Xem mẫu
- ÐỀ THI thö ĐẠI HỌC lÇn ii
NĂM häc: 2010-2011
Môn thi : TOÁN
lµm bµi:180 phótThêi gian (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I:(2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); ( m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2. Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E
sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Câu II:(2 điểm)
x − 2 y − xy = 0
1. Giai hệ phương trinh:
̉ ̀
x −1 − 2 y −1 = 1
cos 2 x 1
2. T×m x ∈ (0; π ) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: cotx – 1 = + sin 2 x − sin 2 x .
1 + tan x 2
Câu III: (2 điểm)
1. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x ≤ a).
Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a.
a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
b) KÎ MH vu«ng gãc víi AC t¹i H . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch khèi chãp SMCH lín
nhÊt
π
∫
2. Tính tích phân: I = ( x + sin 2 2 x) cos 2 xdx .
4
0
Câu IV: (1 điểm) : Cho c¸c sè thùc d¬ng a,b,c thay ®æi lu«n tho¶ m·n : a+b+c=1.
a +b2 b +c 2 c + a 2
+ + ≥ 2.
Chứng minh rằng :
b +c c +a a +b
( Chó ý!:ThÝ sinh chØ ®îc chän bµi lµm ë mét
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
phÇn)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu Va :1.Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng
3
vµ träng t©m thuéc ®êng th¼ng ∆ : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C.
2
2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm A(1;4;2),B(-1;2;4)
x −1 y + 2 z
vµ ®êng th¼ng ∆ : ∆ sao cho:
= = .T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn
−1 1 2
MA2 + MB 2 = 28
4
2 2
−2 x +1 −2 x −1
3) x + (2 − 3 ) x
Câu VIa : Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: ( 2 + ≤
2− 3
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb: 1. Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho
qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d víi
x −1 y +1 z
= = .Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M,
d:
−1
2 1
cắt và vuông góc với đường thẳng d vµ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d
4log3 xy = 2 + ( xy ) log3 2
Câu VIb: Giải hệ phương trình
log 4 ( x + y ) + 1 = log 4 2 x + log 4 ( x + 3 y )
2 2
- ………………… …..………………..Hết…………………………………….
(C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm)
Híng dÉn chÊm m«n to¸n
C©u ý Néi Dung §iÓm
I 2
Kh¶o s¸t hµm sè (1 ®iÓm)
1 1
y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm)
1. m = 3 : y = x3 + 3x2 + 3x + 1 (C3)
+ TXÑ: D = R
0,25
+ Giới hạn: lim y = −∞, lim y = +∞
x →−∞ x →+∞
+ y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2 ≥ 0; ∀x
⇒ hµm sè ®ång biÕn trªn R 0,25
• Baûng bieán thieân:
0,25
+ y” = 6x + 6 = 6(x + 1)
y” = 0 ⇔ x = –1 ⇒ tâm đối xứng U(-1;0)
* Ñoà thò (C3):
Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1)
0,25
2 1
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø ñöôøng
thaúng y = 1 laø: 0,25
x + 3x + mx + 1 = 1 ⇔ x(x + 3x + m) = 0 ⇔
3 2 2
x = 0
x2 + 3x + m = 0 (2)
* (Cm) caét ñöôøng thaúng y = 1 taïi C(0;1), D, E phaân
bieät:
⇔ Phöông trình (2) coù 2 nghieäm xD, xE ≠ 0.
0,25
m ≠ 0
∆ = 9− 4m > 0
⇔ 4 (*)
⇔ 2
0 + 3× 0+ m ≠ 0 m < 9
- Luùc ñoù tieáp tuyeán taïi D, E coù heä soá goùc laàn löôït laø:
0,25
kD=y’(xD)= 3x2 + 6xD + m = −(3xD + 2m);
D
kE=y’(xE)= 3x2 + 6xE + m = −(3xE + 2m).
E
Caùc tieáp tuyeán taïi D, E vuoâng goùc khi vaø chæ khi: kDkE
= –1
⇔ (3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1
0,25
⇔ 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1
⇔ 9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo ñònh
9 + 65
m =
8
lý Vi-ét). ⇔ 4m2 – 9m + 1 = 0 ⇔
9 − 65
m =
8
( )
1
9 − 65
So s¸nhÑk (*): m =
8
II 2
1 1
x ≥ 1
0,5
1. §k: 1
y ≥ 2
(1)
⇔ x − y − ( y + xy ) = 0 ⇔ ( x + y )( x − 2 y ) = 0
x−2 y =0
⇔ ⇔ x=2 y
x + y = 0(voly )
⇔ x = 4y Thay vµo (2) cã 0,25
4 y −1 − 2 y −1 = 1 ⇔ 4 y −1 = 2 y −1 +1
⇔ 4 y −1 = 2 y −1 + 2 2 y −1 + 1 ⇔ 2 y −1 = 2 2 y −1
1
y = 2 (tm) x = 2
2 y −1 = 0
⇔ ⇔ ⇒
y = 5 (tm) x = 10
2 y −1 = 2
2
V©y hÖ cã hai nghiÖm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2) 0,25
2 1
sin 2 x ≠ 0 sin 2 x ≠ 0
⇔
®K:
sin x + cos x ≠ 0 tan x ≠ −1
cos x − sin x cos 2 x. cos x 0,25
+ sin 2 x − sin x cos x
PT ⇔ =
cos x + sin x
sin x
cos x − sin x
= cos 2 x − sin x cos x + sin 2 x − sin x cos x
⇔
sin x
- ⇔ cos x − sin x = sin x(1 − sin 2 x) 0,25
⇔ (cos x − sin x)(sin x cos x − sin 2 x − 1) = 0
0,25
⇔ (cos x − sin x)(sin 2 x + cos 2 x − 3) = 0
cos x − sinx = 0
π
⇔ (cos x − sinx)( 2 sin(2 x + ) − 3) = 0 ⇔
2 sin(2 x + π ) = 3(voly )
4 4
π 0,25
⇔ cos x − sin x = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) (tm®k)
4
π
Do x ∈ ( 0; π ) ⇒ k = 0 ⇒ x =
4
III 2
1 1
SA ⊥ ( ABCD)
⇒ ( SAC ) ⊥ ( ABCD)
Do 0,25
SA ⊂ ( SAC )
Lai cã
MH ⊥ AC = (SAC ) ∩ ( ABCD )
x
⇒ MH ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( M , SAC ) = MH = AM .sin 45o =
2
Ta cã
x x
AH = AM .cos 450 = ⇒ HC = AC − AH = a 2 −
O,5
2 2
1 1x x
⇒ S ∆MHC = MH .MC = (a 2 − )
2 22 2
1 1 x x
⇒ VSMCH = SA.S ∆MCH = 2a (a 2 − )
3 6 2 2
Tõ biÓu thøc trªn ta cã:
0,25
x x
+a 2− 3
1 a
2 2
VSMCH ≤ a [ ]
2
=
3 2 6
x x
⇔ =a 2−
2 2
⇔x=a
⇔ M trïng víi D
2 1
0,25
π π π
4 4 4
I= 2 2
- IV 1 1
2 2 2
a b c b c a
+ + )+( + + ) = A+ B
.Ta cã :VT = ( 0,25
b+c c+a a +b b+c c+a a+b
0,25
[ (a + b) + (b + c ) + (c + a )]
1
1 1 1
A+3= a +b + b + c + c + a
2
1 1 1 1 9
≥ 3 3 (a + b)(b + c)(c + a )3 3 =
a+b b+c c+a 2
2
3
⇒ A≥
2
a2 b2 c2
12 = (a + b + c) 2 ≤ ( + + )(a + b + b + c + c + a)
0,25
a+b b+c c+a
1
⇔ 1 ≤ B.2 ⇔ B ≥
2
31
Tõ ®ã tacã VT ≥ + = 2 = VP
0,25
22
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c=1/3
V.a 2
1 1
0,25
55
; − ),
Ta cã: AB = 2 , trung ®iÓm M (
22
pt (AB): x – y – 5 = 0
0,25
3
1 3
S ∆ABC = d(C, AB).AB = ⇒ d(C, AB)=
2
2 2
1
Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)=
2
t − (3t − 8) − 5 0,25
1
⇒ d(G, AB)= ⇒ t = 1 hoÆc t = 2
=
2
2
⇒ G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)
uuuu uuuu
r r
Mµ CM = 3GM ⇒ C = (-2; -10) hoÆc C = (1; -1) 0,25
2 1
x = 1− t
0,5
ptts∆ : y = −2 + t ⇒ M (1 − t ; −2 + t ; 2t )
z = 2t
0,25
Ta cã: MA2 + MB 2 = 28 ⇔ 12t 2 − 48t + 48 = 0 ⇔ t = 2
Tõ ®ã suy ra : M (-1 ;0 ;4) 0,25
VI.a 1 1
- ( ) ( ) 0,25
x2 − 2 x x2 − 2 x
⇔ 2+ 3 + 2− 3 ≤4
Bpt
0,25
1
( ) x2 − 2 x
t+ ≤4
BPTTT :
t = 2+ 3 (t > 0)
t
⇔ t 2 − 4t + 1 ≤ 0 ⇔ 2 − 3 ≤ t ≤ 2 + 3 (tm)
0,25
( )
2
x −2 x
≤ 2 + 3 ⇔ −1 ≤ x − 2 x ≤ 1
Khi ®ã : 2 − 3 ≤ 2 + 3 2
0,25
⇔ x 2 − 2x − 1 ≤ 0 ⇔ 1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 2
V.b 2
1 1
. (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2; M ∈ Oy ⇒ M(0;m)
Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm) 0,5
·AMB = 600 (1)
Vì MI là phân giác của ·
Vậy AMB
·AMB = 1200 (2)
IA
(1) ⇔ ·
AMI = 30 ⇔ MI = sin 300 ⇔ MI = 2R ⇔ m 2 + 9 = 4 ⇔ m = m 7
0
IA 23 43
(2) ⇔ ·
AMI = 60 ⇔ MI = 0 ⇔ MI = R ⇔ m2 + 9 =
0
Vô
sin 60 0,5
3
3
nghiệm
Vậy có hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0;- 7 )
2 1
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua
M, cắt và vuông góc với d. 0,25
x = 1 + 2t
d có phương trình tham số là: y = −1 + t
z = −t
uuuu
r
Vì H ∈ d nên tọa độ H (1 + 2t ; − 1 + t ; − t).Suy ra : MH = (2t − 1 ; − 2 + t ; − t)
r
Vì MH ⊥ d và d có một vectơ chỉ phương là u = (2 ; 1 ; −1), nên : 0,25
2 uuuu
r 1 2
4
2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = . Vì thế, MH = 3 ; − 3 ; − 3 ÷
3
uuur uuuu
u r
uMH = 3MH = (1; −4; −2)
x − 2 y −1 z 0,25
= =
Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là:
−4 −2
1
7 1 2
Theo trªn cã H ( ; − ; − ) mµ H lµ trung ®iÓm cña MM’ nªn to¹ ®é M’
0,25
3 3 3
8 5 4
( ;− ;− )
3 3 3
ĐK: x>0 , y>0
22 log3 xy − 2log3 xy − 2 = 0
(1) ⇔
VIb
0,5
- 0,25
3
⇔log3xy = 1 ⇔ xy = 3⇔y=
x
(2)⇔ log4(4x +4y ) = log4(2x +6xy) ⇔ x2+ 2y2 = 9
2 2 2
0,25
6
Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: ( 3 ; 3 ) hoặc ( 6 ; )
2
S
M
A D
H
C
B
nguon tai.lieu . vn
