Đề thi kết thúc học phần Toán cao cấp 1

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (1)
Tên học phần: Toán cao cấp 1; Số tín chỉ: 2
Thời gian: 75 phút (không tính thời gian phát đề)
Câu 1. ( 3 điểm) Cho f  x   x  5x  3
2

 2 1 
 . Tìm B  f  A .
4 5 
7 2 5 
b) Cho C  
 . Tìm ma trận X thỏa BX  C .
1 0 10 
a) Cho A  

 1 2
0 2
Câu 2. ( 1 điểm) Tìm hạng của ma trận D  
 7 2

3 2

5
3
6
0

4
3
.
4

8

2 x1  x2  4

Câu 3. (1 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính  2 x1   m  1 x2  x3  5

2
2
4 x1  2 x2  m x3  m  m  8
Giải và biện luận hệ phương trình theo m.
Câu 4. ( 3 điểm) Cho hệ vectơ A 

1   2,0,3 ,2   4,5,2 ,3   2,10,1

a) Chứng minh hệ vectơ A là một cơ sở của không gian
b) Tìm  x  , biết x   2, 2,5 .

3

.

A

c) Tìm m để vectơ x  1,2, m  1 là một tổ hợp tuyến tính của 1 , 2  .
Câu 5. ( 2 điểm) Cho dạng toàn phương: Q  2 x1  x2  10 x3  mx1x2
Tìm m để Q là dạng toàn phương xác định dương.
2

Lưu ý:

2

2

- Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
- Sinh viên được sử dụng các kết quả tính toán ma trận trên máy tính bỏ túi.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Câu
1
(3đ)

Nội dung đáp án

a) B  f  A  A  5 A  3I 2
2

Điểm
0,5

 0 7 
A2  

 28 21 

0,5

 7 2 
B  f  A   A2  5 A  3I 2  

 8 1 

0,5

 1
 23
1
b) B  
 8

 23

0,5

2 
23 

7 

23 

 5
 23
X  B 1C  
 63

 23
2
(1đ)

2
23
16
23

15 
23 

110 

23 

1,0

1



Vậy: Rank(D)=4
3
(1đ)

a) m = 0 : hệ có vô số nghiệm : x1 

a4
, x2  a  , x3  1
2

 2 1 0 4



b) A   0  m 1 1



2
 0 0 m m  m  1 
m = 0 : Hệ có vô số nghiệm : x1 

a4
, x2  a  , x3  1
2

0,25

0,25

0,25

Ghi chú

m  0 : hệ có nghiệm duy nhất: x1 
4
(3đ)

4m 2  1
1
m 1
, x2  2 , x3 
m
2m 2
m

2 0 3
a) 4 5 2  60  0 nên A là cơ sở của
2 10 1

0,25

1
3

 x1 
 
b) Giả sử:  x   x2 . Khi đó x  x1.1  x2 . 2  x3 . 3 (*)

A 
x 
 3

1

 
 2 
 
8 
Giải (*) được:  x   
A  15 
 1 
 
 15 
c)

x là tổ hợp tuyến tính của hệ

1 , 2 

khi và chỉ khi

0,5

rank 1 , 2 , x =2 (vì 1 , 2  độc lập tuyến tính).



Vậy: m  
5
(2đ)

0,5

11
.
10

Q  2 x12  x2 2  10 x32  mx1x2

 2

m
A
 2
 0




m
2
1
0


0

0

10 




m2
5
D1  2, D2  2 
, D3  20  m 2
4
2

1

Q là dạng toàn phương xác định dương 

0,5

m2
5
D1  2  0, D2  2 
 0, D3  20  m2  0
4
2
Vậy: 2 2  m  2 2 .

0,5

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (2)
Tên học phần: Toán cao cấp 1; Số tín chỉ: 2
Thời gian: 75 phút (không tính thời gian phát đề)

 0 7 
 4 11 4 
1 3

,C  
Câu 1. ( 3 điểm) Cho A  3
4 , B  




 9 0 6 
5 7
 5 2 





c) Tính A  B

T

C

d) Tìm ma trận X thỏa CX  B

1 2
0 2
Câu 2. ( 1 điểm) Tính D 
7 2
a a

5
3
6
0

4
3
4
8

2 x2  x3  3

Câu 3. (1 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính  x1  mx2  x3  1
 x  x  3x  m  1
3
 1 2

(1)

Giải và biện luận hệ phương trình (1) theo m.

Câu 4. ( 3 điểm) Cho hai hệ vectơ A 

1  1, 1,0 ,2  1,0, 1,3  0,1,1,

B  1   2  3 , 1  1  3 , 3  1   2  .
d) Chứng minh A, B là các cơ sở của không gian
e) Tìm ma trận đổi cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở A.
f) Cho

x A  1,0,4  . Tìm x B

3

.

.

 2 2
 . Hãy chéo hóa ma trận A.
1 3

Câu 5. ( 2 điểm) Cho ma trận A  

Lưu ý:

- Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
- Sinh viên được sử dụng các kết quả tính toán ma trận trên máy tính bỏ túi.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.