Xem mẫu
- Giải PT-BPT-HPT bằng phương pháp hàm số
A. LÝ THUYẾT
Định lí 1: Nếu hàm số luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm
của pt trên D : không nhiều hơn một và khi và chỉ khi với mọi
.
Chứng minh:
Giả sử phương trình có nghiệm , tức là . Do f đồng biến nên
* suy ra nên pt vô nghiệm
* suy ra nên pt vô nghiệm
Vậy pt có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:
* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: . Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa
phương trình về dạng hoặc ( trong đó ) và ta
chứng minh được là hàm luôn đồng biến (nghịch biến)
Nếu là pt: thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: ta có ngay giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất
nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số luôn ngb (hoặc
luôn đb)và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử là một nghiệm của pt: , tức là .Ta giả sử f đồng biến
còn g nghịch biến.
*Nếu suy ra dẫn đến pt vô nghiệm khi
.
*Nếu suy ra dẫn đến pt vô nghiệm khi
. Vậy pt có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp pt và ta có thể biến đổi về dạng , trong đó f và g
khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Định lí 3: Cho hàm số có đạo hàm đến cấp n và pt có m nghiệm, khi
đó pt có nhiều nhất là m+1 nghiệm.
Định lí 4: Nếu hàm số luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục trên D
thì ( )
B. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
.
.
- .
.
Giải:
1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ
gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm
đồng biến và là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được là
nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau.
ĐK:
Xét hàm số , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và
nên hàm số f(x) luôn đồng biến.
Mặt khác, ta thấy f(1)=4
*Nếu suy ra nên pt vô nghiệm
*Nếu suy ra nên pt vô nghiệm
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Chú ý:
* vì các hàm số với là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến
thì hàm ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng
nhận ra VT của pt là hàm đồng biến.
* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn
nhận giá trị là số chính phương.
2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp
khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm đồng biến và
pt có nghiệm . Do đó pt này có nghiệm duy nhất ( Các giải tương tự như bài 1)
3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy
nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ
là và , do vậy nếu đặt thì
phương trình đã cho trở thành:
, trong đó là một hàm liên
tục và có :
nên f(t) luôn đồng biến. Do đó:
Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2.
4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:
, do vậy nếu đặt
, khi đó phương trình trở
thành:
- , trong đó với
t>0 . Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy
.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
.
.
Giải:
1) Ta thấy pt có hai nghiệm và . Ta chứng minh phương trình đã cho có không
quá hai nghiệm. Để có điều này ta cần chứng minh hàm số
có có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến
g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luôn đúng vì
(vì khi đó theo đ/l 3 suy ra
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .
2) Đk: .
, trong đó là
hàm liên tục và đồng biến.
Do đó:
Xét hàm số , ta có:
, suy ra pt có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn
đến pt có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy và là hai nghiệm của pt
nên phương trình đã cho có hai nghiệm và .
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất
.
Giải:
Để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo
cách sau
* Chứng minh phương trình luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần
chứng chứng minh liên tục trên D và tồn tại hai số sao cho
* Tiếp theo ta chứng minh là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Trở lại bài toán:
Xét hàm số .Ta có là hàm liên tục trên R và
, dẫn đến pt luôn có nghiệm Giả sử là nghiệm của phương trình
, khi đó . Từ đây ta suy ra được
. Do vậy ta chỉ cần khảo sát với Ta có
nên là hàm đồng biến. Vậy
phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm thì chúng ta không thể có được là hàm
đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ vào
- bản thân của phương trình. *Để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
trên D ta còn có cách khác đó là khảo sát hàm trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng
biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm chỉ cắt Ox tại một điểm.
Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng toán về
phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó hi vong các
em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những dạng phương trình
nào có thể dùng đồng biến, nghịch biến . Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương
trình.
Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:
.
.
Giải:
1) ĐK: .
Xét hàm số Ta dễ dàng chứng minh được là hàm
nghịch biến và .
Do đó Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của Bpt là:
.
2) ĐK: .
Xét hàm số , ta có
suy ra là hàm đồng biến
Mặt khác:
Do vậy Bpt
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là
B. Nội dung phương pháp
I. Phương pháp lượng giác hoá
1. Nếu th“ ta có thể đặt hoặc
Ví dụ 1 :
Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh đã cho trở thành :
- )( )=0
Kết hợp với điều kiện của t suy ra :
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
Ví dụ 2 :
Lời giải : ĐK :
Khi đó VP > 0 .
Nếu
Nếu .
Đặt , với ta có :
)( )=0
Vậy nghiệm của phương tr“nh là
Ví dụ 3 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
phương tr“nh đã cho trở thành :
Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất
Ví dụ 4 (TC THTT):
HD :
- Nếu : phương tr“nh không xác định .
Chú ý với ta có :
vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với
Đặt
khi đó phương tr“nh đã cho trở thành :
2. Nếu th“ ta có thể đặt :
Ví dụ 5 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
Phương tr“nh đã cho trở thành :
kết hợp với điều kiện của t suy ra
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
TQ :
Ví dụ 6 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
phương tr“nh đã cho trở thành :
- (thỏa mãn)
TQ :
với a,b là các hằng số cho trước3. Đặt để đưa về phương tr“nh
lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 : (1)
Lời giải :
Do không là nghiệm của phương tr“nh nên :
(1) (2)
Đặt .
Khi đó (2) trở thành :
Suy ra (1) có 3 nghiệm :
Ví dụ 8 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
phương tr“nh đã cho trở thành :
Kết hợp với điều kiện suy ra :
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
- 4. Mặc định điều kiện : . sau khi t“m được số nghiệm chính là số nghiệm
tối đa của phương tr“nh và kết luận :
Ví dụ 9 :
Lời giải :
phương tr“nh đã cho tương đương với :
(1)
Đặt :
(1) trở thành :
:Leftrightarrow
Suy ra (1) có tập nghiệm :
Vậy nghiệm của phương tr“nh đã cho có tập nghiệm chính là S II. Phương pháp dùng ẩn phụ
không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương
tr“nh đã cho :
Đưa phương tr“nh về dạng sau :
khi đó :
Đặt . Phương trình viết thành :
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương tr“nh sau khi đã
đơn giản hóa và kết luận :
Ví dụ 10 : (1)
lời giải : ĐK :
Đặt
Lúc đó :
(1)
Phương tr“nh trở thành :
Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được :
Do nên không thỏa điều kiện .
- Với th“ :
( thỏa mãn điều kiên
Ví dụ 11 :
Lời giải : ĐK :
Đặt .
phương trình đã cho trở thành :
* Với , ta có :
(vô nghiệm v“ : )
* Với , ta có :
Do không là nghiệm của phương tr“nh nên :
Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn)
TQ : Ví dụ 12 :
Lời giải :
Đặt .
Phương tr“nh đã cho viết thành :
Từ đó ta tìm được hoặc
Giải ra được : .
* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này
và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để
giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để
làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .
ví dụ 13 :
- Lời giải : ĐK :
Đặt .
phương trình đã cho trở thành :
Giải ra : hoặc (loại)
* ta có :
Vậy là các nghiệm của phương tr“nh đã cho .
ví dụ 14 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
Phương tr“nh đã cho trở thành :
Phương tr“nh trên đã khá đơn giản !!!!!!! III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 : (1)
Lời giải : ĐK : .
Đặt .
phương tr“nh (1) trở thành :
(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt để đưa về dạng :
TQ :
Với a là hắng số cho trước .
Ví dụ 16 : (1)
Lời giải : ĐK :
Viết lại (1) dưới dạng :
(2)
- Đặt .
Khi đó (2) trở thành :
Do vậy hoặc
* . Ta có :
* . Ta có :
Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm :
Ví dụ 17 :
Lời giải : ĐK : (1)
Đặt (2) .
phương tr“nh đã cho trở thành :
(3)
Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :
Ví dụ 18 :
Lời giải : ĐK : (1)
Đặt
Khi đó : .
phương tr“nh đã cho trở thành :
V“ nên :
t^2 + t - 1003 < 0
Do đó phương tr“nh tương đương với :
Do vậy (thỏa (1)) 2. Dùng 2 ẩn phụ .
- Ví dụ 9 :
Lời giải :
Đặt
*
*
Ví dụ 20 : (1)
Lời giải : ĐK : hoặc (*)
Đặt ta có :
(1) trở thành :
(Do )
T“m x ta giải :
(Thỏa (*))
Vậy (1) có 2 nghiệm :
Ví dụ 21 :
Lời giải : ĐK :
Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới :
(2)
Đặt và
Th“ :
(2)
* ta có :
* ta có :
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn :
- Ví dụ 22 :
lời giải : ĐK :
Đặt :
Từ phương tr“nh ta được :
( Do )
từ đó ta giải ra được các nghiệm :
3. Dùng 3 ẩn phụ .
Ví dụ 23 :
Lời giải :
Đặt ta có :
(1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có :
Nên :
:Leftrightarrow
từ đó dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương tr“nh :
Ví dụ 24 : (1)
Lời giải :
Đặt
Suy ra :
khi đó từ (1) ta có :
:Leftrightarrow
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương tr“nh :
III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25 :
Lời giải :ĐK :
Đặt . Ta có :
- TQ :
b. Dùng 2 ẩn phụ .
* ND :
* Cách giải :
Đặt :
Như vậy ta có hệ :
Ví dụ 26 : (1)
Lời giải : ĐK :
Đặt
Khi đó :
(1) :Leftrightarrow
(Do hệ : : vô nghiệm )
hoặc
Đến đây chỉ việc thay vào để t“m nghiệm của phương tr“nh ban đầu .
Ví dụ 27 :
Lời giải : ĐK :
Đặt :
Với :
(*)
Như vậy ta được hệ :
- Giải (1) :
(1)
( )
Vậy thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương tr“nh đã cho .
Ví dụ 28 :
Lời giải :
Đặt :
(2)
(1)
2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1 :
CG : Đặt ta có hệ :
Ví dụ 29 :
Lời giải :
Đặt : ta có :
:Rightarrow
:Leftrightarrow
:Leftrightarrow
:Leftrightarrow
(1) :Leftrightarrow :Leftrightarrow
(2) :Leftrightarrow : Vô nghiệm .
Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là :
- Dạng 2 :
CG : ĐẶt
PT :Leftrightarrow
Ví dụ 30 :
Lời giải : ĐK :
Đặt : (1)
PT :Leftrightarrow
Lấy (3) trừ (2) ta được :
:Leftrightarrow
:Leftrightarrow
(1) :Leftrightarrow
:Leftrightarrow (Do )
Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :
Ví dụ 31 :
Lời giải : ĐK :
Đặt .
Chọn a, b để hệ :
( ) (*)
là hệ đối xứng .
Lấy ta được hệ :
:Leftrightarrow
Giải hệ trên ta được :
Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương tr“nh là :
Dạng 4 :
Nội dung phương pháp :
Cho phương tr“nh :
Với các hệ số thỏa mãn :
Cách giải :
- Đặt
Ví dụ 32 :
Lời giải : ĐK :
PT :Leftrightarrow
- Kiểm tra :
Đặt :
:Leftrightarrow
:Leftrightarrow
:Leftrightarrow (1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .
Ví dụ 33 :
Lời giải :
PT :Leftrightarrow
- Kiểm tra :
Đặt :
:Leftrightarrow
:Leftrightarrow (1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
Ví dụ 34 :
Lời giải :
PT :Leftrightarrow
:Leftrightarrow
- - Kiểm tra :
Đặt :
:Leftrightarrow
:Leftrightarrow
:Leftrightarrow (1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!!
nguon tai.lieu . vn
