Xem mẫu
Chương 3
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÊN TÍNH
§ ỉ. Hệ phương trình Cramer
A. Tóm tắt lý thuyết và các ví dụ mẫu
ĐỊnh nghĩa: Hẹ phương trình Cramer là hẹ phương trình gổm n phương trình n ẩn có dạng:
(1)
a„|X, + + - + an„x„ = K
với định thức của ma trận hẹ sđ khác 0, tức là det(A) * 0, ở đỉy
an an
A = lll a22
V“ nl a n2
Phương pháp ma trận
V í b`ì |det(A)*0 <2> với x = , B =
A , VI det(A) * 0 => 3A"1, nên hệ có nghiệm duy nhất:
X = A~`B. (3)
Vídụ I. Giải hệ sau bằng phưong pháp ma trận | 3x - 2y + z = 4
2x + 3 y - z = 1
-x+ y +3z = -3
Giải: Hệ ưên được viết ở dạng ma trận AX = B,với: `3 - 2 r / X\ ` 4 `
A = 2 3 - 1 , x = y , B= 1
-1 1 3, -3, 3 - 2 1
Ta có det A = 2 3 - 1 = 45 *0 nền hệ trên là hẹCramer. - 1 1 3
( ị
Ma trận nghịch đảo cùa ma trận A là: A~` =
-L _-L)
ị9 9
_ x45 1 45 /
Áp dụng công thức (3) ta có:
` 1 45 . 45 9 x= y =A-`B= - ị ị i 1 = - ị .
Vậy nghiệm duy nhất cùa hệ là Ị^x=— , y = z = j.
Phương pháp định thúc (Quy tác Cramer)
Định lý: Hẹ Cramer (1) có nghiệm duy nhát dược xác định bởi còng thức:
(4)
trong dó:
d - là định thức của ma trân hệ số;
dỊ (j = l,2,...,n) là định thức nhạn dược từ định thức d khi thay cọt
thứ j bằng cột hệ số tự do.
VI dụ 2: Giải hệ sau bằng quy tấc Cramer 3x -2 y + z = 4
2x + 3y - 2 <= 1 —X+ y +3z = -3
Giải:
`3 -2 1 ` 3 -2 1
Ta có A = 2 3 -! ,d = |A | = 2 3 -I =45*0 nen hệ
-1 1 3, -1 1 3 trên là hệ Cramer.
Theo quy tốc Cramer ta có íx*»^1-, y d z - - 1 ] với:
4 -2 1 3 4 1 3 - 2 4
d,= 1 3 -1 = 50,(1,= 2 1 -3 1 3 -1 -3
-1 = -25,d,= 2 3 1 -20.
3 -1 1 -3
Vậy nghiệm duy nhất của hç phương trình đã cho 1A:
( 10 5 _ 4^ [ X = T ’ y= 9 ’ z= 9}
B. Bài tập L Để bài
Giải các hệ sau bầng phucnig phápma trậnvà quy tấc Qamer
X +y + 2z = -1
1. • 2x-y+ 2z =-4 4x + y+4z =-2
3x + 8y +20z =31 9x —4y + 5z =10
15 +4y+10z =29
3x +2y+ 2 = 5 2. 2x + 3y+ z = 1
2x+ y +3z =11
45x + 26y + 16z = 0 4. 30x + 65y + 48l = 0
45x + 52y +32r = 0
3x + y -2z = 6 6x +3y-7z =16 15x+2y+ z =16
X, + Xj + 2 x , + 3 x 4 = 1
3x, - Xj - X, - 2 x 4 * - 4
2x, + 3 X j - Xj - x4 = - 6
X, + 2 x j + 3 x , - x 4 = - 4
8.
20x + 3 2 y + 4 z = 8 1 8 x - 1 2 y + 36z =-42
24x+ I2y -12z =-«0
X, + 3 x 2 + 5 x , + 7 x4 =12
3 x , + 5 x , + 7 x , + * 4 = 0
5x,+7x, + X, +3x4 =4
7 x ,+ X, + 3 * , + 5 x4 =16
X, + 2 x j + 3 x j + 4 x 4 = 5
2 x ,+ Xj + 2 x ,+ 3 x 4 = 1 3x, + 2 x , + X, +2xt = 1
4 x , + 3 x 2 + 2 x , + x 4 = - 5
10.
X, + 2 x j + 3 x , - 2 x 4 = 6
2x, - Xj - 2 x , - 3 x 4 = 8
3x, + 2X j - X, +2x, = 4
2 x , - 3 x , + 2 x , + x4 = - 8
6x,+9xj+33x, + 15x4 = 6 7x,+7x,+35x, + 14x« = 7
8 x ,+ 4 x ,+ 1 2 x ,+ 8 x < = - 1 2 9 ,+9xj+27 ,+36x4 =-27
30x, +40x, + 5x, +10x< + 15 = 0
2 4x,+40x2+ 1 2 x,+ 2 0 x<+ 24 = 0
24x, +32Xj+ 2Xj +10X« +16 =0
18x, +30Xj + 9Xj +21x4 + 24 = 0
2x, + Xj + X, + X, + Xj = 2 X, +2Xj+ X, + x4 + Xj = 0 X, + X, +3x, + x4 + Xj = 3
X, + Xj + X, + 4x, + Xj = - 2 X, + Xj + X, + x4 +5Xj = 5
X, +2Xj+3x,+4x4+5Xj =13 2x,+ x, +2x,+3xJ +4xJ =10
14. ■|2x,+2x,+X, +2x4 + 3x, =11 2x, +2Xj +2x, + x4 +2xs = 6 2x,+2x,+ 2 X j + 2 x 4 + Xj =3
n. Đáps¿
I. (x = l, y = 2, z = -2).
3. (x = l, y = 1, z = l).
5. (x = l, y = 1, z = -l).
2. (x = 2, y = -2,z = 3).
4. (x = 0, y = 0, 2=0).
6. (x = -3, y = 2, z = l).
, ( _ n
7 ,r ễ 17,X î=
53 _ 4 _ 77i 5 l’ X î_5 r X‘ = 5 l)
o f _ 17 _ 15 _ 9 _25`1
9. (x, = - 2 , X, = 2 , X, = - 3 , x 4 = 3 ).
f.. 5 _ 7 7 9i N `h 8,x’ 4,x’ s’ x‘ 4}
II. (x, = -2, Xj = 0, X, = 1, X, = -1).
12. (x,= l, x,= -1, x,= l, x4= -l).
13. ( X, = -3, Xj = -5, X, = -1, x4= - j , X, = y ji.
14. (Xj = Of *2 = 2, X, = —2, x4=0, Xj = 3).
...
- tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn