Xem mẫu
- www.VNMATH.com
S GD& T B c Giang THI TH IH CL N1
Tr ng THPT L c Ng n s 1 N M H C 2013 - 2014
Môn: Toán - kh i A, A1, B, D.
chính th c Th i gian làm bài 180 phút, không k th i gian phát
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7 i m)
Câu 1 (2 i m). Cho hàm s y = 2 x3 − 3(2m + 1) x2 + 6m(m + 1) x + 1 có th (1).
a) Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1) khi m = 0.
b) Tìm m hàm s (1) ng bi n trên kho ng (2;+∞ )
cos 2 x + cos3 x − 1
Câu 2 (1 i m). Gi i ph ng trình sau: cos 2 x − tan 2 x =
cos 2 x
Câu 3 (1 i m). Gi i ph ng trình sau: 7 - x 2 + x x + 5 = 3 - 2x - x 2 (x ∈ R)
Câu 4 (1 i m). Tìm m h ph ng trình sau có 3 c p nghi m th c phân bi t:
3( x + 1)2 + y = m
xy = 1 − x
Câu 5 (1 i m). Cho hình chóp t giác S.ABCD có áy là hình ch nh t, SA vuông góc v i áy, G
là tr ng tâm tam giác SAC, m t ph ng (ABG) c t SC t i M, c t SD t i N. Tính th tích c a kh i
a di n MNABCD bi t SA=AB=a và góc h p b i ng th ng AN và mp(ABCD) b ng 300 .
Câu 6 (1 i m) Cho x,y,z tho mãn là các s th c: x 2 - xy + y 2 = 1 .Tìm giá tr l n nh t và giá tr
nh nh t c a bi u th c:
x 4 + y4 + 1
P=
x 2 + y2 + 1
II. PH N RIÊNG (3 i m): Thí sinh ch c làm m t trong hai ph n ( Ph n A ho c ph n B).
A. Theo ch ng trình chu n
Câu 7a (1 i m). Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC v i AB = 5 , C(-1;-1), ng th ng
AB có ph ng trình: x + 2y – 3 = 0 và tr ng tâm tam giác ABC thu c ng th ng d:
x + y – 2 = 0 . Tìm to !nh A và B.
Câu 8a (1 i m). Trong m t ph ng v i h to Oxy, cho ng tròn (C): x 2 + y 2 - 4x - 4y + 4=0
và ng th ng d có ph ng trình: x + y - 2=0 . Ch ng minh r ng d luôn c t (C) tai hai i m phân
bi t A và B. Tìm to i m M trên ng tròn (C) sao cho di n tích tam giác MAB l n nh t.
Câu 9a (1 i m). Cho khai tri n: (1 + x + x 2 ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 +...+a 24 x 24 . Tính a 4 .
12
B. Theo ch ng nâng cao
Câu 7b (1 i m). Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC bi t B(2;-1), ng cao và phân giác
trong qua !nh A và C l"n l t có ph ng trình: 3x – 4y + 27 = 0 và x + 2y – 5 = 0. Vi t ph ng
trình các c nh c a tam giác ABC.
Câu 8b (1 i m). Trong m t ph ng Oxy, vi t ph ng trình chính t c c a Elíp (E), bi t r ng tâm sai
5
c a (E) b ng và hình ch nh t c s có di n tích b ng 24.
3
Câu 9b (1 i m). M t h p ng 15 viên bi, trong ó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi . L y ng#u
nhiên 3 viên bi (không k th t ra kh i h p). Tính xác xu t trong 3 viên bi l y ra có ít nh t 1
viên bi .
............H t...........
Chú ý: Giáo viên coi thi không gi i thích gì thêm.
H và tên thí sinh:.......................................................S bao danh:........................
- www.VNMATH.com
H NG D N CH M VÀ CHO I M
Môn: Toán (Thi Th H l n 1 - N m h c 2013 - 2014)
Câu N i dung c b n i m
Câu 1 Cho hàm s y = 2 x3 − 3(2m + 1) x2 + 6m(m + 1) x + 1 có th (Cm).
2 a) Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s khi m = 0.
b) Tìm m hàm s ng bi n trên kho ng (2;+∞ )
a V i m = 0 ta có: y = 2x – 3x2 + 1
3
(1 ) *TX : R
* Gi i h n: lim y = +∞; lim y = −∞
x →+∞ x →−∞
*S bi n thiên:
Ta có y’ = 6x2 – 6x =6x(x-1) = 0 x = 0; x= 1
0.5
x -∞ 0 1 +∞
y’ + 0 - 0 +
1 +∞
y
-∞ 0
* k t lu n ng bi n, ngh ch bi n và c c tr . 0.25
* Ch! ra to i m u n U(1/2;1/2), Hs có th b qua b c này
*V th :
0,25
1
1
O
b y = 2 x3 − 3(2m + 1) x2 + 6m(m + 1) x + 1 y ' 6 x 2 − 6(2m + 1) x + 6m(m + 1)
=
(1 ) 0.5
y’ có ∆ = (2m + 1) 2 − 4(m 2 + m) = 1 > 0
x=m
y' 0 ⇔
=
x = m +1 0.25
- www.VNMATH.com
Hàm s ng bi n trên (2;+∞ ) ⇔ y ' 0 ∀x > 2 ⇔ m + 1 ≤ 2 ⇔ m ≤ 1
>
m ≤1
0.25
Câu 2 cos 2 x + cos3 x − 1
1 Gi i ph ng trình sau: cos 2 x − tan 2 x =
cos 2 x
K cosx $ 0, pt c av
cos 2 x − tan x = 1 + cos x − (1 + tan 2 x) ⇔ 2cos 2 x − cos x -1 = 0
2
0.5
Gi i ti p c cosx = 1 và cosx = 0,5 r i i chi u k a ra S:
2π 2π 0.5
x = k 2π , x = ± + k 2π ; hay x = k .
3 3
Câu 3 Gi i ph ng trình sau: 7 - x 2 + x x + 5 = 3 - 2x - x 2 (x ∈ R)
1
3 − 2 x − x2 ≥ 0 0.25
PT ⇔
7 − x2 + x x + 5 = 3 − 2 x − x2
3 − 2 x − x2 ≥ 0 0.25
⇔
x x + 5 = −2( x + 2)
0.25
−3 ≤ x ≤ 1
−2 ≤ x < 0
⇔ x≠0 ⇔
( x + 1) ( x 2 − 16 ) = 0
x+2
x + 5 = −2.
x
⇔ x = −1 0.25
V y ph ng trình ã cho có m t nghi m x = - 1.
Câu 4 Tìm m h ph ng trình sau có 3 c p nghi m th c phân bi t:
1 3( x + 1) 2 + y = m, (1)
xy = 1 − x, (2)
x ≤1
1− x ≥ 0
(2) 1 ( do x = 0 không là nghi m) 0,25
xy = (1 − x)2 y= −2+ x
x
1
Th vào (1) ta có: 3( x + 1)2 + − 2 + x = m , (3)
x
1 0,5
Xét hàm s f(x) = 3( x + 1) 2 + − 2 + x trên ( −∞;1] , l p b ng bi n thiên.
x
L p lu n c m%i giá tr x trên ( −∞;1] thì có duy nh t 1 giá tr y, nên (3) có 3
nghi m phân bi t
20 0,25
< m ≤ 12
KL: 3
−15
< m < −4
4
- www.VNMATH.com
Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c nh b ng a. m t bên SAB là
1 tam giác vuông cân nh S và n m trong m t ph ng vuông góc v i m t
ph ng áy. Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD và tính kho ng cách
gi a hai ng th ng AB và SD.
+ Trong mp(SAC) k& AG c t SC t i M, trong mp(SBD) k& BG c t SD t i
N.
S
+ Vì G là tr ng tâm tam giác
ABC nên d' có
SG 2
= suy ra G c(ng là tr ng
SO 3
N
tâm tam giác SBD.
T) ó suy ra M, N l"n l t là
trung i m c a M
G
SC, SD. A D
1 1
+ D' có: VS . ABD = VS .BCD = VS . ABCD = V .
2 2
O
Theo công th c t* s th tích ta có:
B C
VS . ABN SA SB SN 1 1 1
= . . = 1.1. = VS . ABN = V
VS . ABD SA SB SD 2 2 4
0,5
VS .BMN SB SM SN 1 1 1 1
= . . = 1. . = VS . BMN = V
VS .BCD SB SC SD 2 2 4 8
T) ó suy ra:
3
VS . ABMN = VS . ABN + VS . BMN = V .
8
1
+ Ta có: V = SA.dt ( ABCD ) ; mà theo gi thi t SA ⊥ ( ABCD) nên góc h p
3
b i AN v i mp(ABCD) chính là góc NAD , l i có N là trung i m c a SC
nên tam giác NAD cân t i N, suy ra NAD = NDA = 300. Suy ra:
SA
AD = =a 3.
tan 300
1 1 3
Suy ra: V = SA.dt ( ABCD) = a.a.a 3 = a3 .
3 3 3
3 5 5 3a 3
Suy ra: th tích c"n tìm là: VMNABCD = VS . ABCD − VS . ABMN = V − V = V = . 0,5
8 8 24
Câu 6 Cho x,y,z tho mãn là các s th c: x 2 - xy + y 2 = 1 .Tìm giá tr l n nh t và giá
1 tr nh nh t c a bi u th c:
x 4 + y4 + 1
P=
x 2 + y2 + 1
0,25
- www.VNMATH.com
1 = x 2 − xy + y 2 ≥ 2 xy − xy = xy
1 = ( x + y ) 2 − 3 xy ≥ −3 xy
1
− ≤ xy ≤ 1
3
x 2 − xy + y 2 = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1 + xy
x 4 + y 4 = − x 2 y 2 + 2 xy + 1
! #
" $%# $$ & 0,25
− t 2 + 2t + 2 1
P = f (t ) = ;− ≤ t ≤ 1
t+2 3
6 t = 6 −2
' f 't ) = 0 ⇔ −1 +
( =0⇔ 0,25
(t + 2) 2
t = − 6 − 2(l )
1
( " )* + [ − ;1] ,&
3
−1
f( ) % f ( 6 − 2) % f (1) -
3 0,25
1 11
MaxP = f ( 6 − 2) = 6 − 2 6 % min P = f (− ) =
3 15
Câu Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC v i AB = 5 , C(-1;-1), ng
7a th ng AB có ph ng trình: x + 2y – 3 = 0 và tr ng tâm tam giác ABC thu c
(1 ) ng th ng d: x + y – 2 = 0 . Tìm to nh A và B.
* Gi s+ A(3-2a ; a); B(3 - 2b; b) 0,25
* Tính tr ng tâm tam giác G. Vì G thu c d nên ta có: 0,25
* M t khác AB = 5 .
3 1 3 1 0,5
* T) ó gi i h ta c: A 6; − ; B 4; − ho c B 6; − ; A 4; −
2 2 2 2
Câu Trong m t ph ng v i h to Oxy, cho ng tròn (C):
8a x + y - 4x - 4y + 4=0 và
2 2
ng th ng d có ph ng trình: x + y - 2=0 . Ch ng
(1 ) minh r ng d luôn c t (C) tai hai i m phân bi t A và B. Tìm to i mM
trên ng tròn (C) sao cho di n tích tam giác MAB l n nh t.
0,25
* Ch! ra (C) có tâm I(2;2), R = 2.
C
*T a giao i m d và (C) là nghi m h :
x2 + y 2 − 4 x − 4 y + 4 = 0
I
x+ y−2 = 0 1 H
Gi i h tìm c A(0;2); B(2;0) 1
Hay d luôn c t (C) t i hai i m phân bi t A và B 0,25
- www.VNMATH.com
1 0,25
* Ta có S ∆ABC = AB.CH ( H là hình chi u C trên AB), S ∆ABC max CH max
2
C = ∆ ∩ (C )
D' th y ( ∆ ) có pt: y =x
xc > 2
Gi i h tìm (
c C 2 + 2; 2 + 2 ) 0,25
Câu Cho khai tri n: (1 + x + x 2 ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 +...+a 24 x 24 . Tính a 4 .
12
9a
(1 )
* Xét s h ng t,ng quát c a khai tri n: C12 ( x + x 2 )n .
n
0,25
* khai tri n ( x + x 2 ) có s h ng t,ng quát: Cnk x n − k .x 2 k
n
=> s h ng t,ng quát c a khai tri n ã cho có d ng:
C12 . Cn x n − k .x 2 k (0 ≤ k ≤ n ≤ 12) .
n k
* S h ng ch a x4 khi n + k = 4, v i k trên ta tìm c 0,25
( k , n) ∈ {(0; 4);(1;3);(2; 2)} . 0,25
Thay vào ta c: a4 = 1221 0,25
Câu Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC bi t B(2;-1), ng cao và phân
7b giác trong qua nh A và C l n l t có ph ng trình: 3x – 4y + 27 = 0 và
(1 ) x + 2y – 5 = 0. Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABC.
* Ph ng trình c nh BC: 4x+3y-5=0
4x + 3y − 5 = 0
*T a C là nghi m h : =>C(-1;3)
x + 2y −5 = 0
* G i B' i m i x ng c a B qua CD => B' AC
là ∈ 0,5
* Tìm c B' ph ng trình AC: y = 3.
=> A
* Tìm c A(-5;3)
* Vi t c pt AB: 4x+7y-1=0. D
0,25
KL: 0,25
H C
B
Câu Trong m t ph ng Oxy, vi t ph ng trình chính t c c a Elíp (E), bi t r ng
8b 5
(1 ) tâm sai c a (E) b ng và hình ch nh t c s có di n tích b ng 24
3
x2 y 2
Gi s+ ptct (E): + = 1, (a > b > 0)
a 2 b2
c a 2 − b2 5 0,5
T) gi thi t ta có e = = = 2a=3b, (1)
a a 3
M t khác hình ch nh t c s có chi u dài b ng 2a, chi u r ng 2b nên ta có:
2a.2b= 24 a.b = 6, (2) 0,25
Gi i h (1) và (2) tìm c a = 3, b= 2.
x2 y2 0,25
KL: + =1
9 4
Câu M t h p ng 15 viên bi, trong ó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi . L y
9b ng u nhiên 3 viên bi (không k th t ra kh i h p). Tính xác xu t trong 3
(1 ) viên bi l y ra có ít nh t 1 viên bi .
- www.VNMATH.com
* S ph"n t+ không gian m#u: n ( Ω ) = C15 = 455
3 0,25
* Xét A là bi n c "c 3 viên c ch n màu xanh": => n(A) = C73 =35
35 1 0,25
* Xác su t c a bi n c A: P( A) = =
455 13
* Xét B là bi n c "có ít nh t 1 bi c ch n" 0,5
12
P(B) = 1- P(A) =
13
KL:
Chú ý:
- Trên ây ch là áp án v n t t và h ng d n cho i m. H c sinh ph i l p lu n ch t ch
m i cho i m t i a.
- H c sinh gi i cách khác úng v n cho i m t i a theo thang i m.
nguon tai.lieu . vn
