Xem mẫu
- SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2011
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG MÔN: TOÁN; KHỐI: D
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát
đề
x +1
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = .
−x + 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
x +1
= m.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
− x +1
Câu II (2,0 điểm)
2 π
1. Giải phương trình: 2sin − 2 x ÷ + 3 cos 4 x = 3 − 4sin x.
2
4
( ) ( x∈¡ ) .
2. Giải bất phương trình: 2 x 2 − 7 x . 2 x 2 − 11x + 14 ≥ 0
Câu III (1,0 điểm)
2
∫
Tính tích phân I = x . 4 - x dx.
2
2
0
Câu IV(1,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là
hình chữ nhật có độ dài AB = a 2 , BC = a. Gọi M là trung điểm đoạn CD. Góc giữa hai m ặt
phẳng (ABCD) và (SBM) là α = 600.
1. Chứng minh rằng mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC).
2. Tính thể tích tứ diện SABM theo a.
Câu V(1,0 điểm)
Tìm m để bất phương trình: log 2 x 2 + 2 < log 2 ( mx − m ) có nghiệm thực.
Câu VI(2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC có đáy BC n ằm trên đ ường
thẳng d1: x – 3y - 2 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng d 2: 2x – y + 6 = 0. Viết phương trình
đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3; 2).
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đi ểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và m ặt
phẳng ( α ): x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng ( β ) đi qua A, B và vuông góc với (
α ).
Câu VII(1,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
z − z + 1 − 2i = 3.
------------------ Hết -----------------
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh: ..................www.laisac.page.tl
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Tổ: Toán ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2011
MÔN: TOÁN; KHỐI: D
----***----
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐIỂM
CÂU ĐÁP ÁN
1. (1,0 điểm)
I
* Tập xác định: ¡ \ { 1}
(2,0 đ)
* Sự biến thiên:
2
> 0, ∀x ∈ ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ )
y' = 0,25
( 1 − x)
2
⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) và ( 1;+∞ ) .
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
Giới hạn, tiệm cận:
x +1 x +1
lim y = lim = +∞; lim y = lim = −∞
x →1 − x + 1 x →1 − x + 1
− − + +
x →1 x →1
0,25
Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.
x +1 x +1
lim y = lim = −1; lim y = lim = −1
x →−∞ − x + 1 x →+∞ − x + 1
x →−∞ x →+∞
Do đó đường thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang.
Bảng biến thiên:
-∞
x 1 +∞
+ +
y'
0,25
+∞ -1
y
-∞
-1
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; 1) và cắt trục hoành tại điểm (-1; 0).
Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm I(1; -1) của hai tiệm cận.
0,25
- x +1
( 1)
= m.
2. (1,0 điểm) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
− x +1
x +1
( C ') .
Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị y =
− x +1
0,25
x +1
Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đthị y = và đg thẳng y = m. 0,25
− x +1
Suy ra đáp số: m < −1; m > 1: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
0,5
m = 1 : phương trình có 1 nghiệm.
−1 ≤ m < 1: phương trình vô nghiệm.
2π
II
( 1)
1. (1,0 điểm) Giải phương trình: 2sin − 2 x ÷ + 3 cos 4 x = 3 − 4sin x
2
(2,0 đ) 4
π
( )
( 1) ⇔ 1 − cos − 4 x ÷+ 3 cos 4 x = 3 − 4sin x ⇔ 3 cos 4 x − sin 4 x = 2 1 − 2sin 2 x
2
0,25
2
π
3 1
⇔ cos 4 x − sin 4 x = cos 2 x ⇔ cos 4 x + ÷ = cos 2 x 0,25
6
2 2
π π
4 x + 6 = 2 x + k 2π x = − 12 + kπ
( k ∈¢ ).
⇔ ⇔ 0,5
x = − π + k π
4 x + π = −2 x + k 2π
36 3
6
2. (1,0 điểm) Giải bất phương trình: ( 2 x 2 − 7 x ) 2 x 2 − 11x + 14 ≥ 0 ( 1) ( x ∈ ¡ ) .
- 2 x 2 − 11x + 14 = 0
( 1) ⇔ 2 x 2 − 11x + 14 > 0
0,25
2
2 x − 7 x ≥ 0
7
x = 2; x =
2 7
x = 2; x = 2
⇔ x < 2; x > ⇔
7
x ≤ 0; x > 7
2 0,5
x ≤ 0; x ≥ 7 2
2
7
⇔ x ≤ 0; x = 2; x ≥
2
0,25
7
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là: T = ( −∞;0] ∪ { 2} ∪ ; +∞ ÷
2
III 2
(1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x . 4 - x dx.
2
2
(1,0 đ)
0
Đặt x = 2sin t , t ∈ [ 0; π ] ⇒ dx = 2 cos tdt
0,25
π
Khi x - 0 thì t = 0, khi x = 2 thì t = .
2
π π π
2 2 2
0,25
Do đó I = 4sin 2 t. 4 - 4 sin2t.2cost.dt = 4 4sin 2 t.cos2 t.dt = 4 sin 2 2t.dt
∫ ∫ ∫
0 0 0
π π π
2 2 2 π π
1 1 0,25
= 2 ∫ ( 1 − cos 4t ) .dt = 2 ∫ dt − cos 4t.d ( 4t ) = 2t 02 − sin 4t 02
2∫ 2
0 0 0
π1
− ( sin 2π − sin 0 ) = π .
= 2. 0,25
22
1. (0,5 điểm) CMR mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC).
IV
(1,0 đ)
S MC CB 1
= =
* Ta có
BC BA ÷
2
⇒ ∆MCB đồng dạng ∆CBA
· · · ·
⇒ CAB = MBC ⇒ CAB + IBA = 900
0,25
⇒ AI ⊥ BI
* Mặt khác BI ⊥ SA
a2
A ·
B nên α = AIS = 600 và BI ⊥ ( SAC )
Do đó ( SBM ) ⊥ ( SAC ) .
α 0,25
a
I
M
D C
2. (0,5 điểm) Tính thể tích tứ diện SABM theo a.
1 a 2 a2 . 2
Tính được S∆AMB = S ABCD − ( S ∆ADM + S ∆BCM ) = 2.a 2 − 2. .a. =
2 2 2 0,25
2S 2a
⇒ AI = ∆ABM =
BM 3
- a3 2
1
SA = AI .tan 600 = 2a ⇒ V = SA.S ∆ABM = (đvtt). 0,25
3 3
V (1,0 điểm) Tìm m để bpt: log 2 x 2 + 2 < log 2 ( mx − m ) ( 1) có nghiệm thực.
(1,0 đ)
x > 1 x < 1
( 1) ⇔ x + 2 < m ( x − 1) ⇔
( I) ( II )
2
hoặc
x2 + 2 x2 + 2 0,25
m> m<
x −1
x −1
(x = 1 không thỏa mãn).
x2 + 2 −x − 2
Xét hàm số f ( x ) = f '( x) =
, ∀x ≠ 1;
( x − 1)
x −1 2
x2 + 2 0,25
f ' ( x ) = 0 ⇔ − x − 2 = 0 ⇔ x = −2 .
lim f ( x ) = −1; lim f ( x ) = 1; lim f ( x ) = −∞; lim f ( x ) = +∞.
− +
x →−∞ x →−∞ x →1 x →1
Ta có bảng biến thiên:
-∞ +∞
x -2 1
- -
0
f ' (x) +
+∞ 0,25
-6
f (x) 3
1
-1 -∞
6
∪ ( 1; +∞ )
Lập luận đưa ra được kết quả m ∈ −∞; − 0,25
3
1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng AC
VI
(2,0 đ)
Đường thẳng điểm
AC đi qua (3 ; 2) nên có pt:
a ( x − 3) + b ( y − 2 ) = 0 ( a + b ≠ 0 )
2 2
Góc của nó tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC nên : 0,25
2.1 + ( −1) . ( −3)
a − 3b
=
12 + ( −3) . a 2 + b 2 22 + ( −1) . 12 + ( −3)
2 2 2
a = −2b
⇔ 5 a + b = a − 3b ⇔ 2a + 3ab − 2b = 0 ⇔ 0,25
2 2 2 2
a = b
2
Với a = -2b, chọn a = 2, b = -1, ta được phương trình AC: 2x - y - 4 = 0 0,25
(loại vì AC // AB).
0,25
b
Với a = , chọn a = 1, b = 2, ta được phương trình AC: x + 2y - 7 = 0.
2
2. (1,0 điểm) Lập phương trình mặt phẳng ( β )
r uuu uu
rr
Lập luận để chỉ ra được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( β ) là n = AB, nα 0,25
r
Tìm được n = ( 1; −2;1) 0,25
Khẳng định mặt phẳng ( β ) đi qua điểm A và có một vtơ pháp tuyến 0,25
r
n = ( 1; −2;1)
- Phương trình mặt phẳng ( β ) : x - 2y + z - 2 = 0. 0,25
(1,0 điểm)
VII
(1,0 đ)
Biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) bởi điểm M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ
0,25
Oxy, ta có: z − z + 1 − 2i = 3 ⇔ 1 + 2 ( y − 1) i = 3
0,25
⇔ 12 + ( 2 y − 2 ) = 3
2
⇔ ( y − 1) = 2 ⇔ y = 1 ± 2 0,25
2
Tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là hai đường thẳng song song với trục 0,25
hoành y = 1 ± 2 .
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
--------------- Hết --------------
nguon tai.lieu . vn
