- Trang Chủ
- Toán học
- Ebook Bài tập toán cao cấp (Tập 1: Đại số tuyến tính và Hình học giải tích) - Nguyễn Thủy Thanh
Xem mẫu
- Bài tập toán cao cấp
Tập 1
Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr.
Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình
tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
- ˜ ’
ˆ
NGUYEN THUY THANH
` ˆ
BAI TAP
.
´
´ ˆ
TOAN CAO CAP
Tˆp 1
a
.
´
´
Dai sˆ tuyˆn t´
.o e ınh
’ ıch
v` H` hoc giai t´
a ınh .
´ ´
’
` ˆ ˆ ` ˆ
NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI
. . .
H` Nˆi – 2006
ao .
- Muc luc
. .
L`.i n´i dˆu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
oo` a 4
1 Sˆ ph´.c
´u
o 6
1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . .
-. ´
ıa o u . . . . . . . . 6
1.2 Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . .
´ ´
.o’ o u . . . . . . . . 8
.
’ ˜ ınh .
1.3 Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen
e e o a . . . . . . . . 13
1.4 Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c
’ ˜ou
e´
e o. a . . . . . . . . 23
.
2 Da th´.c v` h`m h˜.u ty
- ’
u aa u 44
.c . . . . . . . . . . . . . . . . .
-
2.1 Da th´u . . . . . . . . . 44
2.1.1 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ ph´.c C
- ´
u e o ou . . . . . . . . . 45
2.1.2 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ thu.c R
- ´
u e o o. . . . . . . . . . 46
.c h˜.u ty . . . . . . . . . . . .
2.2 Phˆn th´ u ’
a u . . . . . . . . . 55
3 Ma trˆn. Dinh th´.c
-.
a u 66
.
3.1 Ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . .
a ..... . . . . . 67
.
-.
3.1.1 Dinh ngh˜ ma trˆn . . . . . .
ıa a ..... . . . . . 67
.
´
3.1.2 C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn
a e a e ınh e ma trˆn
a . . . . . 69
.
3.1.3 Ph´p nhˆn c´c ma trˆn . . . .
e aa a ..... . . . . . 71
.
’
3.1.4 Ph´p chuyˆn vi ma trˆn . . .
e e. a ..... . . . . . 72
.
- .nh th´.c . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Di u ..... . . . . . 85
´
3.2.1 Nghich thˆ . . . . . . . . . . .
e ..... . . . . . 85
.
.c . . . . . . . . . . .
-.
3.2.2 Dinh th´ u ..... . . . . . 85
3.2.3 T´ chˆt cua d.nh th´.c . . .
´
ınh a ’ i u ..... . . . . . 88
- 2 MUC LUC
. .
3.2.4 Phu.o.ng ph´p t´ dinh th´.c . . . . . .
a ınh . u . . . . . 89
’
3.3 Hang cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . 109
. .
- inh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 D. ı . . . . . 109
.o.ng ph´p t` hang cua ma trˆn .
’
3.3.2 Phu a ım . a . . . . . 109
.
’o . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Ma trˆn nghich da
a . . . . . 118
. .
-.
3.4.1 Dinh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . .
ı . . . . . 118
.o.ng ph´p t` ma trˆn nghich dao ’
3.4.2 Phu a ım a . . . . . 119
. .
4 Hˆ phu.o.ng tr` ´
e ınh tuyˆn t´
e ınh 132
.
4.1 Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c
’
e ınh o a o. u kh´c
a 0. . . . 132
.
4.1.1 Phu.o.ng ph´p ma trˆn . . . . . .
a a ... .. . . . 133
.
.o.ng ph´p Cramer . . . . . .
4.1.2 Phu a ... .. . . . 134
.o.ng ph´p Gauss . . . . . . .
4.1.3 Phu a ... .. . . . 134
4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ . .
´
eu ´a ınh e ınh ... .. . . . 143
.
4.3 Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt .
´ ` ´
e ınh e ınh a a ... .. . . . 165
.
n
5 Khˆng gian Euclide R
o 177
5.1 Dinh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co.
-. ` aooa e .´
ıa o e .
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
’`
ban vˆ vecto
e 177
5.2 Co. so.. Dˆi co. so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
’ -o ’ ’ 188
5.3 Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn . . . . . .
’
’.
o a 201
’
´o ´
5.4 Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e e ınh 213
-i
5.4.1 D.nh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 213
a’
5.4.2 Ma trˆn cua ph´p bdtt . . . . . . . . . . . . . .
e 213
.
5.4.3 C´c ph´p to´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a e a 215
. riˆng v` gi´ tri riˆng . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Vecto e aa.e 216
6 Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung d ˆ nhˆn dang d u.`.ng
’
a a´ e a o
. . . .
v` m˘t bˆc hai
aaa 236
. .
6.1 Dang to`n phu.o.ng . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . 236
.
6.1.1 Phu.o.ng ph´p Lagrange . . .
a . . . . . . . . . . . 237
6.1.2 Phu.o.ng ph´p Jacobi . . . .
a . . . . . . . . . . . 241
- MUC LUC 3
. .
6.1.3 Phu.o.ng ph´p biˆn d ˆi tru.c giao . . . . . . . . . 244
’
´
a eo.
.a phu.o.ng tr` tˆng qu´t cua du.`.ng bˆc hai v` m˘t
- ’ a’
6.2 Du ınh o o a aa
. .
´
` dang ch´ t˘c . . . . . . . . . . . . . . . . 263
bˆc hai vˆ .
a e ınh a
.
- L`.i n´i dˆu
oo` a
Gi´o tr` B`i tˆp to´n cao cˆp n`y du.o.c biˆn soan theo Chu.o.ng
´
a ınh a a a aa e
. . .
tr` To´n cao cˆp cho sinh viˆn c´c ng`nh Khoa hoc Tu. nhiˆn cua
´ e’
ınh a a ea a . .
Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi v` d˜ du.o.c Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi thˆng
´ ´
o a o aa o ao o
.. . . .. .
qua v` ban h`nh.
a a
Muc d´ cua gi´o tr` l` gi´p d˜. sinh viˆn c´c ng`nh Khoa hoc
. ıch ’ a ınh a u o ea a .
. nhiˆn n˘m v˜.ng v` vˆn dung du.o.c c´c phu.o.ng ph´p giai to´n cao
e´ ’
Tu a u aa .a a a
. . .
´
´ .´ u’
cˆp. Muc tiˆu n`y quyˆt dinh to`n bˆ cˆu tr´c cua gi´o tr`nh. Trong
a ea e. a oa a ı
.
˜ i muc, dˆu tiˆn ch´ng tˆi tr`nh b`y t´m t˘t nh˜.ng co. so. l´ thuyˆt
´ ´
.` ’y
mˆ o a e u oı ao a u e
.ng cˆng th´.c cˆn thiˆt. Tiˆp d´, trong phˆn C´c v´ du
´ ´
u` `
v` liˆt kˆ nh˜
ae e u o a e eo a a ı.
.
ch´ng tˆi quan tˆm d˘c biˆt t´.i viˆc giai c´c b`i to´n mˆ u b˘ng c´ch ˜a
a`
’aaa
u o a a eo e a
. . .
´n th´.c l´ thuyˆt d˜ tr` b`y. Sau c`ng, l` phˆn B`i
´ a ınh a a`
vˆn dung c´c kiˆ
a a e uy e u a a
. .
’. dˆy, c´c b`i tˆp du.o.c gˆp th`nh t`.ng nh´m theo t`.ng chu d` ’ˆ
tˆp. O a
a a aa .o a u o u e
. . .
v` du.o.c s˘p xˆp theo th´. tu. t˘ng dˆn vˆ dˆ kh´ v` mˆ i nh´m d` u
` `o oa ˜
.´e ´
a a u.a a e. o o ˆ
e
.ng chı dˆ n vˆ phu.o.ng ph´p giai. Ch´ng tˆi hy vong r˘ng viˆc
˜` `
’a e ’
c´ nh˜
ou a u o a e
. .
.i l`.i giai chi tiˆt trong phˆn C´c v´ du s˜ gi´p ngu.`.i hoc
´ `
’
l`m quen v´ o
a o e a a ı.eu o.
n˘m du.o.c c´c phu.o.ng ph´p giai to´n co. ban.
´ ’ ’
a .a a a
Gi´o tr`nh B`i tˆp n`y c´ thˆ su. dung du.´.i su. hu.´.ng dˆ n cua
’ ˜
aa a o e’ . ’
a ı o. o a
.
gi´o viˆn ho˘c tu. m` nghiˆn c´.u v` c´c b`i tˆp d` u c´ d´p sˆ, mˆt
´.
a e a . ınh e u ıa a a ˆ oa o o.e
.
.´.c khi giai c´c b`i tˆp n`y d˜ c´ phˆn C´c v´ du
˜ ’ a aa a ao `
´
oo ’a a
sˆ c´ chı dˆ n v` tru o a a ı.
.
tr` b`y nh˜.ng chı dˆ n vˆ m˘t phu.o.ng ph´p giai to´n.
˜e.
’a ` a ’
ınh a u a a
T´c gia gi´o tr` chˆn th`nh cam o.n c´c thˆy gi´o: TS. Lˆ D`nh
`
’a ’
a ınh a a a a a eı
˜ ´
a a. y’ ’ ao
Ph`ng v` PGS. TS. Nguyˆn Minh Tuˆn d˜ doc k˜ ban thao v` d´ng
u a e
- Co. so. l´ thuyˆt h`m biˆn ph´.c
´ ´
’y ea e u 5
´
`´e ya `a e´
g´p nhiˆu y kiˆn qu´ b´u vˆ cˆu tr´c v` nˆi dung v` d˜ g´p y cho t´c
o e u ao aao´ a
.
.ng thiˆu s´t cua ban thao gi´o tr`
´
’` u eo’ ’ ’
gia vˆ nh˜
e a ınh.
M´.i xuˆt ban lˆn dˆu, Gi´o tr`nh kh´ tr´nh khoi sai s´t. Ch´ng
a’``
´ ’
o aa a ı oa o u
tˆi rˆt chˆn th`nh mong du.o.c ban doc vui l`ng chı bao cho nh˜.ng
´ ’’
oa a a o u
. . .
’ gi´o tr` ng`y du.o.c ho`n thiˆn ho.n.
´ ´
eo’
thiˆu s´t cua cuˆn s´ch dˆ a
oa e ınh a a e
. .
H` Nˆi, M`a thu 2004
ao u
.
’
T´c gia
a
- Chu.o.ng 1
Sˆ ph´.c
´
o u
Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . .
-. ´u
1.1 ıa o 6
Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . .
´ ´
.o’
1.2 o u 8
.
’ ˜
1.3 Biˆu diˆ n h`
e e ınh hoc. Mˆd un v` acgumen . 13
o a
.
Biˆu diˆ n sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c . 23
’ ˜ ´
1.4 e e o u o a
. .
Dinh ngh˜ sˆ ph´.c
-. ´u
1.1 ıa o
Mˆ i c˘p sˆ thu.c c´ th´. tu. (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o.c goi l` mˆt sˆ
˜.´ .´
oa o . o u. .aoo
.
ph´.c nˆu trˆn tˆp ho.p c´c c˘p d´ quan hˆ b˘ng nhau, ph´p cˆng v`
´ .`
ue ea aao ea eo a
. . . .
.o.c du.a v`o theo c´c dinh ngh˜a sau dˆy:
ph´p nhˆn du .
e a a a. ı a
.`
(I) Quan hˆ b˘ng nhau
ea
a = a ,
1 2
(a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒
b1 = b2.
(II) Ph´p cˆng
eo .
- 1.1. D. nh ngh˜ sˆ ph´.c
-i ´
ıa o u 7
def
(a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ).1
(III) Ph´p nhˆn
e a
def
(a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1 b2 + a2b1 ).
Tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c k´ hiˆu l` C. Ph´p cˆng (II) v` ph´p nhˆn
´
a.ou .yea eo ae a
. . .
.p, liˆn hˆ v´.i nhau bo.i
´
´ ’
(III) trong C c´ t´ chˆt giao ho´n, kˆt ho
o ınh a a e. e eo .
luˆt phˆn bˆ v` moi phˆn tu. = (0, 0) d` u c´ phˆn tu. nghich dao.
` ˆo`
´ ’ ’ ’
a a oa . a e a
. .
Tˆp ho.p C lˆp th`nh mˆt tru.`.ng (goi l` tru.`.ng sˆ ph´.c) v´.i phˆn `
´
a a a o o .a o ou o a
. . . .
. khˆng l` c˘p (0; 0) v` phˆn tu. do.n vi l` c˘p (1; 0). Ap dung quy
´
a`
’ a’
tu o aa .aa
. . .
´c (III) ta c´: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆu k´ hiˆu i = (0, 1) th`
´ye
t˘
a o e ı
.
i2 = −1
Dˆi v´.i c´c c˘p dang d˘c biˆt (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v` (III) ta
´
ooaa a e a
. . . .
c´
o
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0),
(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).
T`. d´ vˆ m˘t dai sˆ c´c c˘p dang (a, 0), a ∈ R khˆng c´ g` kh´c biˆt
uo` a . oa a ´
e. o oı a e
. . .
.i sˆ thu.c R: v` ch´ng du.o.c cˆng v` nhˆn nhu. nh˜.ng sˆ thu.c. Do
o´ ´
v´ o . ıu .o aa u o.
.
.i sˆ thu.c a:
’o
vˆy ta c´ thˆ d` ng nhˆt c´c c˘p dang (a; 0) v´ o .
´ o´
a o eˆ aaa
. . .
(a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R.
D˘c biˆt l` (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1.
a ea
. .
Dˆi v´.i sˆ ph´.c z = (a, b):
´ ´
ooo u
1+ Sˆ thu.c a du.o.c goi l` phˆn thu.c a = Re z , sˆ thu.c b goi l` phˆn
. .a ` .a `
´ ´
o. a o. a
.
’ ay e a
ao v` k´ hiˆu l` b = Im z .
.
2 Sˆ ph´.c z = (a, −b) goi l` sˆ ph´.c liˆn ho.p v´.i sˆ ph´.c z
+ ´ ´ ´
ou . ao u e . oo u
def. l` c´ch viˆt t˘t cua t`. tiˆng Anh definition (dinh ngh˜
1 ´´ ´
ea’ue
aa ıa)
.
- Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c
´
8 ou
Dang dai sˆ cua sˆ ph´.c
´ ´u
.o’
1.2 o
.
Moi sˆ ph´.c z = (a; b) ∈ C d` u c´ thˆ viˆt du.´.i dang
’´
´
.ou ˆoee
e o.
z = a + ib. (1.1)
Thˆt vˆy, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib
aa
..
’u th´.c (1.1) goi l` dang dai sˆ cua sˆ ph´.c z = (a, b). T`. (1.1)
´ ´
.o’ o u
Biˆ
e u .a. u
.c liˆn ho.p ta c´ z = a − ib.
´
v` dinh ngh˜ sˆ ph´ e .
a. ıa o u o
Du.´.i dang dai sˆ c´c ph´p t´nh trˆn tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c thu.c
´ ´
o. . oa eı ea .ou
. . .
´
hiˆn theo c´c quy t˘c sau.
e a a
.
Gia su. z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´
’’ o
(I) Ph´p cˆng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2 ).
eo .
(II) Ph´p nhˆn: z1z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 ).
e a
z2 a1 a2 + b1b2 a1b2 − a2 b1
(III) Ph´p chia:
e = +i 2 ·
2 2
a1 + b2
z1 a1 + b1 1
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. 1+ T´ in . T`. d´ ch´.ng minh r˘ng
`
ı. ınh uo u a
a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0;
b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1.
2+ T` sˆ nguyˆn n nˆu:
´
´
ım o e e
a) (1 + i)n = (1 − i)n ;
1+i n 1−i n
b) √ +√ = 0.
2 2
Giai. 1+ Ta c´ i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v`
’ o a
.a b˘t dˆu l˘p lai. Ta kh´i qu´t h´a. Gia su. n ∈ Z v`
´a.
u a`a. ’’
gi´ tri l˜y th`
a .u a ao a
n = 4k + r, r ∈ Z, 0 r 3. Khi d´ o
i n = i 4k + r = i 4 k · i r = ( i 4 ) k i r = i r
- 1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c
´ ´
.o’ o u 9
.
(v` i4 = i). T`. d´, theo kˆt qua trˆn ta c´
´ ’e
ı uo e o
1 ´
nˆu n = 4k,
e
i ´
nˆu n = 4k + 1,
e
in = (1.2)
−1 nˆu n = 4k + 2,
´
e
´
−i nˆu n = 4k + 3.
e
T`. (1.2) dˆ d`ng suy ra a) v` b).
˜a
u e a
. hˆ th´.c (1 + i)n = (1 − i)n suy ra
+
2 a) T` e u
u.
1+i n
= 1.
1−i
1+i 1+i n
Nhu.ng = in = 1 ⇒ n = 4k , k ∈ Z.
= i nˆn
e
1−i 1−i
1+i n 1−i n 1+i n
b) T`. d˘ng th´.c √
’ `
+√
ua u = 0 suy r˘ng
a = −1
1−i
2 2
v` do d´ in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z.
a o
V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng nˆu n l` bˆi cua 3 th`
` ´ ao ’
ı. u a e ı
.
√ √
−1 + i 3 n −1 − i 3 n
+ =2
2 2
´ ´
v` nˆu n khˆng chia hˆt cho 3 th`
ae o e ı
√ √
−1 + i 3 −1 − i 3
n n
+ = −1.
2 2
Giai. 1+ Nˆu n = 3m th`
´
’ e ı
√ √
−1 + i 3 3 m −1 − i 3 3 m
S= +
2√ 2
√ √ √
−1 + 3i 3 + 9 − 3i 3 m −1 − 3i 3 + 9 + 3i 3 m
= +
8 8
m m
= 1 + 1 = 2.
- Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c
´
10 ou
2+ Nˆu n = 3m + 1 th`
´
e ı
√ √ √ √
−1 + i 3 3 m −1 + i 3 −1 − i 3 1−i 3
3m
S= +
2 2 2 2
√ √
−1 + i 3 −1 − i 3
= + = −1.
2 2
Tu.o.ng tu. nˆu n = 3m + 2 ta c˜ng c´ S = −1.
´
.e u o
V´ du 3. T´ biˆu th´.c
’
ı. ınh e u
22 2n
1+i 1+i 1+i 1+i
2
σ = 1+ 1+ 1+ ··· 1 + .
2 2 2 2
1+i
Giai. Nhˆn v` chia biˆu th´.c d˜ cho v´.i 1 −
’
’ aa e ua o ta c´
o
2
1 + i 2n 1 + i 2n+1
2
1− 1−
2 2
σ= = ·
1+i 1+i
1− 1−
2 2
` ınh
Ta cˆn t´
a
n
i2
2n+1 2 2n 2n
1+i 1+i i 1
= = = 2n = 2n ·
2 2 2 2 2
Do d´
o
1 1
1− 2 1 − 2n 1+i
2n
2 2
σ= = ×
1+i 1−i 1+i
1−
2
1
= 1 − 2n (1 + i)
2
√
V´ du 4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c 4 − 3i du.´.i dang dai sˆ.
’ ˜ou
e´ ´
ı. e o. .o
Giai. Theo dinh ngh˜a ta cˆn t` sˆ ph´.c w sao cho w2 = 4 − 3i.
` ım o u´
’ ı a
.
´
Nˆu w = a + bi, a, b ∈ R th`
e ı
4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi.
- 1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c
´ ´
.o’ o u 11
.
T`. d´
uo
a2 − b2 = 4, (1.3)
2ab = −3. (1.4)
3
T`. (1.4) ta c´ b = − . Thˆ v`o (1.3) ta thu du.o.c
´
u o ea .
2a
4u2 − 16u − 9 = 0, u = a2
√
8 + 100 8 + 10 18 9
u1 = = = =,
4 4 4 2
⇐⇒ √
8 − 100 8 − 10 1
u2 = = =− ·
4 4 2
9
V` a ∈ R nˆn u
ı e 0⇒u= v` do vˆy
a a
.
2
3 1
a = ±√ ⇒ b = √·
2 2
T`. d´ ta thu du.o.c
uo .
3 1
w1,2 = ± √ − √ i
2 2
V´ du 5. Biˆu diˆn sˆ ph´.c
’ ˜ou
e´
ı. e
√ √
5 + 12i − 5 − 12i
z=√ √
5 + 12i + 5 − 12i
√ √
v´.i diˆu kiˆn l` c´c phˆn thu.c cua 5 + 12i v` 5 − 12i d` u ˆm.
o` ` ’
e e aa a a ˆa
e
. .
.o.ng ph´p giai trong v´ du 4 ta c´
’´ ’
Giai. Ap dung phu a ı. o
.
√
5 + 12i = x + iy ⇒ 5 + 12i = x2 − y 2 − 2xyi
x2 − y 2 = 5,
⇐⇒
2xy = 12.
- Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c
´
12 ou
` `
Hˆ n`y c´ hai nghiˆm l` (3; 2) v` (−3; −2). Theo diˆu kiˆn, phˆn
ea o e a a e e a
. . .
.c cua √5 + 12i ˆm nˆn ta c´ √5 + 12i = −3 − 2i. Tu.o.ng tu. ta
thu ’ a e o
. .
√
.o.c 5 − 12i = −3 + 2i. Nhu. vˆy
t`m du .
ı a
.
−3 − 2i − (−3 + 2i) 2
z= =i
−3 − 2i + (−3 + 2i) 3
z−1
V´ du 6. Gia su. z = a + ib, z = ±1. Ch´.ng minh r˘ng w =
`
’’
ı. u a l`
a
z+1
sˆ thuˆn ao khi v` chı khi a2 + b2 = 1.
`’
´ a’
o a
’
Giai. Ta c´
o
a2 + b2 − 1
(a − 1) + ib 2b
w= = +i ·
2 + b2 (a + 1)2 + b2
(a + 1) + ib (a + 1)
T`. d´ suy r˘ng w thuˆn ao khi v` chı khi
` `’ a’
uo a a
a2 + b2 − 1
= 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1.
(a + 1)2 + b2
` ˆ
BAI TAP
.
T´
ınh
(1 + i)8 − 1 15
1. · (DS. )
(1 − i)8 + 1 17
(1 + 2i)3 + (1 − 2i)3 11
2. · (DS. − i)
(2 − i)2 − (2 + i)2 4
(3 − 4i)(2 − i) (3 + 4i)(2 + i) 14
3. − · (DS. − )
2+i 2−i 5
22 2n
1−i 1−i 1−i 1−i
2
1+ √ 1+ √ 1+ √ ··· 1 + √
4. .
2 2 2 2
(DS. 0)
’˜ ´ ’ı.
Chı dˆ n. Ap dung c´ch giai v´ du 3.
a a
.
5. Ch´.ng minh r˘ng
`
u a
z1 z1
a) z1 + z2 = z1 + z 2 ; b) z1 z2 = z1 · z 2 ; c) = ;
z2 z2
- ’ ˜ ınh .
1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen
e e o a 13
n
d) z n = (z ) ; e) z + z = 2Re z ; g) z − z = 2Im z .
6. V´.i gi´ tri thu.c n`o cua x v` y th` c´c c˘p sˆ sau dˆy l` c´c c˘p
.´
a’
oa.. a ıa a o a aa a .
.c liˆn ho.p:
´
sˆ ph´ e .
ou
1) y 2 − 2y + xy − x + y + (x + y )i v` −y 2 + 2y + 11 − 4i;
a
2) x + y 2 + 1 + 4i v` ixy 2 + iy 2 − 3 ?
a
(DS. 1) x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2) x1,2 = −5, y1,2 = ±5)
7. Ch´.ng minh r˘ng z1 v` z2 l` nh˜.ng sˆ ph´.c liˆn ho.p khi v` chı
` ´ a’
u a a au oue .
.ng sˆ thu.c.
´
khi z1 + z2 v` z1z2 l` nh˜
a au o.
8. T´
ınh:
√
1) −5 − 12i. (DS. ±(2 − 3i))
√
2) 24 + 10i. (DS. ±(5 + i))
√
3) 24 − 10i. (DS. ±(5 − i))
√ √ √ √
4) 1 + i 3 + 1 − i 3. (DS. ± 6, ±i 2)
9. Ch´.ng minh r˘ng
`
u a
2 4 6 8
1) 1 − C8 + C8 − C8 + C8 = 16;
2 4 6 8
2) 1 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16;
1 3 5 7 9
3) C9 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16.
Chı dˆ n. Ap dung cˆng th´.c nhi th´.c Newton dˆi v´.i (1 + i)8 v`
’˜ ´ ´
a o u .u oo a
.
9
(1 + i) .
’ ˜
1.3 Biˆu diˆn h` hoc. Mˆdun v` acgu-
e e ınh . o a
men
Mˆ i sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ d˘t tu.o.ng u.ng v´.i diˆm M (a; b) cua
˜´ ’. ’ ’
oo u o ea ´ oe
.o.c lai mˆ i diˆm M (a; b) cua m˘t ph˘ng d` u
’ ’
˜ ’ ’
m˘t ph˘ng toa dˆ v` ngu . .
a a . oa oe a a ˆ
e
. . .
tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib. Ph´p tu.o.ng u.ng du.o.c x´c lˆp l`
´
´ oo u e ´ . aaa .
.n tri mˆt - mˆt. Ph´p tu.o.ng u.ng d´ cho ph´p ta xem c´c sˆ ph´.c ´
do .o o e ´ o e aou
. .
. l` c´c diˆm cua m˘t ph˘ng toa dˆ. M˘t ph˘ng d´ du.o.c goi l`
’ ’
’ ’
nhu a a e a a .o a a o .a
. . . .
m˘t ph˘ng ph´.c. Truc ho`nh cua n´ du.o.c goi l` Truc thu.c, truc tung
’ ’o
a a u a . .a .
. . . .
- Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c
´
14 ou
du.o.c goi l` Truc ao. Thˆng thu.`.ng sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ xem ’
´
. a −→ . ’ o o ou oe
.
. vecto. OM . Mˆ i vecto. cua m˘t ph˘ng v´.i diˆm dˆu O(0, 0) v`
’
˜ ’`
’
nhu o a a o e a a
.
diˆm cuˆi tai diˆm M (a; b) d` u tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib v`
’ ’
´ ´
e o. e ˆ
e ´ oo u a
.o.c lai.
ngu . .
Su. tu.o.ng u.ng du.o.c x´c lˆp gi˜.a tˆp ho.p sˆ ph´.c C v´.i tˆp ho.p
´
´ . aa ua .ou oa
. . . . .
. m˘t ph˘ng cho ph´p goi c´c sˆ ph´.c l` diˆm
’
’ ’
´
c´c diˆm hay c´c vecto a
a e a a e.aouae
.
hay vecto..
V´.i ph´p biˆu diˆn h`nh hoc sˆ ph´.c, c´c ph´p to´n cˆng v` tr`.
’ ˜ı ´
o e e e .ou a e ao au
.
c´c sˆ ph´.c du.o.c thu.c hiˆn theo quy t˘c cˆng v` tr`. c´c vecto..
´o
´
aou e a. aua
. . .
Gia su. z ∈ C. Khi d´ dˆ d`i cua vecto. tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z
´
’’ ooa ’ ´ oo u
.
du.o.c goi l` mˆdun cua n´.
’o
.ao
.
´
Nˆu z = a + ib th`
e ı
√ √
a2 + b2 =
r = |z | = z z.
G´c gi˜.a hu.´.ng du.o.ng cua truc thu.c v` vecto. z (du.o.c xem l` g´c
’
ou o .a ao
. .
.o.ng nˆu n´ c´ dinh hu.´.ng ngu.o.c chiˆu kim d` ng hˆ) du.o.c goi l`
´ ` `
du e oo. o e o
ˆ o .a
. .
.i sˆ z = 0 acgumen khˆng x´c dinh.
´ oo´
´
’o
acgumen cua sˆ z = 0. Dˆi v´ o o a.
Kh´c v´.i mˆdun, acgumen cua sˆ ph´.c x´c dinh khˆng do.n tri, n´
´
’oua.
ao o o .o
.i su. sai kh´c mˆt sˆ hang bˆi nguyˆn cua 2π v`
.´ e’
x´c dinh v´ .
a. o a oo. o a
.
k ∈ Z,
Arg z = arg z + 2kπ,
trong d´ arg z l` gi´ tri ch´ cua acgumen du.o.c x´c dinh bo.i diˆu `
a a . ınh ’ ’
o a. e
.
kiˆn −π < arg z π ho˘c 0 arg z < 2π .
e a
. .
.c v` phˆn ao cua sˆ ph´.c z = a + ib du.o.c biˆu diˆn qua
’ ˜
Phˆn thu a ` ’
` ´
’ou
a a e e
. .
mˆdun v` acgument cua n´ nhu. sau
’o
o a
a = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
- ’ ˜ ınh .
1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen
e e o a 15
Nhu. vˆy, acgumen ϕ cua sˆ ph´.c c´ thˆ t`m t`. hˆ phu.o.ng tr`
’
´
’ o u o eı
a ue ınh
. .
cos ϕ = √ a ,
a2 + b2
sin ϕ = √ b
·
a2 + b2
CAC V´ DU
´ I .
x − y 2 + 2xyi
2
´
’o
V´ du 1. T` mˆdun cua sˆ z = √
ı. ım o ·
xy 2 + i x4 + y 4
’
Giai. Ta c´
o
x2 + y 2
(x2 − y 2 )2 + (2xy )2
|z | = =2 = 1.
√ x + y2
2+( 4 + y 4 )2
(xy 2) x
V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng ∀ z1, z2 ∈ C ta d` u c´:
`
ı. u a ˆo
e
(i) |z1 + z2| |z1 | + |z2|; (ii) |z1 − z2| |z1| + |z2|;
(iii) |z1 + z2| |z1 | − |z2 |; (iv) z1 − z2 | |z1| − |z2.
’
Giai. (i) Ta c´o
|z1 + z2|2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z 2 ).
V` −|z1z2 |
ı Re(z1 z 2) |z1z2| nˆn
e
|z1 + z2|2 |z1|2 + |z2|2 + 2|z1 ||z2| = (|z1| + |z2|)2
⇒ |z1 + z2| |z1| + |z2 |.
(ii) V` |z2 | = | − z2| nˆn
ı e
|z1 − z2 | = |z1 + (−z2)| ≤ |z1| + | − z2| = |z1 | + |z2|.
(iii) Ap dung (ii) cho z1 = (z1 + z2 ) − z2 v` thu du.o.c
´ a
. .
|z1| |z1 + z2 | + |z2| → |z1 + z2| |z1| − |z2|.
- Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c
´
16 ou
(iv) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≥ |z1| − | − z2 | = |z1| − |z2|.
Nhˆn x´t. C´c bˆt d˘ng th´.c (iii) v` (iv) c`n c´ thˆ viˆt du.´.i
´’ ’´
ae aaa u a ooee o
.
dang
.
(iii)∗. |z1 + z2 | |z1| − |z2| ; (iv)∗. |z1 − z2 | |z1| − |z2| .
Thˆt vˆy ta c´ |z1 + z2| |z1| − |z2| v` |z1 + z2| |z2| − |z1 |. C´c
aa o a a
..
vˆ phai kh´c nhau vˆ dˆu do d´ nˆu lˆy vˆ phai du.o.ng th` thu du.o.c
´’ ´´´’
`a
e´
e a oea e ı .
.c (iv)∗ thu du.o.c t`. (iii)∗ b˘ng c´ch thay z2 bo.i
´’
∗ ` ’
(iii) . Bˆt d˘ng th´
aa u .u a a
−z2.
V´ du 3. Ch´.ng minh d` ng nhˆt th´.c
´
ı. u o
ˆ a u
|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2).
Giai th´ y ngh˜ h`nh hoc cua hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh.
’ .’euau
ıch ´ ıa ı .
. z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 . Khi d´
’ ’’
Giai. Gia su o
z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2),
z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2 ),
|z1 + z2|2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2)2 ,
|z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 .
T`. d´ thu du.o.c
uo .
|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(x2 + y1 )2 + 2(x2 + y2 ) = 2(|z1 |2 + |z2 |2).
2
1 2
T`. hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh suy r˘ng trong mˆ i h`nh b`nh h`nh tˆng c´c
˜ ’
`
ueu a u a oı ı a o a
.
b` phu.o.ng dˆ d`i cua c´c du.`.ng ch´o b˘ng tˆng c´c b` phu.o.ng
’
e`
oa ’ a
ınh o a o a ınh
.
oa ’ a . ’o
dˆ d`i cua c´c canh cua n´.
.
V´ du 4. Ch´.ng minh r˘ng nˆu |z1| = |z2| = |z3| th`
` ´
ı. u a e ı
z3 − z2 1 z2
arg = arg ·
z3 − z1 2 z1
Giai. Theo gia thiˆt, c´c diˆm z1 , z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n
’
´ `
’ ’ ea e a a e o o
.i tˆm tai gˆc toa dˆ. Ta x´t c´c vecto. z3 − z2; z3 − z1, z1 v`
´
n`o d´ v´ a
a oo .o.o ea a
.
z2 (h˜y v˜ h`
a e ınh).
- ’ ˜ ınh .
1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen
e e o a 17
B˘ng nh˜.ng nguyˆn do h`nh hoc, dˆ thˆy r˘ng
˜a`
` e´a
a u e ı .
z3 − z2
arg = arg(z3 − z2 ) − arg(z3 − z1)
z3 − z1
v` g´c n`y nh` cung tr`n nˆi diˆm z1 v` z2 v` g´c o. tˆm
´’ ao’a
ao a ın ooe a
z2
arg = argz2 − argz1
z1
´ o’ı
c˜ng ch˘n ch´ cung tr`n d´. Theo dinh l´ quen thuˆc cua h`nh hoc
u a ınh oo y
. . .
. cˆp ta c´
´
so a o
z3 − z2 1 z2
arg = arg ·
z3 − z1 2 z1
V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng nˆu |z1| = |z2| = |z3 | = 1 v` z1 +z2+z3 = 0
` ´
ı. u a e a
’ .´
th` c´c diˆm z1, z2 v` z3 l` c´c d’nh cua tam gi´c d` u nˆi tiˆp trong
’
ıa e a aa ı aˆoee
du.`.ng tr`n do.n vi.
o o .
Giai. Theo gia thiˆt, ba diˆm z1, z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n
’
´ `
’ ’ e e a a e o o
.n vi. Ta t`m dˆ d`i cua c´c canh tam gi´c.
oa ’ a .
do . ı a
.
+
1 T` dˆ d`i |z1 − z2|. Ta c´
ım o a o
.
|z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2
= x2 + y1 + x2 + y2 − (2x1 x2 + 2y1 y2)
2 2
1 2
= 2(x2 + y1 ) + 2(x2 + y2 ) − [(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2]
2 2
1 2
= 2|z1 |2 + 2|z2 |2 − 2|z1 + z2 |2.
Nhu.ng z1 + z2 = −z3 v` |z1 + z2| = |z3|. Do d´
a o
|z1 − z2|2 = 2|z1 |2 + 2|z2|2 − |z3|2 = 2 · 1 + 2 · 1 − 1 = 3
v` t`. d´
au o
√
|z1 − z2| = 3 .
√ √
2+ Tu.o.ng tu. ta c´ |z2 − z3 | = 3, |z3 − z1 | = 3. T`. d´ suy ra
o uo
.
tam gi´c v´.i d’nh z1 , z2, z3 l` tam gi´c d` u.
aoı a aˆ e
- Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c
´
18 ou
V´ du 6. V´.i diˆu kiˆn n`o th` ba diˆm kh´c nhau t`.ng dˆi mˆt z1,
’
o`
ı. e ea ı e a u oo
. .
.`.ng th˘ng.
’
`
z2 , z3 n˘m trˆn mˆt du o
a e o a
.
´u c´c diˆm z1, z2, z3 n˘m trˆn du.`.ng th˘ng cho tru.´.c
’
’
+ `
’
Giai. 1 Nˆ a e e a e o a o
. di t`. z2 dˆn z1 c´ hu.´.ng nhu. cua vecto. di t`. diˆm z3 dˆn
’
´ ´
’
th` vecto
ı u e o o ue e
z1 ho˘c c´ hu.´.ng ngu.o.c lai. Diˆu d´ c´ ngh˜ l` c´c g´c nghiˆng cua
` oo ’
aoo e ıa a a o e
. ..
c´c vecto. n`y dˆi v´.i truc thu.c ho˘c nhu. nhau ho˘c sai kh´c g´c π .
´
a aoo a a ao
. . . .
.ng khi d´ ta c´
Nhu o o
arg(z1 − z2 ) = arg(z1 − z3 ) + kπ, k = 0, 1.
T`. d´ suy ra
uo
z1 − z2
arg = arg(z1 − z2 ) − arg(z1 − z3) = kπ, k = 0, 1.
z1 − z3
z1 − z2
Nhu. vˆy sˆ ph´.c c´ acgumen b˘ng 0 ho˘c b˘ng π , t´.c l` sˆ
` a`
.´ ´
aou o a .a u ao
z1 − z3
z1 − z2
l` sˆ thu.c. Diˆu kiˆn thu du.o.c l` diˆu kiˆn cˆn.
` .a` e`
´
ao . e e e .a
.
z1 − z3
2+ Ta ch´.ng minh r˘ng d´ c˜ng l` diˆu kiˆn du. Gia su.
` a` e’ ’’
u a ou e .
z1 − z2
α ∈ R.
= α,
z1 − z3
z1 − z2
= 0. Hˆ th´.c n`y tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ th´.c
Khi d´ Im
o eua oeu
. .
z1 − z3
y1 − y3 x1 − x3
= · (1.5)
y1 − y2 x1 − x2
Phu.o.ng tr`nh du.`.ng th˘ng qua diˆm (x1, y1) v` (x2, y2 ) c´ dang
’ ’
ı o a e a o.
y − y1 x − x1
= · (1.6)
y2 − y1 x2 − x1
T`. (1.5) v` (1.6) suy ra diˆm (x3 , y3) n˘m trˆn du.`.ng th˘ng d´.
’
’ `
u a e a e o a o
V´ du 7. X´c dinh tˆp ho.p diˆm trˆn m˘t ph˘ng ph´.c thoa m˜n c´c
’
’ ’
ı. a. a. e e a a u aa
. .
`
diˆu kiˆn:
e e
.
nguon tai.lieu . vn
