Giải bài tập Phương pháp quy nạp toán học SGK Đại số và giải tích 11

Dưới đây là phần hướng dẫn giải bài tập được trích ra từ tài liệu Giải bài tập Phương pháp quy nạp toán học SGK Đại số và giải tích 11, mời các em cùng tham khảo. Ngoài ra, các em có thể xem lại bài tập Giải bài tập Xác suất và biến cố SGK Đại số và giải tích 11

A. Tóm tắt lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

1. Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n ∈ N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:

Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1.

Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Khi đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề P(n) đùng với mọi n ∈ N*

2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề P(n) lf đúng vơi mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì:

– Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = p.

Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên tuy không phải là chứng minh nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giá thuyết và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.

Một số bài toán thường gặp

– Chứng minh các mệnh đề toán học liên quan đến lập luận lôgic.

– Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức.

– Dự đoán kết quả và chứng minh.

B. Giải bài tập sách giáo khoa bài phương pháp quy nạp toán học – Sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 trang 82,83

Bài 1 Phương pháp quy nạp toán học trang 82 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức:

a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng
(3+1) / 2 = 2

Vậy VT = VP hệ thức a) đúng với n = 1.

Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là 

Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: 

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n ∈ N*

b) Với n = 1, vế trái bằng 1/2, vế phải bằng 1/2, do đó hệ thức đúng.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức b) đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

 (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ∈ N*

c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1) / 6 = 1 nên hệ thức c) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là 

Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi n ∈ N*

Bài 2 Phương pháp quy nạp toán học trang 82 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

b) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9;

c) n³ + 11n chia hết cho 6.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:

a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có S_k = (k³ + 3k² + 5k) ⋮ 3

Ta phải chứng minh rằng S_k+1 ⋮ 3

Thật vậy S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= k³ + 3k² + 5k + 3k² + 9k + 9 hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì S_k⋮3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3) ⋮3 nên S_k+1 ⋮ 3.

Vậy (n³ + 3n² + 5n) ⋮ 3 với mọi n ∈ N* .

b) Đặt S_n = 4n + 15n – 1

Với n = 1, S₁ = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S₁ ⋮9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì S_k= 4k + 15k – 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh S_k+1 ⋮ 9.

Thật vậy, ta có: S_k+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1

= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 9 nên 4S₁ ⋮ 9, mặt khác 9(5k – 2) ⋮ 9, nên S_k+1 ⋮ 9

Vậy (4n + 15n – 1) ⋮ 9 với mọi n ∈ N*

c) Đặt S_n = n3 + 11n

Với n = 1, ta có S₁ = 13 + 11n = 12 nên S₁ ⋮ 6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có S_k = k3 + 11k ⋮ 6

Ta phải chứng minh S_k+1 ⋮ 6

Thật vậy, ta có S_k+1 = (k + 1)³ + 11(k + 1) = k³ + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k³ + 11k) + 3(k² + k + 4) = S_k + 3(k² + k + 4)

THeo giả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 6, mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k² + k + 4) ⋮ 6, do đó S_k+1 ⋮ 6

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N*

Bài 3 Phương pháp quy nạp toán học trang 82 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3n > 3n + 1; b) 2n + 1 > 2n + 3

Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:

a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

3k > 3k + 1 (1)

Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:

3k + 1 > 9k + 3 ⇔ 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.

Vì 6k – 1 > 0 nên

3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.

tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

2k + 1 > 2k + 3 (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh

2k + 2 > 2(k + 1) + 3 <=> 2k + 2 > 2k + 5

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:

2k + 2 > 4k + 6 ⇔ 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.

Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5

Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

Bài 4 Phương pháp quy nạp toán học trang 83 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Cho tổng  với n ∈ N*

a) Tính S₁, S₂, S_3.

b) Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:

a) Ta có:

b) Từ câu a) ta dự đoán Sn=n/(n+1) (1), với mọi n ∈ N* .

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi n = 1, vế trái là S1 =1/2, vế phải bằng 1/(1+1)=1/2. Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = ≥ 1, tức là 
Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh 
Ta có 

tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.