Xem mẫu

  1. §Ò thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn Së gi¸o dôc v ® o t¹o n¨m häc 2008 - 2009 TØnh ninh b×nh M«n: To¸n ®Ò thi chÝnh thøc Thêi gian l m b i: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) (§Ò thi gåm 05 c©u trong 01 trang) C©u 1 (3,5 ®iÓm): 15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3 Cho biÓu thøc P= − − x+ 2 x −3 x −1 x +3 1. Rót gän biÓu thøc P . 1 2. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = . 2 C©u 2 (3,5 ®iÓm): a > b Cho hai sè thùc a, b tho¶ m n ®iÒu kiÖn .  ab = 2 a 2 + b2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: . Q= a−b C©u 3 (4,0 ®iÓm): Mét ®o n häc sinh tæ chøc ®i tham quan b»ng « t«. Ng−êi ta nhËn thÊy r»ng, nÕu mçi « t« chØ chë 22 häc sinh th× cßn thõa 1 häc sinh. NÕu bít ®i 1 « t« th× cã thÓ ph©n phèi ®Òu c¸c häc sinh trªn c¸c « t« cßn l¹i. Hái lóc ®Çu cã bao nhiªu « t« v cã bao nhiªu häc sinh ®i tham quan, biÕt r»ng mçi « t« chØ chë ®−îc kh«ng qu¸ 32 häc sinh. C©u 4 (5,5 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD. §iÓm M di ®éng trªn tia ®èi cña tia CD (M kh«ng trïng víi C). §−êng th¼ng vu«ng gãc víi AM t¹i A c¾t ®−êng th¼ng BC t¹i N. 1. Chøng minh r»ng tam gi¸c MAN vu«ng c©n. 2. Gäi E l trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MN. Chøng minh r»ng ba ®iÓm D, B, E th¼ng h ng. 3. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M sao cho tam gi¸c EAC l tam gi¸c ®Òu. C©u 5 (3,5 ®iÓm): 1. Cho tam gi¸c cã ®é d i c¸c c¹nh b»ng a, b, c tho¶ m n ®iÒu kiÖn a 2 + b 2 ≤ c 2 . Gäi p, r , hc lÇn l−ît l nöa chu vi, ®é d i b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp, ®é d i ®−êng cao thuéc r2 c¹nh c cña tam gi¸c. Chøng minh r»ng >. hc 5 2. T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn ( x; y ) tho¶ m n : x 2 − (2009 + y) x + 5 + y = 0 . 3. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®−êng trßn. Gäi M l ®iÓm di ®éng trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M sao cho 2008 MB + 2009 MC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. ---------------------------------HÕt--------------------------------- Hä v tªn thÝ sinh:……………………….SBD: ……………….Sè CMND: ..……………… Ch÷ ký gi¸m thÞ 1:…………………………..Ch÷ ký gi¸m thÞ 2: …………………………….
  2. H−íng dÉn chÊm thi M«n To¸n TuyÓn sinh vµo líp 10 THPT Chuyªn n¨m häc 2008-2009 ( H−íng dÉn chÊm thi gåm 4 trang) I. H−íng dÉn chung: -D−íi ®©y chØ l HD tãm t¾t cña mét c¸ch gi¶i, b i l m cña häc sinh ph¶i chi tiÕt, lËp luËn chÆt chÏ, tÝnh to¸n chÝnh x¸c míi ®−îc ®iÓm tèi ®a -B i l m cña häc sinh ®óng ®Õn ®©u c¸c gi¸m kh¶o cho ®iÓm ®Õn ®ã -Häc sinh ®−îc sö dông kÕt qu¶ cña c©u tr−íc ®Ó ¸p dông cho c©u sau -Trong b i h×nh nÕu häc sinh kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ h×nh sai th× kh«ng cho ®iÓm -Víi c¸c c¸ch gi¶i kh¸c víi ®¸p ¸n tæ chÊm trao ®æi v thèng nhÊt ®iÓm chi tiÕt nh−ng kh«ng v−ît qu¸ sè ®iÓm d nh cho c©u hoÆc phÇn ®ã. -Mäi vÊn ®Ò ph¸t sinh trong qu¸ tr×nh chÊm ph¶i ®−îc thèng nhÊt trong tæ chÊm v chØ cho ®iÓm theo sù thèng nhÊt trong tæ chÊm. -§iÓm to n b i l tæng sè ®iÓm c¸c phÇn ® chÊm,kh«ng l m trßn II. §¸p ¸n v biÓu ®iÓm: C©u H−íng dÉn chÊm §iÓm 0.5 C©u 1 1. §iÒu kiÖn x ≥ 0 ; x ≠ 1 0.5 (3.5 ®) (15 x − 11) − (3 x − 2)( x + 3) − (2 x + 3)( x − 1) Ta cã P = ( x + 3)( x − 1) −5 x + 7 x − 2 ( x − 1)(−5 x + 2) (−5 x + 2) 0.75 = = = ( x + 3)( x − 1) ( x + 3)( x − 1) ( x + 3) 1.75 1 −5 x + 2 1 1 1 2. Ta cã P = ↔ = ↔ x = ↔x= 2 2 11 121 x +3 1.0 C©u 2 2 2 2 a +b (a − b) + 2ab 2ab 4 Ta cã: Q = = = ( a − b) + = ( a − b) + (3.5 ®) a −b a −b a −b a−b 0.5 ¸p dông kÕt qu¶: x; y ≥ 0 : ( x − y ) ≥ 0 ↔ x + y ≥ 2 x. y 2 DÊu b»ng xÈy ra khi v chØ khi x=y 4 0.5 Ta cã: Q ≥ 2. (a − b). =4 ( a − b)  a = 1 + 3  4  a − b = a − b   b = −1 + 3   1.0 DÊu b»ng xÈy ra khi v chØ khi: ab = 2 ↔  a = 1 − 3 a > b       b = −1 − 3 0.5 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Q l 4. ( Häc sinh ph¶i CM kÕt qu¶ x; y ≥ 0 : ( x − y )2 ≥ 0 ↔ x + y ≥ 2 x. y sau ®ã míi ¸p dông, n Õu HS kh«ng CM th× trõ 0.5 ®iÓm phÇn n y)
  3. Gäi x l sè « t« ban ®Çu C©u 3 Sau khi bít ®i mét « t« th× sè « t« cßn l¹i l (x-1); §iÒu kiÖn x>1; x ∈ N 0.25 (4.0®) Do mçi « t« chØ chë 22 häc sinh th× cßn thõa 1 häc sinh nªn sè häc sinh ®i tham quan l (22x+1). 0.5 0.5 22 x + 1 Sè häc sinh cã trong mçi « t« cña (x-1) « t« l : x −1  22 x + 1 *  x −1 ∈ N 0.75  Theo gi¶ thiÕt b i to¸n ta cã   22 x + 1 ≤ 32  x −1  0.5 22 x + 1 22( x − 1) + 23 23 MÆt kh¸c ta cã: = = 22 + x −1 x −1 x −1 0.5 22 x + 1 23 Do ®ã ∈ N * ,hay (x-1) l −íc cña 23 ∈ N* ↔ x −1 ( x − 1) 22 x + 1 • x-1=1 ↔ x = 2 . Khi ®ã =45>32 nªn kh«ng tho¶ m n 0.25 x −1 22 x + 1 • x-1=23 ↔ x = 24 .Khi ®ã =23
  4. 0.5 1 b. Trong tam gi¸c vu«ng CMN cã ME l trung tuyÕn nªn CE = .MN 2 0.5 1 Trong tam gi¸c vu«ng AMN cã AE l trung tuyÕn nªn AE = .MN 2 Tõ ®ã suy ra CE=AE, hay E thuéc ®−êng trung trùc cña AC *.Do ABCD l h×nh vu«ng nªn DA=DC; BA=BC nªn B, D còng thuéc v o 0.5 ®−êng trung trùc cña AC Do ®ã ba ®iÓm D, B, E th¼ng h ng 0.5 c. Gäi a l ®é d i c¸c c¹nh cña h×nh vu«ng. 0.5 Do tam gi¸c EAC c©n ®Ønh E nªn: ∆EAC ®Òu khi v chØ khi EA = AC = a. 2 * Trong tam gi¸c vu«ng AMN: MN=2AE=2a 2 0.5 Khi ®ã AM= 2a. * Trong tam gi¸c vu«ng DAM ta cã: DM2=AM2-AD2=4a2-a2=3a2 0.5 Hay DM=a 3 KÕt luËn: Tam gi¸c EAC l tam gi¸c ®Òu khi M thuéc tia ®èi cña tia CD v DM=DC. 3 C©u 5 1.( 1.5 ®iÓm) Gäi S l diÖn tÝch tam gi¸c. Häc sinh ph¶i chøng minh S=p.r 0.5 ( p: nöa chu vi cña tam gi¸c; r : B¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c) 1 r c c MÆt kh¸c S= .c.hc nªn : = = 0.25 2 hc 2 p a + b + c a 2 + b 2 ≤ c 2 → (a + b) 2 ≤ 2(a 2 + b 2 ) ≤ 2c 2 ↔ a + b ≤ 2.c ↔ a + b + c ≤ ( 2 + 1).c 0.5 2 c ↔ ≥ 2 −1 > a+b+c 5 VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 0.25 ( N Õu häc sinh kh«ng chøng minh S=p. r th× trõ ®i 0.5 ®iÓm) 2. ( 1,0 ®iÓm): x 2 − (2009 + y ).x + 5 + y = 0 ↔ ( x 2 − 2 x + 1) − 2007( x − 1) − ( x − 1). y = 2003 Ta cã: ↔ ( x − 1) 2 − 2007( x − 1) − ( x − 1). y = 2003 0.5 ↔ ( x − 1).[ ( x − 1) − 2007 − y ] = 2003 Tõ ph−¬ng tr×nh trªn suy ra (x-1) l −íc cña 2003. MÆt kh¸c 2003 l sè nguyªn tè nªn xÈy ra bèn kh¶ n¨ng sau * x − 1 = 1 ↔ x = 2 → y = −4009 * 0.5 x − 1 = −1 ↔ x = 0 → y = −5 * x − 1 = 2003 ↔ x = 2004 → y = −5 * x − 1 = −2003 ↔ x = −2002 → y = −4009 V Ëy cã 4 cÆp sè nguyªn (x;y) tho¶ m n l : (2; - 4009);(0; - 5); (2004; -5);(- 2002; - 4009)
  5. 3. (1.0 ®iÓm) 0.25 MC 2008 . Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy ®iÓm E sao cho = ME 2009 0.25 Khi ®ã CME = BAC ( v× cïng bï víi BMC ) → ∆CME cã c¸c gãc kh«ng ®æi → CEM kh«ng ®æi → 3 ®iÓm B, C, E n»m trªn mét ®−êng trßn cè ®Þnh. . Ta dùng ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi BC t¹i C, c¾t ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCE t¹i F. Khi ®ã BF l ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam 0.25 gi¸c BCE → F l ®iÓm cè ®Þnh. .Gäi M 0 l giao ®iÓm thø 2 cña BF v ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Suy ra M 0 l ®iÓm cè ®Þnh . Ta cã 2008. MB + 2009. MC=2008.MB + 2008 ME=2008. BE ≤ 2008BF D Êu b»ng xÈy ra khi v chØ khi M ≡ M 0 0.25 VËy 2008.MB + 2009.MC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi M ≡ M 0 A B C M MO F E
nguon tai.lieu . vn