Xem mẫu
Ch›‹ng 3.
Sù héi tô cña kú väng ®iÒu kiÖn vµ martingale trong ®¹i sè von neumann
3.1 Kœ väng cª fiiÒu kiÖn trong fi„i sŁ von Neumann
Nh¾c l„i, trong lý thuyÕt x‚c su˚t cæ fiiÓn, kœ väng cª fiiÒu kiÖn cæa mØt biÕn ngÉu nhi“n kh¶ tÝch ξ (tr“n kh«ng gian x‚c su˚t (Ω,F,P)) fiŁi víi mØt σ - tr›Œng con G ⊂ F fi›îc fiÞnh nghÜa nh› lµ mØt biÕn ngÉu nhi“n G− fio fi›îc E(ξ|G) cho bºi:
E(ξ|G)dP = ξdP, víi mäi A ∈ G. (3.1) A A
Cho A = L∞(Ω,F,P) vµ B = L∞(Ω,G,P). Khi fiª B lµ mØt fi„i sŁ von Neumann con cæa A vµ kœ väng cª fiiÒu kiÖn chØ xem x—t fiŁi víi c‚c hµm bÞ ch˘n, nh› lµ ‚nh x„ tuyÕn tÝnh d›‹ng EG : A → B cª c‚c tÝnh ch˚t:
EG1 = 1 (Hµm fiång nh˚t)
(3.2)
τP(fg) = τP(EG(f)g) víi mäi f ∈ A;g ∈ B,
víi τP lµ mØt tr„ng th‚i chu¨n chÝnh x‚c tr“n A cho bºi tÝch ph`n:
τ(f) = fdP. Ω
C«ng thłc nµy phï hîp víi sø tæng qu‚t hªa l“n fi„i sŁ von-Neumann.
3.1.1. §Þnh nghÜa.
Cho φ lµ mØt tr„ng th‚i chu¨n chÝnh x‚c trong fi„i sŁ von Neumann A vµ B lµ mØt fi„i sŁ von Neumann con cæa A. MØt ‚nh x„ tuyÕn tÝnh:
31
EB : A → B sao cho:
a)EB1 = 1 (3.3)
b)φ(yxz) = φ(yEB(x)z), víi mäi y,z ∈ B,x ∈ A,
fi›îc gäi lµ mØt kœ väng fiiÒu kiÖn cæa A l“n B fiŁi víi φ.
3.1.2. MÖnh fiÒ. Kœ väng fiiÒu kiÖn cª c‚c tÝnh ch˚t sau: 1o)EB(yxz) = y(EBx)z, víi mäi x ∈ A;y,z ∈ B, fi˘c biÖt:
1oo)EB lòy fi…ng trong B
2o)(EBx)∗(EBx) = EB(x∗x), víi x ∈ A, fi˘c biÖt: 2oo)EB d›‹ng
3o)EB lµ chÝnh x‚c 4o)EB lµ chu¨n.
Chłng minh.
Tr›íc ti“n ta sˇ chłng tÆ E d›‹ng. Th¸t v¸y, v× φ lµ chÝnh x‚c vµ chu¨n n“n gi¶ sö r»ng A t‚c fiØng trong kh«ng gian biÓu diÔn cyclic (GNS) Hφ cæa nª víi c‚c ph˙n tö cyclic t‚ch ξ, trong fiª φ(x) = (xξ,ξ). Khi fiª, víi y ∈ B,x ∈ A, ta cª (3.3) : (E(x∗x)yξ,yξ) = (y∗x∗xyξ,ξ) 0. Tı {yξ,y ∈ B} lµ t¸p trï m¸t trong L2(B,φ), suy ra E(x∗x) 0, víi mäi x ∈ A. MØt c‚ch t›‹ng tø, ta chłng minh 1o, b¾t fi˙u tı fi…ng thłc:
φ(u∗yxzu) = φ(u∗E(yxz)u) = φ(u∗yE(x)zu), víi u,y,z ∈ B,x ∈ A
§iÒu kiÖn 2o dÔ dµng suy ra tı:
E(x −Ex)∗(x −Ex) 0 (tÝnh d›‹ng cæa E fi›îc chłng minh)
vµ:
E((Ex)∗x) = (Ex)∗Ex,
E(x∗(Ex)) = (Ex∗)Ex = (Ex)∗Ex,
E((Ex)∗Ex) = (Ex)∗Ex.
3o fi›îc suy ra trøc tiÕp tı tÝnh chÝnh x‚c cæa φ. Th¸t v¸y, cho x 0;
32
NÕu Ex = 0 th×:
0 = φ(Ex) = φ(x), suy ra x = 0.
TiÕp theo, ta chłng minh E lµ chu¨n. Cho xα lµ t¸p bÞ ch˘n t¤ng c‚c
ph˙n tö d›‹ng cæa A, tłc lµ: 0 xα ↑ supxα. Khi fiª: E(xα) ↑ supE(xα), vµ α
v× E d›‹ng n“n suy ra supE(xα) E(supxα). H‹n n÷a, tı φ lµ chu¨n n“n α α
ta cª:
φsupE(xα) = supφE(xα) = supφ(xα) = φsupxα = φE(supxα). α α α α α
Do ޻:
φsupE(xα) = φE(supxα). α α
Ho˘c:
φsupE(xα)−E(supxα) = 0. α α
Do φ lµ chÝnh x‚c n“n ta cª:
supE(xα) = E(supxα). α α
Chłng minh fi›îc hoµn thµnh.
Chó ý r»ng, tı kÕt qu¶ cæa Tomiyama, mäi ph—p chiÕu chu¨n b»ng 1 cæa C∗ - fi„i sŁ l“n C∗ - fi„i sŁ con cæa nª lµ d›‹ng vµ cª c‚c tÝnh ch˚t 1o,2o cæa MÖnh fiÒ 3.1.2.
3.1.3. Nh¸n x—t
MØt fiiÒu r˚t quan träng, ng›îc víi tr›Œng hîp cæ fiiÓn lµ, kœ väng fiiÒu kiÖn cæa fi„i sŁ von Neumann A l“n fi„i sŁ von Neumann B cæa nª cª thÓ kh«ng tån t„i. Theo kÕt qu¶ cæa Takesaki [8], kœ väng fiiÒu kiÖn EB tån t„i nÕu vµ chØ nÕu fi„i sŁ B lµ b˚t biÕn fiŁi víi nhªm tø fi…ng c˚u modular σφ li“n kÕt víi φ (fiÞnh nghÜa cæa nhªm σφ cª thÓ xem trong phô lôc).
33
KÕt qu¶ cæa Takesaki lµ v« cïng quan träng, nh›ng ta kh«ng sö dông nª. Trong ph˙n tiÕp theo, chóng ta sˇ th¶o lu¸n vÒ lý thuyÕt martingale hØi tô, vµ fiÓ fi‹n gi¶n, ta gi¶ sö víi fi„i sŁ ta x—t, coi nh› kœ väng fiiÒu kiÖn tån t„i.
3.1.4. VÝ dô.
(1). Cho A = L∞(Ω,F,P) (tr“n kh«ng gian x‚c su˚t (Ω,F,P)). Khi fiª, c‚c fi„i sŁ von Neumann con B cæa A còng chÝnh lµ fi„i sŁ con cª d„ng L∞(Ω,G,P) víi G lµ σ− tr›Œng con cæa F. H˙u nh› hiÓn nhi“n r»ng, kœ väng fiiÒu kiÖn EB (theo nghÜa cæa §Þnh nghÜa 3.1.1) lu«n tån t„i vµ chÝnh lµ kœ väng fiiÒu kiÖn cæ fiiÓn E(.G) víi mØt σ− tr›Œng con thÝch hîp.
(2). Víi mçi fi„i sŁ von Neumann A cª mØt tr„ng th‚i chu¨n chÝnh x‚c φ, fi˘t E(x) = φ(x)1. T˚t nhi“n, E lµ kœ väng fiiÒu kiÖn l“n fi„i sŁ cæa c‚c bØi sŁ (v« h›íng) cæa ph˙n tö fi‹n vÞ.
(3). Cho H lµ kh«ng gian Hilbert h÷u h„n chiÒu cïng víi vÕt chu¨n hªa τ tr“n B(H) (fi„i sŁ cæa t˚t c¶ c‚c to‚n tö tuyÕn tÝnh bÞ ch˘n trong
H). Cho {pk} lµ mØt d•y c‚c ph—p chiÕu trøc giao t›‹ng hç trong H, víi
k=1 pk = 1.
§˘t:
N
Ex = pkxpk
k=1
Chóng ta sˇ chØ ra r»ng, E lµ kœ väng fiiÒu kiÖn cæa B(H) l“n {pk} (ho‚n t¸p) fiŁi víi τ.
Th¸t v`y, hiÓn nhi“n E1 = 1. Tı tÝnh trøc giao cæa pk, ta cª pk(Ex) = (Ex)pk n“n E lµ tı B(H) l“n {pk}. H‹n n÷a, ta cª:
τ(Ex) = τ( pkxpk) = τ(xpk) = τ( xpk) = τ(x),
víi mäi x ∈ B(H)
k k k
34
Do fiª, víi y,z ∈ {pk} vµ x ∈ B(H) th×:
τy(Ex)z = τy(pkxpk)z = τ(pkyxzpk) = τE(yxz) = τ(yxz). k k
KÕt thóc chłng minh.
Trong tr›Œng hîp pk = ek (ph—p chiÕu l“n kh«ng gian con x‚c fiÞnh bºi ek), k = 1,...,n = dim(H) vµ B(H) nh› lµ fi„i sŁ cæa c‚c ma tr¸n phłc c˚p n víi c‹ sº {ek}. Khi fiª, E lµ ‚nh x„ thay thÕ ma tr¸n bºi ph˙n fi›Œng ch—o cæa nª, tłc lµ: E : (aij) → (bij), víi bij = aijδij (δij lµ ký hiÖu Kronecker).
(4). Cho φ lµ mØt tr„ng th‚i chu¨n chÝnh x‚c tr“n A. Ký hiÖu Hφ = L2(A,φ) lµ fi˙y fiæ cæa A víi chu¨n x → φ(x∗x)1 . Ta cª thÓ fiång nh˚t A nh› lµ t¸p con cæa Hφ vµ A trï m¸t trong Hφ. Cho E lµ kœ väng cª fiiÒu
kiÖn cæa A l“n fi„i sŁ von Neumann con B cæa nª. Khi fiª, cª thÓ th‚c triÓn E thµnh ph—p chiÕu trøc giao ∼ trong Hφ. ChÝnh x‚c h‹n, ký hiÖu
L2(B,φ) lµ fi˙y fiæ cæa B víi chu¨n x → φ(x∗x)1 , ta cª L2(B,φ) lµ kh«ng gian con tuyÕn tÝnh fiªng cæa L2(A,φ) vµ ∼ lµ mØt ph—p chiÕu trøc giao cæa L2(A,φ) l“n L2(B,φ). Th¸t v¸y, tı MÖnh fiÒ 3.1.2 φ(Ex)∗(Ex) φ(x∗x) n“n ta cª thÓ th‚c triÓn E nh› lµ ph—p co ∼ trong L2(A,φ). §Ó chłng minh ∼ lµ mØt ph—p chiÕu trøc giao, ta x—t x ∈ A, khi fiª, víi y ∈ B, ta
cª:
φy∗(x −Ex) = φ(y∗x)−φ(y∗Ex) = 0.
Tı fiª, víi x ∈ L2(A,φ) ta cª (x −Ex) ⊥ L2(B,φ), n“n víi x ∈ L2(A,φ), c«ng thłc x = (x −Ex)+Ex lµ mØt khai triÓn trøc giao cæa x fiŁi víi L2(B,φ).
(5). Cho mØt fi„i sŁ von Neumann A víi mØt vÕt chu¨n chÝnh x‚c τ vµ B lµ mØt fi„i sŁ von Neumann con cæa A. Khi fiª, tån t„i mØt kœ väng cª fiiÒu kiÖn EB : A → B mµ cª thÓ mº rØng thµnh mØt ‚nh x„ chÝnh x‚c tuyÕn tÝnh d›‹ng E tı L1(A,τ) l“n L1(B,τ) cª chu¨n 1 sao cho:
E(Ex)y = Ex(Ey), (∗)
35
...
- tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn