Xem mẫu
PHÒNG GDĐT ĐỨC THỌ
o0o
ĐỀ THI KIỂM TRA NĂNG LỰC
HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 20132014
Môn: Toán Thời gian: 120 phút
Bài 1: a) Tìm các chữ số x, y sao cho 2013xy72
b) Đa thức bậc bốn f(x) thỏa mãn f(1) = 2035; f(2) = 2221; f(0) = 2013 và f(x) = f(x). Tính f(3)
c) Độ dài 3 cạnh của một tam giác tỷ lệ với 2, 3, 4. Hỏi ba chiều cao tương ứng với 3 cạnh đó tỷ lệ với 3 số nào ?
Giải: a) Ta có 72 = 9. 8 và (9; 8) = 1. Do đó 2013xy72 2013xy chia hết cho 8, cho 9 2013xy8�3xy8�(300+xy)8�(4+xy)8
xy {04;12;20;28;36;44;52;60;68;76;84;92} (1)
2013xy9�(6+x+ y)9 (2). Từ (1) và (2) ta tìm được (x;y) {(1;2);(8;4)}
b) Đa thức bậc bốn có dạng f (x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx+e, theo bài ra f(x) = f(x) do đó
ax4 +bx3 +cx2 +dx+e = ax4 bx+ cx2 d+x e � bx+3 d=x 0 Vậy f (x) = ax4 +cx2 +e với f(1) = 2035; f(2) = 2221; f(0) = 2013
a+c+e = 2035 a+c = 22 a =10
16a+4c+e = 2221� 4a+c =52 � c =12 f (x) =10x4 +12x2 +2013 e = 2013 e = 2013 e = 2013
f (3) =10.34 +12.32 +2013= 2931
c) Gọi độ dài 3 cạnh của một tam giác là a, b, c. Diện tích là S và 3 chiều cao tương ứng là x, y, z
ta có: a = 2S;b = 2S;c = 2S . Vì 3 cạnh tỷ lệ với 2, 3, 4 nên
a b c 2S 2S 2S
2 3 4 2x 3y 4z
� 2x =3y = 4z� 3 = 2;4 = 3 � 6 = 4 = 3 . Vậy ba chiều cao tỷ lệ với 6, 4, 3 5x+4y
Bài 2: a) Giải hệ phương trình 60yy 80x b) Giải phương trình 9x4 15x3 3x+2 3+x =2 0 xy
Giải: a) ĐKXĐ: x, y 0.
4 + 5 = 2 Hệ phương trình tương đương 60 80
x y
Vậy nghiệm của hệ phương trình y = 5
64 + 80 = 32 124 = 31
1� 60 80 1� 80 = 60 +1� y =5 (TMĐK) �
b) Phương trình tương đương
9x4 6x3 9x+3 6x2 9+x2 6x+ 3=x 2 0 � (3x 2)(3x3 3x= 3x 1) 0
3x – 2 = 0 x = 2
3x3 3x2 3x= 1 0� 4=x3 +x3 3+x2 +3x 1� 4=x3 +(x 1)3 � x= 4+ x 1�= x
1
3 4 1
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 2; 3 1 1�
Bài 3: Cho biểu thức C = 152x x11 + 3 x x2
a) Rút gọn biểu thức
2 +x 3 +x 3
b) So sánh giá trị của C với 2
x 0
Giải: ĐKXĐ: x+2 x 3 0 � 0
1 x 0
15 x 11 3 x 2 2 +x 3 15 x 11 (3 x 2)(+ x 3) x +3 x 1 x 1 x+ 3 x+ 3 x
5x+ 7 x 2 ( x 1)(2 5 x) 2 5 x x +3 x 1 x+ 3 x 1 x +3
2 2 5 x 2 3(2 5 x) 2( +x 3) 17 x
3 x +3 3 3 x +3 3 x +3
(+2 x 3)( x 1) 1)
2
3
Bài 4: Cho ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) và một điểm M bất kì trên cung nhỏ AC. Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D
a) Chứng minh rằng AMD = ABC b) Chứng minh rằng BMD cân
c) Khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy trên đường nào ? Có nhận xét gì về độ lớn BDC khi vị trí điểm M thay đổi
Giải: a) Từ giác ABCM nội tiếp nên ABC+AMC =1800 D AMD+AMC =1800 (kề bù) �AMD = ABC
b) Ta có AMB= ACB (góc nội tiếp cùng chắn cung AB) �AMB= ABC = AMD; MH BD (gt)
Do đó MH vừa là đường cao, vừa là phân giác của BMD
nên BMD cân tại M
c) Ta có D = 1800 2AMD =1800 2ABC = A không đổi
D chạy trên cung tròn chứa góc 2 dựng trên đoạn BC
H
M
O
B C
Bài 5: Cho các số thực a, b thỏa mãn 0< b a Giải: Ta có a2 +b2 = (a b)a+ b(a+ b) 4(a
4 và a +b 7. Chứng minh rằng a2 +b2 25 +b) 7=b 4+a 3b. Áp dụng BĐT Bunhia ta có:
(4a+3b)2 �42 +32 )(a2 +b2 )�(a2 +b2 )2 �25(a2 +b2 )�a2 +b2 �25 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 4; b = 3
Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn
...
- tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn