Xem mẫu
- SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 – THÁNG 2/2010
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ Môn thi: TOÁN HỌC – Khối A, B
Thời gian: 180 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu I:
x+2
Cho hàm số y = ( C) .
x−2
1. Khảo sát và vẽ ( C ) .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) , biết tiếp tuyến đi qua điểm
A ( −6;5 ) .
Câu II:
π
1. Giải phương trình: cos x + cos3x = 1 + 2 sin 2x + .
4
x 3 + y3 = 1
2. Giải hệ phương trình: 2
x y + 2xy + y = 2
2 3
Câu III:
π
4
dx
Tính I = ∫ cos x ( 1 + e )
π
2 −3x
−
4
Câu IV:
Hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC )
bằng 2. Với giá trị nào của góc α giữa mặt bên và mặt đáy của chóp thì thể
tích của chóp nhỏ nhất?
Câu V:
Cho a, b,c > 0 : abc = 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
+ + ≤1
a + b +1 b + c +1 c + a +1
Câu VI:
1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A ( 1;0 ) , B ( −2; 4 ) ,C ( −1; 4 ) , D ( 3;5 ) và
đường thẳng d : 3x − y − 5 = 0 . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB,
MCD có diện tích bằng nhau.
2. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau:
x = −1 + 2t
x y −1 z + 2
d1 : = = ; d2 : y = 1 + t
2 −1 1 z = 3
Câu VII:
20 C0 21 C1 22 C 2010 23 C3
2
2 2010 C2010
2010
Tính: A= 2010
− 2010
+ − 2010
+ ... +
1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012
- ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐH LẦN 2 – KHỐI D
Câu I:
1. a) TXĐ: ¡ \ { 2}
b) Sự biến thiên của hàm số:
-) Giới hạn, tiệm cận:
+) x →2 y = −∞, x →2 y = +∞ ⇒ x = 2 là tiệm cận đứng.
lim
−
lim +
+) lim y = lim y = 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.
x →−∞ x →+∞
-) Bảng biến thiên :
4
y' = − < 0 ∀x ≠ 2
( x − 2)
2
c) Đồ thị :
-) Đồ thị cắt Ox tại ( −2;0 ) , cắt Oy tại ( 0; −1) , nhận I ( 2;1) là tâm đối xứng.
2. Phương trình đường thẳng đi qua A ( −6;5 ) là ( d ) : y = k ( x + 6 ) + 5 .
(d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :
- x+2 4 x+2
k ( x + 6) + 5 = − x − 2 2 ⋅ ( x + 6 ) + 5 = x − 2
x−2 ( )
⇔
4 4
k = − k = −
( x − 2)
2
( x − 2)
2
−4 ( x + 6 ) + 5 ( x − 2 ) 2 = ( x + 2 ) ( x − 2 ) 4x 2 − 24x = 0 x = 0; k = −1
⇔ 4 ⇔ 4 ⇔
k = − k=− x = 6; k = − 1
( x − 2) ( x − 2)
2 2
4
x 7
Suy ra có 2 tiếp tuyến là : ( d1 ) : y = − x − 1; ( d 2 ) : y = − +
4 2
Câu II:
π
1. cos x + cos3x = 1 + 2 sin 2x +
4
⇔ 2cos x cos 2x = 1 + sin 2x + cos2x
⇔ 2cos 2 x + 2sin x cos x − 2cos x cos 2x = 0
⇔ cos x ( cos x + sinx − cos2x ) = 0
⇔ cos x ( cos x + sinx ) ( 1 + sinx − cosx ) = 0
π
x = + kπ
cos x = 0 2
π
⇔ cos x + sinx = 0 ⇔ x = − + kπ
1 + sinx − cosx = 0 4
π 1
sin x − 4 = −
2
π
x = + kπ
2 π
x = 2 + kπ
x = − π + kπ
4 π
⇔ ⇔ x = − + kπ
x − π = − π + k2π 4
4 4 x = k2π
π 5π
x − =
+ k2π
4 4
- 1 3 1 1 3 3
2x + = 2 ( x − y ) + − = −
y x y x x y
2. ⇔
2y + 1 = 3 2x + 1 = 3
x y
y x
4( x − y) x = y
2( x − y) = −
xy xy = −2
⇔ ⇔
2x + 1 = 3 2x + 1 = 3
y x
y x
x = y
2x + 1 = 3 x = y = 1
x x x = y = −1
⇔ 2 ⇔
y=− x = 2, y = − 2
x
x = − 2, y = 2
2x − x = 3
2 x
Câu III:
1
xdx 11 d ( x2 ) 1 1 dt
I=∫ 4 = ∫ = ∫ 2
0 x + x +1
2
2 0 ( x2 ) 2 + x2 + 1 2 0 t + t +1
3
1
1 dt 2
1 du
= ∫
2 0 1 32 2
= ∫
2 1 2 3 2
t + + 2 u +
2 2 2
3 π π 3 dy
Đặt u = tan y, y ∈ − ; ⇒ du = ⋅
2 2 2 2 cos 2 y
1 π 3 π
u = ⇒ y = ;u = ⇒ y =
2 6 2 3
π 3 π
dy
13 2 1 3 π
⇒I= ∫ = ∫ dy = 6 3
2 π cos 2 y ⋅ 3 ⋅ 1 + tan 2 y
6
4
( ) 3 π6
Câu IV:
Gọi M, N là trung điểm BC, AD, gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống
SM. Ta có:
- SMN = α,d ( A; ( SBC ) ) = d ( N; ( SBC ) ) = NH = 2
·
NH 2 4 S
⇒ MN = = ⇒ SABCD = MN 2 =
sin α sin α sin 2 α
tan α 1
SI = MI.tan α = =
sin α cosα
1 4 1 4 H
⇒ VSABCD = ⋅ 2 ⋅ =
3 sin α cosα 3.sin 2 α.cosα
sin 2 α + sin 2 α + 2cos 2α 2 D C
sin 2 α.sin 2 α.2cos 2α ≤ =
3 3 N
1 I M
⇒ sin 2 α.cosα ≤
3 A B
VSABCD min ⇔ sin α.cosα max
2
1
⇔ sin 2 α = 2cos 2α ⇔ cosα =
3
Câu V:
Ta có:
a+b= ( 3
a+3b )( 3
)
a 2 − 3 ab + 3 b 2 ≥ 3 ab ( 3
a+3b )
⇒ a + b +1 ≥ 3
ab ( 3
)
a + 3 b + 1 = 3 ab ( 3
)
a + 3 b + 3 abc = 3 ab ( 3
a+3b+3c )
1 1 c 3
⇒ ≤ =
a + b + 1 3 ab ( 3
a+3b+3c ) 3
a+ b+3c 3
Tương tự suy ra OK!
Câu VI:
1. Giả sử M ( x; y ) ∈ d ⇔ 3x − y − 5 = 0.
- AB = 5,CD = 17
uuu
r uuur
AB ( −3; 4 ) ⇒ n AB ( 4;3) ⇒ PT AB : 4x + 3y − 4 = 0
uuu
r uuur
CD ( 4;1) ⇒ n CD ( 1; −4 ) ⇒ PT CD : x − 4y + 17 = 0
SMAB = SMCD ⇔ AB.d ( M; AB ) = CD.d ( M;CD )
4x + 3y − 4 x − 4y + 17
⇔ 5⋅ = 17 ⋅ ⇔ 4x + 3y − 4 = x − 4y + 17
5 17
3x − y − 5 = 0
⇒
4x + 3y − 4 = x − 4y + 17
3x − y − 5 = 0
3x + 7y − 21 = 0 7
⇔ ⇒ M1 ; 2 , M 2 ( −9; −32 )
3x − y − 5 = 0 3
5x − y + 13 = 0
2. Gọi M ∈ d1 ⇒ M ( 2t;1 − t; −2 + t ) , N ∈ d 2 ⇒ N ( −1 + 2t ';1 + t ';3)
uuuu
r
⇒ MN ( −2t + 2t '− 1; t + t '; − t + 5 )
uuuu ur
r u
MN.u1 = 0
2 ( −2t + 2t '− 1) − ( t + t ') + ( − t + 5 ) = 0
uuuu ur
r u ⇔
MN.u1 = 0
2 ( −2t + 2t '− 1) + ( t + t ') = 0
−6t + 3t '+ 3 = 0
⇔ ⇔ t = t' =1
−3t + 5t '− 2 = 0
uuuu
r
⇒ M ( 2;0; −1) , N ( 1;2;3) , MN ( −1;2;4 )
x − 2 y z +1
⇒ PT MN : = =
−1 2 4
Câu VII:
20 C0 21 C1 2 2 C2010 23 C3
2
2 2010 C2010
2010
A= 2010
− 2010
+ − 2010
+ ... +
1 2 3 4 2011
Ta có:
- ( −2 ) 2010! = ( −2 ) 2010!
k k
2k C 2010
k
( −1)
k
=
( k + 1) k!( 2010 − k ) !( k + 1) ( k + 1) !( 2010 − k ) !
( −2 ) 2011!
k
1 1
⋅ ( −2 ) C k +1
k +1
= ⋅ =−
2011 ( k + 1) !( 2011 − k − 1) !
2011
4022
1
⋅ ( −2 ) C1 + ( −2 ) C 2 + ... + ( −2 ) C 2011
1 2 2011
⇒A=−
4022
2011 2011 2011
1 1
⋅ ( −2 + 1) − ( −2 ) C0 =
2011 0
=−
4022
2011
2011
nguon tai.lieu . vn
