Xem mẫu
S GD&ðT H I DƯƠNG TRƯ NG THPT NAM SÁCH
ð THI TH ð I H C L N 3 NĂM 2013- 2014 MÔN: TOÁN; KH I: A, A1, B (Th i gian làm bài 180 phút, không k th i gian phát ñ
I. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7 ñi m) 1 Câu 1 (2 ñi m) Cho hàm s y = x 4 − 2mx 2 + 2 (1), v i m là tham s . 3 4 a) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (1) khi m = . 3 b) Tìm m ñ ñ th hàm s (1) có ba ñi m c c tr t o thành m t tam giác có tâm ñư ng tròn ngo i ti p trùng g c t a ñ O. 1 Câu 2 (1 ñi m) Gi i phương trình: 8 cos 2 x − 2 cos x − 6 − 2 3 sin x + = 0. cos x y 4 − 4 x + 4 3 xy − 2 x + 9 = 5 Câu 3 (1 ñi m) Gi i h phương trình: 2 2 8 x − 3xy + 4 y + xy = 4 y
ex ex x +1 + x dx . ∫ e +1 0 Câu 5 (1 ñi m) Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ c nh a. M, N l n lư t là trung ñi m c a AB và C’D’. Tính kho ng cách t B’ ñ n (A’MCN). Câu 6 (1 ñi m) Cho các s dương a, b, c. Ch ng minh r ng:
ln 2
Câu 4 (1 ñi m) Tính tích phân: I =
( 2a + b + c ) + ( 2b + c + a ) + ( 2c + a + b ) ≤ 8 2 2 2 2a 2 + ( b + c ) 2b 2 + ( c + a ) 2c 2 + ( a + b )
2 2 2
II. PH N RIÊNG (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n riêng (ph n A ho c ph n B) A. Theo chương trình Chu n Câu 7a (1 ñi m) Trong m t ph ng Oxy, cho ñư ng tròn (C) : (x − 1) 2 + (y − 2) 2 = 4 và ñư ng th ng (d) : x + y + 1 = 0. Tìm ñi m M trên (d) sao cho qua ñi m M k ñư c hai ti p tuy n MA, MB phân bi t t i (C), ñ ng th i ñư ng th ng AB ñi qua ñi m D(6; 3). (A, B là hai ti p ñi m). Câu 8a (1 ñi m) Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x − y − 2z − 2 = 0 và ñư ng x y +1 z − 2 th ng (d): = = . Vi t phương trình m t c u có tâm thu c ñư ng th ng (d), cách m t ph ng (P) −1 2 1 m t kho ng b ng 2 và c t m t ph ng (P) theo giao tuy n là ñư ng tròn có bán kính b ng 3. Câu 9a (1 ñi m) Tìm t p h p các ñi m bi u di n s ph c w = 2 z + 3 − i trên m t ph ng Oxy, bi t s ph c z
th a mãn: 3z + i ≤ z.z + 9 .
2
B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1 ñi m) Trong m t ph ng Oxy, cho ñư ng th ng d: 2 x + y + 3 = 0 và elip ( E ) :
x2 y2 + = 1 . Vi t 4 1 phương trình ñư ng th ng ∆ vuông góc v i d c t ( E ) t i hai ñi m A, B sao cho di n tích tam giác AOB
b ng 1, v i O là g c t a ñ .
Câu 8b (1 ñi m) Trong không gian Oxyz, cho ñư ng th ng d:
x −2 y z +1 = = và hai ñi m A(1; -1; 2), 4 −6 −8 B(3; -4; -2). Tìm ñi m I trên ñư ng th ng d sao cho IA +IB ñ t giá tr nh nh t.
1 5 9 2013 Câu 9b (1 ñi m) Tính t ng S = C2014 + C2014 + C2014 + ... + C2014 .
........................................….. H t …...................................... Thí sinh không ñư c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm. H và tên thí sinh: ……………………………………………… S báo danh: ……….
ðÁP ÁN MÔN TOÁN Lưu ý: ðây ch là m t trong nh ng cách gi i, n u thí sinh làm cách khác ñúng thì v n cho ñi m tương ng. ðI M CÂU 1 Cho hàm s y = x 4 − 2mx 2 + 2 (1), v i m là tham s . 3 1.0 4 a) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (1) khi m = . 3 o 0.25 1 . Tập xác định: D = R , y là hàm số chẵn.
2o. Sự biến thiên: 4 16 * Chiều biến thiên: Ta có y ' = x 3 − x, x ∈ R. 3 3 ⎡ x < −2 ⎡− 2 < x < 0 ⎡x = 0 ; y' < 0 ⇔ ⎢ y' = 0 ⇔ ⎢ ; y' > 0 ⇔ ⎢ ⎣0 < x < 2. ⎣x > 2 ⎣ x = ±2 Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−2; 0) và (2; + ∞) ; nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; − 2) và (0; 2). * Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, giá trị cực đại yCĐ = 2 ; hàm số đạt cực tiểu tại 10 các điểm x = −2 và x = 2, giá trị cực tiểu yCT = − . 3 1 8 2 * Giới hạn tại vô cực: lim y = lim x 4 ( − 2 + 4 ) = +∞. x → ±∞ x → ±∞ x 3 3x
0.25
Câu 1 (2 ñi m)
* Bảng biến thiên:
x −∞ –2 − 0 y' +∞
0 + 0 −
2 0
+∞ + +∞
y
0.25
y
2
− 10 3
−
10 3
2
3o. Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
−2
O
2
x
0.25
−
10 3
b) Tìm m ñ ñ th hàm s (1) có ba ñi m c c tr t o thành m t tam giác có tâm ñư ng tròn ngo i ti p trùng g c t a ñ O.
Ta có y ' = 4 3 4x 2 x − 4mx = ( x − 3m). 3 3
1.0
0.25
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ phương trình y '= 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0. Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A(0; 2), B (− 3m ; 2 − 3m 2 ) và C ( 3m ; 2 − 3m 2 ).
Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa độ O khi và chỉ khi OA = OB = OC ⎡m = 1, m = 0 2 2 2 ⇔ 2 = 3m + (2 − 3m ) ⇔ m(m − 1)(3m + 3m − 1) = 0 ⇔ ⎢ ⎢m = − 3 ± 21 . ⎢ 6 ⎣
Câu 1 (2 ñi m)
0.25
0.25
Kết hợp điều kiện m > 0 ta có giá trị của m là m = 1, m =
− 3 + 21 . 6
0.25
Câu 1 Gi i phương trình: 8 cos 2 x − 2 cos x − 6 − 2 3 sin x + = 0. 2 (1 cos x ñi m) ði u ki n cos x ≠ 0 Phương trình ⇔ 8 cos3 x − 2 cos 2 x − 6 cos x − 2 3 sin x cos x + 1 = 0 ⇔ 2 cos 3 x − 3 sin 2 x − cos 2 x = 0
1.0
0.25
π ⇔ cos 3 x = cos 2 x − 3 π x = − + k 2π 3 ⇔ ,(k ∈ ℤ) x = π + k 2π 15 5 K t h p v i ñi u ki n ta có nghi m c a phương trình là π π k 2π x = − + k 2π ; x = + ,(k ∈ ℤ) 3 15 5 Câu y 4 − 4 x + 4 3 xy − 2 x + 9 = 5 (1) 3 (1 Gi i h phương trình: 2 2 ñi m) ( 2) 8 x − 3 xy + 4 y + xy = 4 y ði u ki n: x ≥ 0, y ≥ 0 . Nh n th y x = y = 0 không th a mãn nghi m c a h phương trình ñã cho.
x > 0 Xét , phương trình (2) ⇔ 8 x 2 − 3 xy + 4 y 2 − 3 y + y>0 ( x − y )( 8 x + 5 y ) + ( x − y ) y = 0 ⇔ xy + y 8 x 2 − 3 xy + 4 y 2 + 3 y
0.25
0.25
0.25
1.0
0.25
(
)
(
xy − y = 0
)
0.25
8x + 5 y y = 0 ⇔ x = y (vì x > 0, y > 0 ) ⇔ ( x − y) + 8 x 2 − 3 xy + 4 y 2 + 3 y xy + y
Thay y = x vào phương trình (1) ta có: x 4 − 4 x + 4 x 2 − 2 x + 9 = 5
3
⇔ 5 − x 4 − 4 x = 4 3 x 2 − 2 x + 9 ≥ 8 (vì 4 3 x 2 − 2 x + 9 = 4 3 ( x − 1) + 8 ≥ 8 )
2
(
)
0.25
⇔ x 4 − 4 x + 3 ≤ 0 ⇔ ( x − 1)
2
(x
2
+ 2 x + 3 ≤ 0 ⇔ x = 1 (vì x > 0 ) 0.25
)
Do ñó x = 1 ⇒ y = 1 . Th l i ta th y th a mãn. x =1 V y h phương trình có nghi m y =1 ln 2 ex Tính tích phân I= ∫ e x x + 1 + x dx e +1 0
ln 2
1.0
0.25 0.25 0.25 0.25
I=
∫
0
Câu ln 2 4 (1 ð t I1= e x ( x + 1) dx = e x ( x + 1) ∫ ñi m) 0
ln 2
ln 2 ln 2 ex e2 x x e x +1+ x dx = ∫ e ( x + 1) dx + ∫ x dx e +1 e +1 0 0
x
ln 2 ln 2 0
−
∫ e dx = 2 ln 2
x 0
ð t I2=
∫
0
e2 x dx =1-ln3+ln2 ex + 1
8 V y I=I1+I2=2ln2+1-ln3+ln2= ln +1 3
Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ c nh a. M, N l n lư t là trung ñi m c a AB và C’D’. Tính kho ng cách t B’ ñ n (A’MCN). D/ C/ N
A/ B/
1.0
D A B C
M
B n tam giác vuông AA / M, BCM, CC/ N, A / D/ N b ng nhau (c.g.c)
⇒ A / M = MC = CN = NA / ⇒ A / MCN là hình thoi.
Câu Hai hình chóp B/A/MCN và B/.A/NC có chung ñư ng cao v t ñ nh B/ và 5 (1 S / = 2.SA/ NC nên: VB/ .A / MCN = 2.VB/ .A/ NC. A MCN ñi m) Mà: VB/ .ANC = VC.A/ B/ N Ta có: SA / MCN =
0.25
1 1 1 a3 a3 / = .CC .SA/ B/ N = .a. .a.a = ⇒ VB/ .A/ MCN = . 3 3 2 6 3
0.25
⇒ SA/ MCN =
a2 2
1 / .A C.MN, v i A / C = a 3; MN = BC/ = a 2 2 6 . 1 3
0.25
G i H là hình chi u c a B/ trên (A/MCN), ta có: VB/ .A / MCN = .B/ H.SA / MCN
⇒BH=
/
3.VB/ .A/ MCN SA/ MCN
a3 a 2 6 a 6 = 3. : = . 3 2 3
0.25
Câu Cho các s dương a, b, c. Ch ng minh r ng: 2 2 2 6 (1 ( 2a + b + c ) + ( 2b + c + a ) + ( 2c + a + b ) ≤ 8 ñi m) 2 2 2 2a 2 + ( b + c ) 2b 2 + ( c + a ) 2c 2 + ( a + b ) ð t x= 0 < x, y , z < 3 3a 3b 3c ;y= ;z = , khi ñó a+b+c a+b+c a+b+c x+ y+z =3
1.0
x2 + 6 x + 9 y2 + 6 y + 9 z2 + 6z + 9 B t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i: 2 + 2 + 2 ≤8 3x − 6 x + 9 3 y − 6 y + 9 3z − 6 z + 9
t 2 + 6t + 9 25 Xét hàm s f ( t ) = 2 − 11t + , v i t ∈ ( 0;3) 3t − 6t + 9 3 L p b ng bi n thiên: …………………………………………………… t 2 + 6t + 9 25 t 2 + 6t + 9 25 − 11t + ≤0⇔ 2 ≤ 11t − 2 3t − 6t + 9 3 3t − 6t + 9 3 Thay t l n lư t b i x, y, z r i c ng các b t ñ ng th c cùng chi u ta có : T b ng bi n thiên suy ra
0.25
0.25
x2 + 6 x + 9 y2 + 6 y + 9 z2 + 6z + 9 + 2 + 2 ≤ 11( x + y + z ) − 25 = 8 , 3x 2 − 6 x + 9 3 y − 6 y + 9 3z − 6 z + 9
d u b ng x y ra khi x = y = z = 1
0.5
ðpcm
Trong m t ph ng Oxy, cho ñư ng tròn (C) : (x − 1) 2 + (y − 2) 2 = 4 và ñư ng th ng (d) : x + y + 1 = 0. Tìm ñi m M trên (d) sao cho qua ñi m M k ñư c hai ti p tuy n MA, MB phân bi t t i (C), ñ ng th i ñư ng th ng AB ñi qua ñi m D(6; 3). (A, B là hai ti p ñi m) (C) có tâm I(1; 2), R = 2. ð t M(x 0 ; −1 − x 0 ) ∈ (d). ð qua M có hai ti p tuy n t i (C) ⇔ IM 2 > R 2 ⇔ (x 0 − 1) 2 + (x 0 + 3) 2 > 4 ( ñúng ∀x0) - AB chính là giao tuy n chung c a ñư ng tròn (C) và ñư ng tròn ñư ng kính IM.
- Trung ñi m E c a IM có t a ñ E(
1.0
0.25
Câu 7a (1 ñi m)
x0 + 1 1 − x0 ; ) ⇒ Phương trình ñư ng tròn ñư ng kính 2 2 x +1 1 − x 0 2 (x 0 − 1) 2 + (x 0 + 3) 2 D IM là: (x − 0 ) 2 + (y − ) = 2 2 4 A 2x 2 − 4x 0 − 6 ⇔ x 2 + y 2 − (x 0 + 1)x − (1 − x 0 )y + 0 =0 4 0.25
I E M
B
(d)
x 2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0 - T a ñ A, B là nghi m h : 2 2x 2 − 4x 0 − 6 x + y 2 − (x 0 + 1)x − (1 − x 0 )y + 0 =0 4 ⇒ (x 0 − 1)x − (x 0 + 3)y + (x 0 + 3) = 0 ⇒ phương trình AB: (x 0 − 1)x − (x 0 + 3)y + (x 0 + 3) = 0
- Vì AB ñi qua D(6; 3) ⇒ 6(x 0 − 1) − 3(x 0 + 3) + (x 0 + 3) = 0 ⇔ x 0 = 3. (th a mãn) V y M(3; −4). Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho m t ph ng (P) : 2x − y − 2z − 2 = 0 và ñư ng x y +1 z − 2 th ng (d): = = . Vi t phương trình m t c u có tâm thu c ñư ng th ng (d), −1 2 1 cách m t ph ng (P) m t kho ng b ng 2 và c t m t ph ng (P) theo giao tuy n là ñư ng tròn có bán kính b ng 3.
0.25
0.25
1.0
x = −t ðư ng th ng (d) có phương trình tham s là: y = −1 + 2t ; t ∈ R z = 2 + t
Câu G i tâm m t c u là I. Gi s I(−t; −1 + 2t; 2+ t)∈(d). 8a (1 Vì tâm m t c u cách m t ph ng (P) m t kho ng b ng 3 nên: ñi m) 2 t = 3 | −2t + 1 − 2t − 4 − 2t − 2 | | 6t + 5 | d ( I ; ( P )) = = =3⇔ 3 3 t = − 7 3
2 1 8 7 17 1 ⇒ Có hai tâm m t c u: I − ; ; vµ I ; − ; − . Vì m t ph ng (P) c t m t c u 3 3 3 3 3 3 theo ñư ng tròn có bán kính b ng 4 nên m t c u có bán kính là R = 5. V y phương trình m t c u c n tìm là:
0.25
0.25
0.25 0.25
nguon tai.lieu . vn
ð THI TH ð I H C L N 3 NĂM 2013- 2014 MÔN: TOÁN; KH I: A, A1, B (Th i gian làm bài 180 phút, không k th i gian phát ñ
I. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7 ñi m) 1 Câu 1 (2 ñi m) Cho hàm s y = x 4 − 2mx 2 + 2 (1), v i m là tham s . 3 4 a) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (1) khi m = . 3 b) Tìm m ñ ñ th hàm s (1) có ba ñi m c c tr t o thành m t tam giác có tâm ñư ng tròn ngo i ti p trùng g c t a ñ O. 1 Câu 2 (1 ñi m) Gi i phương trình: 8 cos 2 x − 2 cos x − 6 − 2 3 sin x + = 0. cos x y 4 − 4 x + 4 3 xy − 2 x + 9 = 5 Câu 3 (1 ñi m) Gi i h phương trình: 2 2 8 x − 3xy + 4 y + xy = 4 y
ex ex x +1 + x dx . ∫ e +1 0 Câu 5 (1 ñi m) Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ c nh a. M, N l n lư t là trung ñi m c a AB và C’D’. Tính kho ng cách t B’ ñ n (A’MCN). Câu 6 (1 ñi m) Cho các s dương a, b, c. Ch ng minh r ng:
ln 2
Câu 4 (1 ñi m) Tính tích phân: I =
( 2a + b + c ) + ( 2b + c + a ) + ( 2c + a + b ) ≤ 8 2 2 2 2a 2 + ( b + c ) 2b 2 + ( c + a ) 2c 2 + ( a + b )
2 2 2
II. PH N RIÊNG (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n riêng (ph n A ho c ph n B) A. Theo chương trình Chu n Câu 7a (1 ñi m) Trong m t ph ng Oxy, cho ñư ng tròn (C) : (x − 1) 2 + (y − 2) 2 = 4 và ñư ng th ng (d) : x + y + 1 = 0. Tìm ñi m M trên (d) sao cho qua ñi m M k ñư c hai ti p tuy n MA, MB phân bi t t i (C), ñ ng th i ñư ng th ng AB ñi qua ñi m D(6; 3). (A, B là hai ti p ñi m). Câu 8a (1 ñi m) Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x − y − 2z − 2 = 0 và ñư ng x y +1 z − 2 th ng (d): = = . Vi t phương trình m t c u có tâm thu c ñư ng th ng (d), cách m t ph ng (P) −1 2 1 m t kho ng b ng 2 và c t m t ph ng (P) theo giao tuy n là ñư ng tròn có bán kính b ng 3. Câu 9a (1 ñi m) Tìm t p h p các ñi m bi u di n s ph c w = 2 z + 3 − i trên m t ph ng Oxy, bi t s ph c z
th a mãn: 3z + i ≤ z.z + 9 .
2
B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1 ñi m) Trong m t ph ng Oxy, cho ñư ng th ng d: 2 x + y + 3 = 0 và elip ( E ) :
x2 y2 + = 1 . Vi t 4 1 phương trình ñư ng th ng ∆ vuông góc v i d c t ( E ) t i hai ñi m A, B sao cho di n tích tam giác AOB
b ng 1, v i O là g c t a ñ .
Câu 8b (1 ñi m) Trong không gian Oxyz, cho ñư ng th ng d:
x −2 y z +1 = = và hai ñi m A(1; -1; 2), 4 −6 −8 B(3; -4; -2). Tìm ñi m I trên ñư ng th ng d sao cho IA +IB ñ t giá tr nh nh t.
1 5 9 2013 Câu 9b (1 ñi m) Tính t ng S = C2014 + C2014 + C2014 + ... + C2014 .
........................................….. H t …...................................... Thí sinh không ñư c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm. H và tên thí sinh: ……………………………………………… S báo danh: ……….
ðÁP ÁN MÔN TOÁN Lưu ý: ðây ch là m t trong nh ng cách gi i, n u thí sinh làm cách khác ñúng thì v n cho ñi m tương ng. ðI M CÂU 1 Cho hàm s y = x 4 − 2mx 2 + 2 (1), v i m là tham s . 3 1.0 4 a) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (1) khi m = . 3 o 0.25 1 . Tập xác định: D = R , y là hàm số chẵn.
2o. Sự biến thiên: 4 16 * Chiều biến thiên: Ta có y ' = x 3 − x, x ∈ R. 3 3 ⎡ x < −2 ⎡− 2 < x < 0 ⎡x = 0 ; y' < 0 ⇔ ⎢ y' = 0 ⇔ ⎢ ; y' > 0 ⇔ ⎢ ⎣0 < x < 2. ⎣x > 2 ⎣ x = ±2 Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−2; 0) và (2; + ∞) ; nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; − 2) và (0; 2). * Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, giá trị cực đại yCĐ = 2 ; hàm số đạt cực tiểu tại 10 các điểm x = −2 và x = 2, giá trị cực tiểu yCT = − . 3 1 8 2 * Giới hạn tại vô cực: lim y = lim x 4 ( − 2 + 4 ) = +∞. x → ±∞ x → ±∞ x 3 3x
0.25
Câu 1 (2 ñi m)
* Bảng biến thiên:
x −∞ –2 − 0 y' +∞
0 + 0 −
2 0
+∞ + +∞
y
0.25
y
2
− 10 3
−
10 3
2
3o. Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
−2
O
2
x
0.25
−
10 3
b) Tìm m ñ ñ th hàm s (1) có ba ñi m c c tr t o thành m t tam giác có tâm ñư ng tròn ngo i ti p trùng g c t a ñ O.
Ta có y ' = 4 3 4x 2 x − 4mx = ( x − 3m). 3 3
1.0
0.25
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ phương trình y '= 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0. Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A(0; 2), B (− 3m ; 2 − 3m 2 ) và C ( 3m ; 2 − 3m 2 ).
Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa độ O khi và chỉ khi OA = OB = OC ⎡m = 1, m = 0 2 2 2 ⇔ 2 = 3m + (2 − 3m ) ⇔ m(m − 1)(3m + 3m − 1) = 0 ⇔ ⎢ ⎢m = − 3 ± 21 . ⎢ 6 ⎣
Câu 1 (2 ñi m)
0.25
0.25
Kết hợp điều kiện m > 0 ta có giá trị của m là m = 1, m =
− 3 + 21 . 6
0.25
Câu 1 Gi i phương trình: 8 cos 2 x − 2 cos x − 6 − 2 3 sin x + = 0. 2 (1 cos x ñi m) ði u ki n cos x ≠ 0 Phương trình ⇔ 8 cos3 x − 2 cos 2 x − 6 cos x − 2 3 sin x cos x + 1 = 0 ⇔ 2 cos 3 x − 3 sin 2 x − cos 2 x = 0
1.0
0.25
π ⇔ cos 3 x = cos 2 x − 3 π x = − + k 2π 3 ⇔ ,(k ∈ ℤ) x = π + k 2π 15 5 K t h p v i ñi u ki n ta có nghi m c a phương trình là π π k 2π x = − + k 2π ; x = + ,(k ∈ ℤ) 3 15 5 Câu y 4 − 4 x + 4 3 xy − 2 x + 9 = 5 (1) 3 (1 Gi i h phương trình: 2 2 ñi m) ( 2) 8 x − 3 xy + 4 y + xy = 4 y ði u ki n: x ≥ 0, y ≥ 0 . Nh n th y x = y = 0 không th a mãn nghi m c a h phương trình ñã cho.
x > 0 Xét , phương trình (2) ⇔ 8 x 2 − 3 xy + 4 y 2 − 3 y + y>0 ( x − y )( 8 x + 5 y ) + ( x − y ) y = 0 ⇔ xy + y 8 x 2 − 3 xy + 4 y 2 + 3 y
0.25
0.25
0.25
1.0
0.25
(
)
(
xy − y = 0
)
0.25
8x + 5 y y = 0 ⇔ x = y (vì x > 0, y > 0 ) ⇔ ( x − y) + 8 x 2 − 3 xy + 4 y 2 + 3 y xy + y
Thay y = x vào phương trình (1) ta có: x 4 − 4 x + 4 x 2 − 2 x + 9 = 5
3
⇔ 5 − x 4 − 4 x = 4 3 x 2 − 2 x + 9 ≥ 8 (vì 4 3 x 2 − 2 x + 9 = 4 3 ( x − 1) + 8 ≥ 8 )
2
(
)
0.25
⇔ x 4 − 4 x + 3 ≤ 0 ⇔ ( x − 1)
2
(x
2
+ 2 x + 3 ≤ 0 ⇔ x = 1 (vì x > 0 ) 0.25
)
Do ñó x = 1 ⇒ y = 1 . Th l i ta th y th a mãn. x =1 V y h phương trình có nghi m y =1 ln 2 ex Tính tích phân I= ∫ e x x + 1 + x dx e +1 0
ln 2
1.0
0.25 0.25 0.25 0.25
I=
∫
0
Câu ln 2 4 (1 ð t I1= e x ( x + 1) dx = e x ( x + 1) ∫ ñi m) 0
ln 2
ln 2 ln 2 ex e2 x x e x +1+ x dx = ∫ e ( x + 1) dx + ∫ x dx e +1 e +1 0 0
x
ln 2 ln 2 0
−
∫ e dx = 2 ln 2
x 0
ð t I2=
∫
0
e2 x dx =1-ln3+ln2 ex + 1
8 V y I=I1+I2=2ln2+1-ln3+ln2= ln +1 3
Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ c nh a. M, N l n lư t là trung ñi m c a AB và C’D’. Tính kho ng cách t B’ ñ n (A’MCN). D/ C/ N
A/ B/
1.0
D A B C
M
B n tam giác vuông AA / M, BCM, CC/ N, A / D/ N b ng nhau (c.g.c)
⇒ A / M = MC = CN = NA / ⇒ A / MCN là hình thoi.
Câu Hai hình chóp B/A/MCN và B/.A/NC có chung ñư ng cao v t ñ nh B/ và 5 (1 S / = 2.SA/ NC nên: VB/ .A / MCN = 2.VB/ .A/ NC. A MCN ñi m) Mà: VB/ .ANC = VC.A/ B/ N Ta có: SA / MCN =
0.25
1 1 1 a3 a3 / = .CC .SA/ B/ N = .a. .a.a = ⇒ VB/ .A/ MCN = . 3 3 2 6 3
0.25
⇒ SA/ MCN =
a2 2
1 / .A C.MN, v i A / C = a 3; MN = BC/ = a 2 2 6 . 1 3
0.25
G i H là hình chi u c a B/ trên (A/MCN), ta có: VB/ .A / MCN = .B/ H.SA / MCN
⇒BH=
/
3.VB/ .A/ MCN SA/ MCN
a3 a 2 6 a 6 = 3. : = . 3 2 3
0.25
Câu Cho các s dương a, b, c. Ch ng minh r ng: 2 2 2 6 (1 ( 2a + b + c ) + ( 2b + c + a ) + ( 2c + a + b ) ≤ 8 ñi m) 2 2 2 2a 2 + ( b + c ) 2b 2 + ( c + a ) 2c 2 + ( a + b ) ð t x= 0 < x, y , z < 3 3a 3b 3c ;y= ;z = , khi ñó a+b+c a+b+c a+b+c x+ y+z =3
1.0
x2 + 6 x + 9 y2 + 6 y + 9 z2 + 6z + 9 B t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i: 2 + 2 + 2 ≤8 3x − 6 x + 9 3 y − 6 y + 9 3z − 6 z + 9
t 2 + 6t + 9 25 Xét hàm s f ( t ) = 2 − 11t + , v i t ∈ ( 0;3) 3t − 6t + 9 3 L p b ng bi n thiên: …………………………………………………… t 2 + 6t + 9 25 t 2 + 6t + 9 25 − 11t + ≤0⇔ 2 ≤ 11t − 2 3t − 6t + 9 3 3t − 6t + 9 3 Thay t l n lư t b i x, y, z r i c ng các b t ñ ng th c cùng chi u ta có : T b ng bi n thiên suy ra
0.25
0.25
x2 + 6 x + 9 y2 + 6 y + 9 z2 + 6z + 9 + 2 + 2 ≤ 11( x + y + z ) − 25 = 8 , 3x 2 − 6 x + 9 3 y − 6 y + 9 3z − 6 z + 9
d u b ng x y ra khi x = y = z = 1
0.5
ðpcm
Trong m t ph ng Oxy, cho ñư ng tròn (C) : (x − 1) 2 + (y − 2) 2 = 4 và ñư ng th ng (d) : x + y + 1 = 0. Tìm ñi m M trên (d) sao cho qua ñi m M k ñư c hai ti p tuy n MA, MB phân bi t t i (C), ñ ng th i ñư ng th ng AB ñi qua ñi m D(6; 3). (A, B là hai ti p ñi m) (C) có tâm I(1; 2), R = 2. ð t M(x 0 ; −1 − x 0 ) ∈ (d). ð qua M có hai ti p tuy n t i (C) ⇔ IM 2 > R 2 ⇔ (x 0 − 1) 2 + (x 0 + 3) 2 > 4 ( ñúng ∀x0) - AB chính là giao tuy n chung c a ñư ng tròn (C) và ñư ng tròn ñư ng kính IM.
- Trung ñi m E c a IM có t a ñ E(
1.0
0.25
Câu 7a (1 ñi m)
x0 + 1 1 − x0 ; ) ⇒ Phương trình ñư ng tròn ñư ng kính 2 2 x +1 1 − x 0 2 (x 0 − 1) 2 + (x 0 + 3) 2 D IM là: (x − 0 ) 2 + (y − ) = 2 2 4 A 2x 2 − 4x 0 − 6 ⇔ x 2 + y 2 − (x 0 + 1)x − (1 − x 0 )y + 0 =0 4 0.25
I E M
B
(d)
x 2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0 - T a ñ A, B là nghi m h : 2 2x 2 − 4x 0 − 6 x + y 2 − (x 0 + 1)x − (1 − x 0 )y + 0 =0 4 ⇒ (x 0 − 1)x − (x 0 + 3)y + (x 0 + 3) = 0 ⇒ phương trình AB: (x 0 − 1)x − (x 0 + 3)y + (x 0 + 3) = 0
- Vì AB ñi qua D(6; 3) ⇒ 6(x 0 − 1) − 3(x 0 + 3) + (x 0 + 3) = 0 ⇔ x 0 = 3. (th a mãn) V y M(3; −4). Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho m t ph ng (P) : 2x − y − 2z − 2 = 0 và ñư ng x y +1 z − 2 th ng (d): = = . Vi t phương trình m t c u có tâm thu c ñư ng th ng (d), −1 2 1 cách m t ph ng (P) m t kho ng b ng 2 và c t m t ph ng (P) theo giao tuy n là ñư ng tròn có bán kính b ng 3.
0.25
0.25
1.0
x = −t ðư ng th ng (d) có phương trình tham s là: y = −1 + 2t ; t ∈ R z = 2 + t
Câu G i tâm m t c u là I. Gi s I(−t; −1 + 2t; 2+ t)∈(d). 8a (1 Vì tâm m t c u cách m t ph ng (P) m t kho ng b ng 3 nên: ñi m) 2 t = 3 | −2t + 1 − 2t − 4 − 2t − 2 | | 6t + 5 | d ( I ; ( P )) = = =3⇔ 3 3 t = − 7 3
2 1 8 7 17 1 ⇒ Có hai tâm m t c u: I − ; ; vµ I ; − ; − . Vì m t ph ng (P) c t m t c u 3 3 3 3 3 3 theo ñư ng tròn có bán kính b ng 4 nên m t c u có bán kính là R = 5. V y phương trình m t c u c n tìm là:
0.25
0.25
0.25 0.25