Xem mẫu
- Sở GD & ĐT Hưng Yên ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 LẦN I
Trường THPT Trần Hưng Đạo Môn: Toán - Thời gian: 150 phút
Đề Bài
Bài 1(2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = (| x | +1) 2 .(| x | −1) 2
2) Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị
(C).
Bài 2(3 điểm)
( x − 1)( y − 1)( x + y − 2) = 6
( x, y ﾡ)
1) Giải hệ phương trình:
x2 + y2 − 2x − 2 y − 3 = 0
2) Giải phương trình sau: sin x + cos x = cos 2 x.(2 cos x − sin x) , ( với x
3 3
ﾡ)
3) Tìm m thực để phương trình sau có hai nghiêm thực phân biệt:
(m − 1).log1/ 2 ( x − 2) − ( m − 5) log1/ 2 ( x − 2) + m − 1 = 0
2
Bài 3(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC =a > 0) và các
cạnh SA= SB = SC = 3a. Trên cạnh SA, SB lấy điểm M, N sao cho SM = BN = a.
Tính thể tích khối chóp SMNC.
Bài 4(2 điểm)
1
x.ln(1 + x 2 )dx
1) Tính tích phân sau:
0
2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(3; 1) lập phương trình đường thẳng
d qua A và cắt chiều dương của trục Ox, Oy lần lượt tại P, Q sao cho diện tích
tam giác OPQ nhỏ nhất.
Bài 5(2 điểm)
x =1+ t
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d1 : y = 1 + 2t ; (t ﾡ)
z = 1 + 2t
Đường thẳng d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 = 0 và
(Q): 2x + y + 2z – 5 = 0
1) Chứng minh rằng d1, d2 cắt nhau tại I, viết phương trình mặt phẳng chứa d1và
d2
2) Viết phương trình đường thẳng d3 qua A(2; 3; 1) tạo với hai đường thẳng d1và
d2 tam giác cân đỉnh I.
Hết
- Đáp Án vắn tắt
Bài 1: 1) khảo sát hàm số : y = x - 2x2 + 1 ( C)
4
2) Gọi A(a:0) là điểm trên trục hoành mà từ A kẻ được đến ( C) ba tiếp tuyến
Phương trình đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k là d: y = k(x-a)
d là tiếp tuyến của ( C) khi hệ pt sau có nghiệm
� 4 − 2 x 2 + 1 = k ( x − a) � 4 x3 − 4 x = k
x
� �4
� 4x − 4x = k � − 2 x + 1 = (4 x − 4 x)( x − a )
3 2 3
x
Phương trình
x2 − 1 = 0
x − 2 x + 1 = (4 x − 4 x)( x − a ) � ( x − 1)( x − 4ax + 1) = 0 � 2
4 2 3 2 2
x − 4ax + 1 = 0(*)
Mà x2 – 1 = 0 cho ta hai x nhung chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1: y = 0. Vì
vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C) thì phương trình (*) phải có 2 nghiếm pb
x khác 1
� �
3 3
�
a a
2 hoÆc
KQ: � �2
� a −1 �a 1
� �
Bài 2: 1) kq (3;2) hoặc (2;3)
π
x = + kπ
2
π
x = − + lπ ( k , l , m ﾡ )
2) kq
4
1
x = arctan + mπ
2
7
3) kq m � −3;1) �(1; )
(
3
Bài 3: +) Chân đường cao hạ từ đỉnh S là trung điểm của AC
34 3
+) Kq a (dvtt )
54
1
Bài 4: 1) Kq ln 2 −
2
xy
2) Kq + = 1
62
Bài 5: 1) Hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại I(1;1;1) và mặt phẳng chứa hai đường
thẳng chính là mặt phẳng (P)
2) Gọi B là giao của d1 và d3 ( đk: B khác I). C là giao của d2 vàd3 (đk: C khác I)
Ta có B(1 + t;1 +2 t;1 + 2t), C(1 + t’;1 +2 t’;1 -2 t’) Với đk: t .t ' 0
Từ điều kiện A,B,C thẳng hàng ta đi tìm toạ độ B, C. Từ đó đưa ra phương trình của
d3
- Sở GD & ĐT Hưng Yên ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 LẦN 2
Trường THPT Trần Hưng Đạo Môn: Toán - Thời gian: 180 phút
Đề Bài
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: y = x − 3 ( m + 1) x + 9 x + m − 2 (1) có đồ thị là (Cm)
3 2
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1.
2) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với
1
nhau qua đường thẳng y = x .
2
Câu II: (2,5 điểm)
( )
1) Giải phương trình: sin 2 x ( cos x + 3 ) − 2 3cos x − 3 3cos2 x + 8 3 cos x − s inx − 3 3 = 0
3
.
1 �1 �
log 2 ( x 2 + 4 x − 5 ) > log 1 �
2) Giải bất phương trình : .
�
2 � +7�
2 x
π
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=x.sin2x, y=2x, x= .
2
Câu III: (2 điểm)
1) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp v ới
đáy một góc là 450. Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là
uuu
r 1 uuur
AH . gọi K là trung điểm AA’, ( α ) là mặt phẳng chứa HK và song song với
H sao cho AP =
2
VABCKMN
BC cắt BB’ và CC’ tại M, N. Tính tỉ số thể tích .
VA ' B 'C ' KMN
6
a2 + a − =5
a +a 2
2) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức:
a 2b 2 + ab 2 + b ( a 2 + a ) − 6 = 0
Câu IV: (2,5 điểm)
1) Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy
được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n là nghi ệm c ủa h ệ
sau:
9 19 1
Cm −2 + Cn +3 + <
m 2
Am
22
Pn −1 = 720
x2 y 2
+ = 1 (E), viết phương trình đường thẳng
2 ) Cho Elip có phương trình chính tắc
25 9
song song Oy và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho AB=4.
3) Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2 biết:
x = 2+t
x −1 y − 2 z −1
d1 : y = 2 + t = =
d2 :
2 1 5
z = 3−t
- Câu V: (1®iÓm) Cho a, b, c 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a3 b3 c3
P= + +
1 + b2 1 + c2 1+ a2
……………………Hết………………………
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2
Bài
1
Khi m = 1 ta có hàm số: y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1
• BBT:
x -∞ +∞
1 3
1đ
1 /
y + 0 - 0 +
+∞
3
y
-∞ 1
2 y ' = 3 x 2 − 6(m + 1) x + 9
Để hàm số có cực đậi, cực tiểu:
∆' = 9(m + 1) 2 − 3.9 > 0 ⇔ m ∈ (−∞ ;−1 − 3 ) ∪ (−1 + 3;+ ∞ )
m +1 2
( )
1
Ta có y = x − 3 x − 6(m + 1) x + 9 − 2(m + 2m − 2) x + 4m + 1
2
3 3
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
y = −2(m 2 + 2m − 2) x + 4m + 1
1
Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt y = x ta có điều kiện cần là
2
m = 1
[− 2(m ]
1
+ 2m − 2) . = −1 ⇔ m 2 + 2m − 3 = 0 ⇔
2
m = −3
2
1đ
Khi m = 1 ⇒ ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là:y = - 2x + 5. Tọa độ trung điểm
x1 + x 2 4
2 = 2 =2
CĐ và CT là:
y1 + y 2 = − 2( x1 + x2 ) + 10 = 1
2
2
1
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng y = x ⇒ m = 1 tm .
2
⇒ ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11.
Khi m = -3
⇒ m = −3 không thỏa mãn.
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài
2
phương trình đưa về:
1
- ⇔ ( 3 cos x − sin x)(−2 cos 2 x − 6 cos x + 8) = 0
π 1đ
tan x = 3 x = 3 + kπ , k ∈ Ζ
⇔
3 cos x − sin x = 0
⇔ 2 ⇔ cos x = 1
x = k 2π
cos x + 3 cos x − 4 = 0
cos x = 4(loai )
2
x ∈ (−∞ ;−5) ∪ (1;+ ∞
x 2 + 4x − 5 > 0 )
⇔ ⇒ x ∈ (−7;−5) ∪ (1 + ∞)
Đk: 0.75đ
x > −7
x + 7 > 0
− 27
1
Từ pt ⇒ log 2 ( x + 4 x − 5) > − 2 log 2 � log 2 ( x 2 + 4 x − 5) > log 2 ( x + 7) 2 � x <
2
x+ 7 5
− 27
Kết hợp điều kiện: Vậy BPT có nghiệm: x ∈ (−7; )
5
Ta có: x.sin2x = 2x ⇔ x.sin2x – 2x = 0 ⇔ x(sin2x – 2) =0 ⇔ x = 0
3
Diện tích hình phẳng là:
π π
∫ ∫
S= ( x.sin 2 x − 2 x )dx = x(sin 2 x − 2)dx
2
2
0 0
0.75đ
du = dx
u = x π π2 π2 π2 π
⇔S= − + = − (đvdt)
⇒ − cos 2 x
Đặt
dv = (sin 2 x − 2)dx v = − 2x 42 4 44
2
Bài
3
1 Gọi Q, I, J lần lượt là trung điểm B’C’, BB’, CC’
a3 A'
ta có: AP = C'
2
⇒ AH = a 3 Q
Vì ∆' AHA' vuông cân tại H. B'
Vậy A' H = a 3
K
1 a 3 a2 3 J
= a. =
Ta có S ABC
2 2 4
(đvdt)
N
a 2 3 3a 3 E
I
⇒ V ABCA'B 'C ' = a 3. = (đ vt
A 45
4 4 C
t) (1) M
Vì ∆' AHA' vuông cân P
⇒ HK ⊥ AA' ⇒ HK ⊥ ( BB ' C ' C ) 1đ
B
G ọi E = MN ∩ KH ⇒ BM =
H
PE = CN (2)
mà AA’ = A' H 2 + AH 2 = 3a 2 + 3a 2 = a 6
a6 a6
⇒ AK = ⇒ BM = PE = CN =
2 4
- 1
V = S MNJI .KE
3
Ta có thể tích K.MNJI là:
1 1 a6
KE = KH = AA ' =
2 4 4
2
1 a2 6 a 6 a3
a6 a 6
S MNJI = MN .MI = a. = (dvdt ) � VKMNJI = = (dvtt )
4 4 34 4 8
3 3
3a a
−
VABCKMN 1
= 2 83 =
8
�
VA ' B ' C ' KMN 3a a 2
+
8 8
2 ĐK: a + a ≠ 0
2
a 2 + a = −1
Từ (1) ⇔ (a + a) − 5(a + a ) − 6 = 0 ⇔ 2
2 2 2
a + a = 6
Khi a + a = −1 thay vào (2)
2
−1 − 23.i − 1 − 3i
b= a =
2 2
; a + a +1 = 0 ⇔
� −b 2 − b − 6 = 0 � 2
− 1 + 3i
−1 + 23.i
a =
b=
2
2
−1 + 5
b=
a = −3 2
Khi a 2 + a = 6 ⇔ Thay vào (2) � 6b + 6b − 6 = 0 �
2
a = 2 −1 − 5
b=
2
− 1 − 23i − 1 − 3i − 1 − 23i − 1 + 3i
Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là: ,
; ;
2 2 2
2
− 1 + 23i − 1 − 3i − 1 + 23i − 1 − 3i − 1+ 5 − 1− 5 − 1+ 5 − 1− 5
, ; − 3; , − 3; , 2; , 2;
; ;
2 2 2 2 2 2
2 2
Bài m −2 9 19 1
C m + cn+3 + < Am
2
4 1) Từ (2): (n − 1)!= 720 = 6!⇔ n − 1 = 6 ⇔ n = 7 Thay n = 7
22
Pn−1 = 720
m(m − 1) 9 19
⇔ + 45 + < m
2 22
⇔ 9 < m < 11 vì m ∈ Ζ ⇒ m = 10
vào (1)
⇔ m − m + 90 + 9 < 19m
2
⇔ m 2 − 20m + 99 < 0
Vậy m = 10, n = 7. Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, để
lấy được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau:
TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có:
C 7 .C10 = 1575 cách
3 2
TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có:
C74 .C10 = 350 cách
1
TH3: 5 bông hồng nhung có:
C7 = 21 cách
5
⇒ có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách.
- Số cách lấy 4 bông hồng thường
C = 6188
5
17
1946
⇒P= ≈ 31,45%
6188
2) Gọi ptđt // Oy là: x = a (d) tung độ giao điểm (d) và Elip là:
a2 y2
+ =1
25 − a 2
25 9 3
⇒ y 2 = 9. ⇒ y=± 25 − a 2
25 − a
2 2 2
y a 25 5
⇔ = 1− =
9 25 25
3 2 2
3
Vậy A a; 25 − a , B a;− 25 − a
5 5
6 10 100 100 125
AB = 0; 25 − a 2 ; � 25 − a 2 = � 25 − a 2 = � a 2 = 25 − =
5 3 9 9 9
−5 5
55 55
Vậy phương trình đường thẳng: x =
⇒a=± ,x =
3 3 3
x = 1 + 2t '
3)đường thẳng d2 có PTTS là: y = 2 + t '
z = 1 + 5t '
r
⇒ vectơ CP của d1 và d2 là: ud1 = (1;1; −1), ud2 = (2;1;5)
r rr
⇒ VTPT của mp( α ) là nα = �d1 .ud2 � (6; −7; −1)
=
u
� �
⇒ pt mp( α ) có dạng 6x – 7y – z + D = 0
Đường thẳng d1 và d2 lần lượt đi qua 2đ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1)
� d ( M , (α )) = d ( N , (α ))
|12 − 14 − 3 + D |=| 6 − 14 − 1 + D |
�| −5 + D |=| −9 + D |� D = 7
Vậy PT mp( α ) là: 3x – y – 4z + 7 = 0
Bài 5
a3 b3 c3
+ b2 + + c2 + + a2
Ta có: P + 3 =
1+ b 1+ c 1+ a
2 2 2
1+ b
3 2 2
1 + c2
b3 b2
6 a a
⇔ P+ = + + + + +
42 42
2 1+ b2 2 1+ b2 42
2 1 + c2 2 1 + c2
1+ a2
c3 c2 a6 b6 c6
+ + +
≥ 33 + 33 + 33
2 1+ a2 2 1+ a2 4 2 16 2 16 2 16 2
3 3 9 9 3 9 3 3
⇒ P+ ≥ (a 2 + b 2 + c 2 ) = 6 ⇒ P ≥ − = − =
22 222 28 22 22 22 2
6 3
3
22
Để PMin khi a = b = c = 1
nguon tai.lieu . vn
