Xem mẫu
- ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN KHỐI B
NĂM 2013 - 2014
Đề Số 1
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3 + m (1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1
2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số
đến
góc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ
O.
Câu II (2 điểm):
π
1. Giải phương trình : 2cos3x.cosx+ 3(1 + s in2x)=2 3cos 2 (2 x + )
4
2. Giải phương trình :
log 2 (5 − 2 x) + log 2 (5 − 2 x).log 2 x +1 (5 − 2 x) = log 2 (2 x − 5) 2 + log 2 (2 x + 1).log 2 (5 − 2 x)
1
2
π π
tan( x − )
6
Câu III (1 điểm): Tính tích phân I = ∫ 4 dx
0
cos2x
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy
và SA=a .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD;I là giao điểm của SC và mặt
phẳng
(AMN). Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI.
Câu V (1 điểm): Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P = 3( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 xyz .
B. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phàn (phần 1 hoặc 2)
1.Theo chương trình chuẩn:
Câu VIa (2 điểm):
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng Δ : 3x − 4 y + 4 = 0 .
Tìm trên Δ hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC
bằng15.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 2 = 0 .
r
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v(1;6; 2) , vuông góc với mặt
phẳng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 và tiếp xúc với (S).
Câu VIIa(1 điểm): Tìm hệ số của x 4 trong khai triển Niutơn của biểu thức :
P = (1 + 2 x + 3x 2 )10
2.Theo chương trình nâng cao:
Câu VIb (2 điểm):
- x2 y 2
1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp ( E ) : + = 1 và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2)
9 4
.
Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn
nhất.
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 2 = 0 .
r
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v(1;6; 2) , vuông góc với mặt
phẳng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 và tiếp xúc với (S).
Câu VIIb (1 điểm):
2 1 22 2 2n n 121
Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn C + Cn + Cn + ... +
0
Cn =
n +1 n +1
n
2 3
- ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu Điểm
2. Ta có y = 3x − 6mx + 3(m − 1)
, 2 2
Để hàm số có cực trị thì PT y , = 0 có 2 nghiệm phân biệt
05
⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt
I ⇔ Δ = 1 > 0, ∀m
Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là 025
B(m+1;-2-2m)
⎡ m = −3 + 2 2
Theo giả thiết ta có OA = 2OB ⇔ m 2 + 6m + 1 = 0 ⇔ ⎢ 025
⎢ m = −3 − 2 2
⎣
Vậy có 2 giá trị của m là m = −3 − 2 2 và m = −3 + 2 2 .
1.
⎛ π ⎞
PT ⇔ cos4x+cos2x+ 3(1 + sin 2 x) = 3 ⎜1 + cos(4x+ ) ⎟ 05
⎝ 2 ⎠
⇔ cos4x+ 3 sin 4 x + cos2x+ 3 sin 2 x = 0
π π
⇔ sin(4 x + ) + sin(2 x + ) = 0
6 6
⎡ π π
⎢ x =− +k
π 18 3 05
⇔ 2sin(3x + ).cosx=0 ⇔ ⎢
6 π
⎢ x= + kπ
⎢ 2
⎣
π π π
Vậy PT có hai nghiệm x= + kπ và x=− +k .
II 2 18 3
⎧ −1 5
⎪
- π π π
tan( x − )
4 dx = − tan x + 1 dx , cos 2x = 1 − tan x
6 6 2 2
025
I=∫ ∫ (t anx+1)2
0
cos2x 0
1 + tan 2 x
III 1
Đặt t = t anx ⇒ dt= 2
dx = (tan 2 x + 1)dx
cos x
x=0⇒t =0 05
π 1
x= ⇒t =
6 3
1
1
3
dt 1 3 1− 3 025
Suy ra I =−∫ = = .
0
(t + 1) 2
t + 10 2
⎧ AM ⊥ BC , ( BC ⊥ SA, BC ⊥ AB)
Ta có ⎨ ⇒ AM ⊥ SC (1) 05
⎩ AM ⊥ SB, ( SA = AB)
Tương tự ta có AN ⊥ SC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AI ⊥ SC
Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H. Khi đó IH vuông góc với (AMB)
1
Suy ra VABMI = S ABM .IH
IV 3
a2
Ta có S ABM = 05
4
IH SI SI .SC SA2 a2 1 1 1
= = = 2 = 2 = ⇒ IH = BC = a
BC SC SC 2
SA + AC 2
a + 2a 2
3 3 3
2 3
1a a a
Vậy VABMI = =
3 4 3 36
Ta c ó:
P = 3 ⎡ ( x + y + z ) 2 − 2( xy + yz + zx) ⎤ − 2 xyz
⎣ ⎦ 025
= 3 [9 − 2( xy + yz + zx) ] − 2 xyz
= 27 − 6 x( y + z ) − 2 yz ( x + 3)
( y + z )2
≥ 27 − 6 x(3 − x) − ( x + 3)
2
025
1
= (− x 3 + 15 x 2 − 27 x + 27)
2
- Xét hàm số f ( x) = − x3 + 15 x 2 − 27 x + 27 , với 00.Khi đó ta có + = 1 và diện tích tam giác ABC là 05
9 4
1 85 85 x y
S ABC = AB.d (C → AB) = 2x + 3y = 3 +
2 2 13 13 3 4
- 85 ⎛ x 2 y 2 ⎞ 170
≤3 2⎜ + ⎟ = 3
13 ⎝ 9 4 ⎠ 13
⎧ x2 y2 05
⎧
VIb ⎪ 9 + 4 = 1 ⎪x = 3 2
⎪ 3 2
Dấu bằng xảy ra khi ⎨ ⇔⎨ 2 . Vậy C ( ; 2) .
⎪x = y ⎪y = 2 2
⎪3 2
⎩ ⎩
Xét khai triển (1 + x) n = Cn + Cn x + Cn x 2 + ... + Cn x n
0 1 2 n
Lấy tích phân 2 vế cân từ 0 đến 2 , ta được:
05
3n +1 − 1 2 2 1 23 3 2n +1 n
= 2Cn + Cn + Cn + ... +
0
Cn
VIIb n +1 2 3 n +1
2 1 22 2n n 3n +1 − 1 121 3n +1 − 1
Cn + Cn + Cn2 + ... +
0
Cn = ⇔ =
⇔ 2 3 n +1 2(n + 1) n + 1 2(n + 1)
⇔ 3n +1 = 243 ⇔ n = 4 05
Vậy n=4.
nguon tai.lieu . vn
