Xem mẫu
- www.MATHVN.com
Trần Sĩ Tùng Ôn thi Đại học
Đề số 3
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3 x2 + 1 có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song
với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .
Câu II: (2 điểm)
1 1
log ( x + 3) + log4 ( x − 1)8 = 3log8 (4x) .
1. Giải phương trình: 2
2 4
π
2. Tìm nghiệm trên khoảng 0; của phương trình:
2
π 3π
x
4sin2 π − − 3sin − 2x = 1 + 2cos2 x −
2 2 4
Câu III: (1 điểm) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f ( x) + f (− x) = cos4 x với mọi x ∈ R.
π
2
∫ f ( x ) dx .
I=
Tính:
−π
2
Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt
bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD .Tính thể tích khối chóp O.AHK.
Câu V: (1 điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4 .
a b c d
+ + + ≥2
Chứng minh rằng:
1+ b c 1+ c d 1 + d a 1 + a2b
2 2 2
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a: (2 điểm)
3
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng , A(2;–
2
3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 4 = 0.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;4;1),B(–1;1;3) và mặt phẳng
(P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và
vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu VII.a: (1 điểm) Tìm các số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận số phức
z = 1 + i làm một nghiệm.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) và
phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4x + y + 14 = 0; 2x + 5y − 2 = 0 . Tìm
tọa độ các đỉnh A, B, C.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và
6x − 3y + 2z = 0
. Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt
đường thẳng (d)
6x + 3y + 2z − 24 = 0
các đường thẳng AB, OC.
Câu VII.b: (1 điểm) Giải phương trình sau trong tập số phức: z4 – z3 + 6 z2 – 8z – 16 = 0 .
www.MATHVN.com - Trang 3
- Hướng dẫn Đề sô 3
Câu I: 2) Giả sử (a b)
A(a; a3 3a2 1), B(b; b3 3b2 1)
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra
y (a) y (b) ( a b)( a b 2) 0
b = 2 – a a 1 (vì a b).
a b 2 0
=
AB2 (b a)2 (b3 3b2 1 a3 3a2 1)2 4(a 1)6 24( a 1)4 40(a 1)2
a 3 b 1
= 32
AB = 4(a 1)6 24( a 1)4 40(a 1)2
42 a 1 b 3
A(3; 1) và B(–1; –3)
Câu II: 1) (1) x = 3; x = 3 2
( x 3) x 1 4 x 3
5 2
x k ( k Z ) ( a)
2) (2) 18 3
sin 2 x sin x
x 5 l 2 (l Z ) (b)
3 2
6
5
Vì nên .
x 0; x=
18
2
2 2 2 2
Câu III: Đặt x = –t f x dx f t dt f t dt f x dx
2 2 2 2
-
2 2 2
2 cos4 xdx
f ( x)dx f ( x) f ( x) dx
2 2 2
31 1 3
.
cos4 x cos2 x cos4 x I
82 8 16
1 uuu uuu uuu a3 2
rr r
Câu IV: V AH , AK .AO
6 27
Câu V: Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
ab2c ab2c
a ab c ab(1 c) ab abc
a a a a a (1)
2 2 2 4 4 4
2b c
1+b c 1 b c
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1
bc 1 d
bc2d bc2d
b bc d bc bcd
b b b b b (2)
1+c2d 1 c2d 2 4 4 4
2c d
cd 1 a
cd 2a cd 2a
c cd a cd cda
c c c c c (3)
1+d 2a 1 d 2a 2 4 4 4
2d a
da 1 b
da2b da2b
d da b da dab
d d d d d (4)
2 2 2 4 4 4
2a b
1+a b 1 a b
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab
4
2 2 2 2 4 4
1 b c 1 c d 1 d a 1 a b
Mặt khác:
2
a c b d
. Dấu "=" xảy ra
ab bc cd da a c b d 4
2
- a+c = b+d
2 2
a b cd
abc bcd cda dab ab c d cd b a c d b a
2 2
a b c d
abc bcd cda dab a b c d a b c d
4 4
2
a b c d
. Dấu "=" xảy ra a = b
abc bcd cda dab 4
2
= c = d = 1.
a b c d 44
Vậy ta có: 4
2 2 2 2 44
1 b c 1 c d 1 d a 1 a b
a b c d
đpcm.
2
2 2
1 d a 1 a2b
2
1 b c 1 c d
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
x t
Câu VI.a: 1) Ptts của d: . Giả sử C(t; –4 + 3t) d.
y 4 3t
uuu uuu
rr 3
2
1 1
=
AB2 .AC 2 AB.AC 4t 2 4t 1 3
S AB.AC.sin A
2 2 2
t 2
t 1
C(–2; –10) hoặc C(1;–1).
2) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) có
uu uuu
rr r
r
VTPT n np , AB 0; 8; 12 0
- (Q) : 2y 3z 11 0
Câu VII.a: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z2
+ bx + c = 0 nên:
b c 0 b 2
(1 i )2 b(1 i ) c 0 b c (2 b)i 0
2 b 0 c 2
Câu VI.b: 1) A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
2) Phương trình mặt phẳng () chứa AB và song song
d: (): 6x + 3y + 2z – 12 = 0
Phương trình mặt phẳng () chứa OC và song song d:
(): 3x – 3y + z = 0
6x 3y 2z 12 0
là giao tuyến của () và () :
3x 3y z 0
Câu VII.b: ( z 1)(z 2)( z2 8) 0
z4 – z3 6 z2 – 8z – 16 0
z 1
z 2
z 2 2i
z 2 2i
nguon tai.lieu . vn
