Ebook Khám phá tư duy kỹ thuật giải bất đẳng thức - Bài toán Min-Max

ÑAËNG THAØNH NAM (Trung taâm Nghieân cöùu vaø phaùt trieån saûn phaåm giaùo duïc Newstudy.vn) SOAÏN THEO CAÁU TRUÙC MÔÙI AÙP DUÏNG KÌ THI THPT QUOÁC GIA (PHIEÂN BAÛN MÔÙI NHAÁT) Daønh cho hoïc sinh 10, 11, 12 naâng cao kieán thöùc. Boài döôõng hoïc sinh gioûi luyeän thi Quoác Gia. NHAØ XUAÁT BAÛN ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA HAØ NOÄI MUÏC LUÏC Chöông 1: Baát ñaúng thöùc vaø caùc kyõ thuaät cô baûn Chuû ñeà 1. Kyõ thuaät bieán ñoåi töông ñöông ..............................................04 Chuû ñeà 2. Kyõ thuaät minh phaûn chöùng....................................................45 Chuû ñeà 3. Kyõ thuaät quy naïp toaùn hoïc.....................................................56 Chuû ñeà 4. Kyõ thuaät mieàn giaù trò .............................................................60 Chuû ñeà 5. Kyõ thuaät söû duïng nguyeân lí Diricle .......................................68 Chuû ñeà 6. Kyõ thuaät tam thöùc baäc hai .....................................................73 Chuû ñeà 7. Kyõ thuaät ñaùnh giaù baát ñaúng thöùc tích phaân .........................93 Chöông 2: Baát ñaúng thöùc vaø phöông phaùp tieáp caän Chuû ñeà 1. Caùc kyõ thuaät söû suïng baát ñaúng thöùc AM-GM cô baûn..........102 Chuû ñeà 2. Kyõ thuatä ghepù capë trong chönù g minh ñanú g thöcù AM-GM.............198 Chuû ñeà 3. Kyõ thuatä söû dunï g batá ñanú g thöcù AM-GM danï g conä g mauã soá ........211 Chuû ñeà 4. Kyõ thuaät söû duïng baát ñaúng thöùc Cauchy-Schwarz..............218 Chuû ñeà 5. Kyõ thuaät söû duïng baát ñaúng thöùc Cauchy-Schwarz daïng phaân thöùc................................................................................243 Chuû ñeà 6. Kyõ thuaät tham soá hoùa...........................................................278 Chuû ñeà 7. Baát ñaúng thöùc Holder vaø öùng duïng......................................291 Chuû ñeà 8. Kyõ thuaät söû duïng baát ñaúng thöùc Chebyshev.......................304 Chuû ñeà 9. Baát ñaúng thöùc Bernoulli vaø öùng duïng..................................314 Chöông 3: Phöông trình haøm soá trong giaûi toaùn baát ñaúng thöùc vaø cöïc trò Chuû ñeà 1. Kyõ thuaät söû duïng tính ñôn ñieäu vôùi baøi toaùn cöïc trò vaø baát ñaúng thöùc moät bieán soá.........................................................325 Chuû ñeà 2. Kyõ thuaät söû duïng tính ñôn ñieäu cho baøi toaùn cöïc trò vaø baát ñaúng thöùc hai bieán soá ..........................................................351 Chuû ñeà 3. Kyõ thuaät söû duïng tính ñôn ñieäu cho baøi toaùn cöïc trò vaø baát ñaúng thöùc ba bieán soá............................................................379 Chuû ñeà 4. Kyõ thuaät söû duïng tính thuaàn nhaát.......................................427 Chuû ñeà 5. Kyõ thuaät söû duïng baát ñaúng thöùc tieáp tuyeán ........................484 Chuû ñeà 6. Kyõ thuaät khaûo saùt haøm nhieàu bieán......................................502 Chuû ñeà 7. Kyõ thuaät söû duïng tính chaát cuûa nhò thöùc baäc nhaát vaø tam thöùc baäc hai..........................................................................534 Chuû ñeà 8. Batá ñanú g thöcù phuï ñanâ g chuù yù vaø apù dunï g giaiû ñeà thi tuyenå sinh ..540 Chuû ñeà 9. Baøi toaùn choïn loïc baát ñaúng thöùc vaø cöïc trò ba bieán............617 Chöông 4: Soá phöông phaùp chöùng minh baát ñaúng thöùc khaùc Chuû ñeà 1. Kyõ thuaät löôïng giaùc hoùa.......................................................654 Chuû ñeà 2. Kyõ thuaät söû duïng baát ñaúng thöùc Schur................................684 Chuû ñeà 3. Kyõ thuaät doàn bieán.................................................................694 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Chương 1: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC KỸ THUẬT CƠ BẢN KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Định nghĩa bất đẳng thức Giả sử A và B là hai biểu thức bằng chữ hoặc bằng số. + A≥ B (hoặc B ≤ A), A≤ B (hoặc B ≥ A)được gọi là các bất đẳng thức. + A≥ B ⇔ A− B ≥ 0;A− B ≥ 0 ⇔ A≥ B. + Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai và ta quy ước khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là bất đẳng thức đúng. II. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức ∀a∈;a ≥ a .  a ≤b b ≤ c ∀a,b,m∈;a ≤b⇒ a ± m ≤b± m. c ≤ d ⇒ a +c ≤b+ d . a ≥b+c ⇔ a −c ≥b. ma ≤ mb khi m >0 ma ≥ mb khi m < 0  a ≤ b khi m >0 ∀a,b,∈+;a ≤b ⇔  . m ≥ m khi m < 0 Nếu a >b > 0⇒ 1 < 1 . ∀a,b,c,d ∈+;a ≥ c ⇒ ab ≥ cd . a ≥b ≥ 0⇒ an ≥bn ,∀n∈.  a b x > y > 0;a >1⇒ ax > ay . 0< a <1⇒ a < a a >b⇒ a2n+1 >b2n+1;2n+1 a > 2n+1b,∀n∈. 3 Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài toán Max – Min – Đặng Thành Nam 1. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối − a ≤ a ≤ a ,∀a∈.  a <α ⇔ −α < a <α(khi α > 0).  a >α ⇔ a < −α(khi α > 0).  a − b ≤ a +b ≤ a + b ,(∀a,b∈). 2. Bất đẳng thức liên quan đến hàm số mũ và logarit x >1 ⇒ ax > ay;0< y<1⇒ ax < ay . x >1 > 0⇒ loga x > loga y;0< y<1 ⇒ loga x < loga y . 3. Bất đẳng thức AM – GM Cho n số thực không âm a ,a2,...,an ta có a + a2 +...+ an ≥ n a a2...an . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = a2 =...= an . 4. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cho 2 dãy số thực (a ,a2,...,an );(b ,b2,...,bn )ta có (a b + a2b2 +...+ anbn )2 ≤(a2 + a2 +...+ a2 )(b2 +b2 +...+b2 ). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ai = kb ,i =1,n,k∈. CHỦ ĐỀ 1: KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Xuất phát từ bất đẳng thức cơ bản và hết sức tự nhiên x2 ≥ 0;A− B ≥ 0với mọi số thực x ta có các bất đẳng thức hết sức đẹp mắt. Nội dung chủ đề này đề cập đến kỹ năng biến đổi bất đẳng thức về dạng luôn đúng. Các bài toán đề cập đến là các bài toán trong chủ đề này các bạn chú ý sẽ được sử dụng đến trong các chủ đề khác ở các chương sau như một bài toán phụ. A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP I. Các bất đẳng thức cơ bản Bình phương của một số thực Với mọi số thực x ta luôn có x2 ≥ 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 . Từ đó ta có các bất đẳng thức với 2 biến và 3 biến thường sử dụng như sau: (a −b)2 ≥ 0hay a2 +b2 ≥ 2ab. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b . 4 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt (a −b)2 +(b−c)2 +(c−a)2 ≥ 0 hay a2 +b2 +c2 ≥ ab+bc +ca hoặc (a +b+c)2 ≥3(ab+bc+ca) hoặc 3(a2 +b2 +c2 )≥(a +b+c)2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b = c . Bất đẳng thức về trị tuyệt đối Với 2 số thực x,y ta luôn có x + y ≥ x + y . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy ≥ 0. Với 2 số thực x,y ta luôn có x − y ≥ x − y . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x(x − y)≥ 0. Bất đẳng thức về độ dài cạnh của một tam giác a +b > c;b+c > a;c + a >b. a > b−c ;b > c−a ;c > a −b . a2 +b2 +c2 < 2(ab+bc+ca). II. Một số hằng đẳng thức cần lưu ý a3 +b3 +c3 −3abc =(a +b+c) a2 +b2 +c2 −ab−bc −ca . (a +b+c)3 = a3 +b3 +c3 +3(a +b)(b+c)(c+ a). (a +b)(b+c)(c + a)=(a +b+c)(ab+bc +ca)−abc .   a −b b−c c−a (a −b)(b−c)(c−a) c a b abc a −b b−c c−a a −b b−c c−a a +b b+c a +c a +b b+c c+ a 1) Kỹ thuật biến dùng định nghĩa Để chứng minh bất đẳng thức: A≥ B. Ta chứng minh bất đẳng thức A− B ≥ 0 đúng. x2 + y2 2 Ví dụ 1. Cho x > y và xy = 1. Chứng minh rằng . x − y Lời giải Ta có x2 + y2 =(x − y)2 + 2xy =(x − y)2 + 2 (vì xy = 1) ⇒ (x2 + y2 )2 =(x − y)4 + 4.(x − y)2 + 4 . Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với (x − y)4 + 4(x − y)2 + 4≥8.(x − y)2 5 ... - tailieumienphi.vn