Xem mẫu
- http://maichoi.vuicaida.com
Download Ebook Chuyên Nghi p Nh t VN
ð I H C QU C GIA TP.H CHÍ MINH KÌ THI TUY N SINH L P 10 NĂM 2008
TRƯ NG PH THÔNG Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Th i gian làm bài: 150 phút,không k th i gian giao ñ .
NĂNG KHI U
Câu I 1) Cho phương trình x 2 − mx + 2m − 2 = 0 (1) .
a) Ch ng minh r ng (1) không th có 2 nghi m ñ u âm.
b) Gi s x 1 , x 2 là 2 nghi m c a pt (1). Ch ng minh r ng bi u th c sau:
2 2
(x 1 − 2x1 + 2)(x 2 − 2x 2 + 2)
không ph thu c vào giá trí c a m.
A= 2 2
x1 + x2
2) Gi i h phương trình:
2 2
x = y + z
y = z 2 + x 2
z = x 2 + y 2
Câu II Cho tam giác ABC không cân. ðư ng tròn n i ti p tâm I ti p xúc v i các c nh BC, CA, AB l n
lư t t i D, E, F. ðư ng th ng EF c t AI t i J và c t BC n i dài t i K.
1) Ch ng minh r ng các tam giác IDA ñ ng d ng v i tam giác IJD.
2) Ch ng minh r ng KI vuông góc v i AD.
Câu III Cho góc xAy vuông và 2 ñi m B và C l n l ot trên các tia Ax, Ay. Hình vuông MNPQ có các
ñ nh M thu c c nh AB, N thu c c nh AC và các ñ nh P, Q thu c c nh BC.
1) Tính c nh hình vuông MNPQ theo c nh BC = a và ñư ng cao AH = h c a tam giác ABC.
2) Cho B và C thay ñ i l n lư t trên các tia Ax, Ay sao cho tích AB.AC = k 2 = const. Tìm giá tr
l n nh t c a di n tích hình vuông MNPQ.
Câu IV M t s nguyên dương n ñ oc g i là s b ch kim n u n b ng t ng bình phuơng các ch s c a nó.
1) Ch ng minh r ng không t n t i s b ch kim có 3 ch s .
2) Tìm t t c các s nguyên dương n là s b ch kim.
Câu V Trong m t gi i vô ñ ch bóng ñá có 6 ñ i tham gia. Theo ñi u l c a gi i, hai ñ i bóng b t kỳ thi
ñ u v i nhau ñúng m t tr n, ñ i th ng ñư c 3 ñi m, ñ i thua 0 ñi m và ñ i hòa ñư c 1 ñi m. K t
thúc gi , s ñi m c a m i ñ i l n lư t là D1, D2 , D3 , D4 , D5 , D6 ( D1 ≥ D2 ≥ D3 ≥ D4 ≥ D5 ≥ D6 )
Bi t r ng ñ i bóng v i ñi m D1 thua ñúng m t tr n và D1 = D2 + D3 = D4 + D5 + D6 . Hãy tìm
D1 và D6 .
HT
( Giám th coi thi không gi i thích gì thêm )
- HƯ NG D N GI I
Câu I
1) a) Xét phương trình có 2 nghi m ñ u âm. T c là:
m 2 − 4 ( 2m − 2 ) > 0 m 2 − 8m + 8 > 0
∆ > 0
S < 0 ⇔ m < 0 ⇔ m < 0 ⇔ m ∈∅
P > 0 2m − 2 > 0 m > 1
V y phương trình ban ñ u không th có 2 nghi m phân bi t ñ u âm (ñpcm).
c) Theo h th c Viete ta có: x1 + x2 = m và x1 x2 = 2m − 2
Do ñó, ta ñư c:
(x − 2 x1 + 2 ) ( x2 − 2 x2 + 2 ) = x12 x2 − ( 2 x12 x2 + 2 x1 x2 ) + ( 2 x12 + 4 x1 x2 + 2 x2 ) − ( 4 x1 + 4 x2 ) + 4
2 2 2 2 2
1
= ( x1 x2 ) − 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 2 ( x1 + x2 ) − 4 ( x1 + x2 ) + 4
2 2
= ( 2m − 2 ) − 2 ( 2 m − 2 ) m + 2m 2 − 4m + 4
2
= 4 m 2 − 8m + 4 − 4 m 2 + 4 m + 2 m 2 + 4 m + 4
= 2 m 2 − 8m + 8 = 2 ( m − 2 )
2
x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = m 2 − 2 ( 2m − 2 ) = m 2 − 4m + 4 = ( m − 2 )
2 2
2
M t khác
(x − 2 x1 + 2 ) ( x2 − 2 x2 + 2 ) 2 ( m − 2)
2
2 2
= 2 ( m ≠ 2)
1
=
Vy
( m − 2)
x12 + x2 2
2
Không ph thu c vào giá tr c a m (ñpcm).
x = y 2 + z 2 (1)
2) y = z + x ( 2 ) ⇒ x, y, z ≥ 0
2 2
z = x + y ( 3)
2 2
Khi hoán v vòng quanh x, y , z h phương trình không thay ñ i. Do ñó ta có th gi s
x = max { x, y, z} . Ta có x ≥ y ⇒ y 2 + z 2 ≥ z 2 + x 2 ⇒ y 2 ≥ x 2 ⇒ y ≥ x ≥ 0
M t khác x ≥ y . Nên x = y ⇒ y = z x = y = z . Khi ñó (1) thành:
x = 0 x = y = z = 0
⇒
2 x = x ⇔ 2 x − x = 0 ⇔ x ( 2 x − 1) = 0 ⇔
2 2
x = 1 x = y = z = 1
2 2
1 1 1
V y nghi m c a h phương trình ban ñ u là: ( x, y , z ) = ( 0, 0, 0 ) ; , ,
2 2 2
Câu II
1) Ch ng minh r ng tam giác IJD ñ ng d ng v i tam giác IDA.
Ta có AE = AF ( AE và AF là ti p tuy n c a (I)). IF = IE ( F,E cùng thu c (I)).
Nên AI là trung tr c c a EF. J là giao ñi m c a AI và EF. Suy ra AI ⊥ EF t i J.
IF 2 = IJ .IA . Mà IF = ID (F,D cùng thu c (I)).
M t khác ta có tam giác IFA vuông F. Suy ra
ID IA
ID 2 = IJ .IA . Nên = , ∠I chung. V y tam giác IJD ñ ng d ng v i tam giác IDA.
Nên
IJ ID
- 2) Ch ng minh KI vuông góc v i AD.
G i H là giao ñi m c a KI và AD. Ta có tam giác IJD ñ ng d ng v i tam giác IDA (cmt)
⇒ ∠IJD = ∠IDA . M t khác JIDK là t giác n i ti p ( ∠J + ∠D = 180 )
⇒ ∠IDA = ∠IJD = ∠IKD ⇒ ∠IDH = ∠IKD . Có ∠I chung.
Nên tam giác IDH ñ ng d ng tam giác IKD (g. g). Nên ∠IHD = 90 ⇒ KI ⊥ AD t i H.
Câu III
1) Tính các c nh c a hình vuông MNPQ theo a và h.
G i x là ñ dài các c nh c a hình vuông MNPQ. I là giao ñi m c a AH và MN.
AI = h − x . Ta có: [ ABC ] = [ BMQ ] + [ AMN ] + [ NPC ]
Suy ra
1 1 1 1
a.h = x ( h − x ) + x.PC + x.BQ + x 2
Hay
2 2 2 2
⇔ a.h = x ( h − x ) + x.PC + x.BQ + 2 x 2
ah
= x ( h − x + a − x + 2 x ) = x ( a + h ) ⇒ a.h = x ( a + h ) ⇒ x = .
a+h
2) Tìm max [MNPQ]
( ah )
2
k4
[ MNPQ ] = x = =
2
Ta có . Ta có
( a + h) (a + h)
2 2
4 ( a + h ) = 4a 2 + 4h 2 + 8ah = 3a 2 + a 2 + 4h 2 + 8k 2
2
= 3 ( AB 2 + BC 2 ) + ( a 2 + 4h 2 ) + 8k 2 ≥ 6 AB. AB + 4ah + 8k 2 = 6k 2 + 4k 2 + 8k 2 = 18k 2
AB = AC
k4 2k 2
92
( a + h)
2
≥ k⇒ ≤ = const . ðTXR ⇔ ⇔ ∆ABC vuông
Vy
(a + h) A = 2H
2
2 9
2k 2
cân A. V y max [MNPQ] là khi và ch khi tam giác ABC vuông cân A.
9
Câu IV
abc ( a, b, c là các ch s ; a khác 0).
1) Gi s t n t i s b ch kim có 3 ch s là
abc = a + b + c . M t khác, ta có:
2 2 2
Ta có
abc = 100a + 10b + c = 10a + 10b + 90a + c > a 2 + b 2 + 90 > a 2 + b 2 + c 2
(vì 10a > a ,10b > b ,90a + c ≥ 90 > 81 ≥ c ). Nên không th có s b ch kim có 3 ch s .
2 2 2
Suy ra ñi u ph i ch ng minh.
n = a1a2 a3 ...ak .
2) Xét s n có k ch s . Suy ra
k ≥ 3 : n ≥ 100a1 + 10a2 + ... + 10ak −1 + ak > a12 + a2 + ... + ak2 .
2
a.
V y không t n t i s b ch kim có l n hơn hay b ng 3 ch s .
a = 0 ( L )
k = 1 : n = a . Ta có a = a 2 ⇔ a ( a − 1) = 0 ⇔
b. .
a = 1( N )
c. k = 2 : n = ab (a, b là các ch s . a khác 0)
ab = a 2 + b 2 ⇒ 10a + b = a 2 + b 2 ⇔ 40a + 4b = 4a 2 + 4b 2
Ta có
Hay ( 2a − 10 ) + ( 2b − 1) = 101(**)
2 2
2a − 10 < 10 vì a khác 0 và a ≤ 9 . (2a − 10) 2 ⋮ 2 .
M t khác ta có
- S 101 ch có 1 cách phân tích thành t ng hai s chính phưong là 101 = 10 + 12
2
Do v y (**) không th x y ra. V y không có s b ch kim có 2 ch s .
K T LU N, s b ch kim duy nh t là n = 1 .
Câu V
5.4
= 10 . Mà
Các ñ i t 2 ñ n 6 ñ u v i nhau thì t ng s tr n các ñ i này ñ u v i hau là
2
t ng s ñi m t i thi u m i tr n là 2 nên t ng s ñi m c a 5 ñ i t 2 ñ n 6 thi ñ u v i nhau
t i thi u là 2.10 = 20. Mà trong 5 ñ i này có 1 ñ i th ng ñ i 1 nên s ñi m t i thi u 5 ñ i này
trên toàn ñ t là 23 ñi m. Suy ra D2 + ... + D6 ≥ 23 ⇒ 2 D1 ≥ 23 ⇒ D1 ≥ 12 .
ð i 1 5 tr n trong ñó có 1 tr n thua nên ñi m t i ña c a ñ ii 1 là 4.3 = 12. Suy ra
12 ≤ D1 ≤ 12 ⇒ D1 = 12 ( 4 Th ng – 1 thua ).
x là s tr n th ng – thua không có ñ i 1
Gi
y là s tr n hòa
x + y = 10 x = 1
⇔
Ta có
3 x + 2 y = 21 y = 9
Suy ra có 1 tr n th ng – thua và 9 tr n hòa gi a các ñ i t 2 ñ n 6 ñ u
nhau ⇒ 12 ≥ 3D6 ⇒ D6 ≤ 4 . N u D6 < 4 :Vì ñ i 6 không th có nhi u hơn2 tr n thua.
Khia ñó, trong các tr n gi a ñ i 2 ñ n ñ i 6 s có nhi u hơn 1 tr n thua trái v i x = 1 . V y
ñ i 6 thua ñ i 1. V y 1 tr n thua còn l i c a ñ i 6 thu c các tr n t 2 ñ n 6. N u các tr n còn
l i trong nhóm t 2 ñ n 6 hòa h t. Suy ra D4 + D5 = 9 . Do D4 ≥ 4 ⇒ D4 = 5, D5 = 4 (*)
D2 + D3 = 12 . ð i 2 có t ng ñi m thi ñ u trong nhóm 2 ñ n 6 là bé hơn hay b ng 3.1+3 = 6
ð i 3 tương t có ñi m thi ñ u trong nhòm 2 ñ n 6 làa bé hơn hay b ng 6. Suy ra ði m s c a
ñ i 2 và 3 thi ñ u trong nhóm < 12. V y m t trong 2 ñ i 2, 3 th ng ñ i 1. Nên t ng ñi m ñ i 2,
3 trong nhóm 6 ñ i là 9 ñi m. Suy ra trong hai ñ i 2, 3 có 1 ñ i th ng ñ i 6. Suy ra ñ i 4 hòa
các ñ i 2, 3, 5, 6. Nên D4 = 4 ( mâu thu n v i (*)). V y D6 = 4 .
D1 = 12, D6 = 4 .
K T LU N,
NGƯ I GIÀI ð : NGUY N LÂM MINH ( TP. H CHÍ MINH)
nguon tai.lieu . vn
