có th vi t l i
ˆ
dL ∂L iˆ ∗ iˆ
ˆ ˆ
∗
ψ ∗ (x)L − Hψ (x) dx,
= ψ (x) ψ (x)dx+ Hψ (x) Lψ (x)dx+
dt ∂t
ˆ
dL ∂L i ∗
ˆ ˆ ˆˆ
ψ ∗ (x) ψ ∗ (x)LHψ (x)dx ,
= ψ (x)dx + Hψ (x) Lψ (x)dx −
dt ∂t
ˆ
dL ∂L i ˆˆ ˆˆ
ψ ∗ (x) ψ (x)dx + ψ ∗ (x) H L − LH ψ (x)dx ,
=
dt ∂t
nguon tai.lieu . vn
