Xem mẫu

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN THI: TOÁN - LỚP 9
Ngày thi: 6/10/2016
Thời gian làm bài:150 phút

PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1 (4,0 điểm)


xy  x

 

1) Rút gọn biểu thức A   x  1 
 1 : 1 
 xy  1 1  xy
 

 
x  0; y  0; xy 1 .


2) Cho x 



3  1 . 3 10  6 3
21  4 5  3

xy  x
xy  1





x  1  với

xy  1 




2017

, tính giá trị biểu thức P  x 2  4x  2

.

Câu 2 (5,0 điểm)
1) Cho x 

2 1
2 1

là một nghiệm của phương trình: ax 2  bx  1  0 . Với a, b là các số hữu

tỉ. Tìm a và b.
2) Cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh P 20 – 1 chia hết cho 100.
3) Cho a, b, c là độ dài của 3 cạnh một tam giác, chứng minh rằng:

a4  b4  c 4  2a2b2  2a2c2  2b2c2
Câu 3 (4,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên x sao cho x 3 – 3x 2  x  2 là số chính phương.
2) iai phương tr nh:

x 2  3x  2 x  2  2x  x 

6
5
x

Câu 4 (6,0 điểm)
Cho hình thoi ABCD có AB = BD = a. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N, trên tia đối của
tia DB lấy điểm K sao cho AN + DK = 2a. ọi giao điểm của CN với BD và AD thứ tự là I và M.
Tia BM cắt ND tại P.
1) Chứng minh IC.CN = IN.CM.
2) Chứng minh DM.BN = a2 từ đó tính số đo góc BPD.
3) Tìm vị trí điểm N và K để diện tích tứ giác ADKN lớn nhất.
Câu 5 ( 1, 0 điểm)
1
a

1
b

1
c

Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . Chứng minh rằng a 5  b5  c5     6.
------ HẾT -----Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: .........................................................Số báo danh:..................................
iám thị 1 (Họ tên và ký)......................................................................................................
iám thị 2 (Họ tên và ký)......................................................................................................
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 1

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM

Câu
Câu 1

Hướng dẫn giải

1.1

 xy  1   xy  11  xy 
 xy  11  xy 
 xy  11  xy    xy  x  xy  1   x  1 1  xy 

 xy  11  xy 
 x  1 1  xy    xy  x  xy  1   xy  11  xy 

 xy  11  xy    xy  x  xy  1   x  1 1  xy 






 

x  1 1  xy 

xy  x

1 x  1
x y  xy
xy


x



3  1 . 3 ( 3  1)3
( 20  1)  3

(2.0 điểm)



2
2( 5  2)

0.75

0.5

0.75



( 3  1)( 3  1)

2

1.2

Điểm

với x; y  0, xy 1
A

(2.0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN THI: TOÁN - LỚP 9
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

0.75

20  4

 5  2.

0.5

 x2  4 x  1  0  P  1

0.5
0.25

Câu 2

Ta có
Vì x 
2.1
(2.0 điểm)

2 x
2 1
2 1

2 1
 3 2 2
2 1

0.25

là một nghiệm của phương trình: ax 2 + bx + 1 = 0

Nên 17a  12a 2  3b  2b 2  1  0

0.5

 2 12a  2b   17a – 3b – 1
Do a, b là các số hữu tỉ nên - 17a – 3b – 1 và 12a + 2b là các số hữu tỉ
0.5

 2 12a  2b là một số hữu tỉ

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 2

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

12a  2b  0
a  1

17a  3b  1  0
b  6

=> 

0.25

Kết luận…
Ta có

p20

1

(p4

1)(p16

p12

p8

p4

1)

Do P là số nguyên tố lớn hơn 5 => p là một số lẻ
=> p2 + 1 và p2 – 1 là các số chẵn

0.5

=> p4 -1 chia hết cho 4
=> p20 -1 chia hết cho 4
2.2

(1.5 điểm)

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 5 => p là một số không chia hết cho 5
Lập luận được p4 -1 chia hết cho 5
Lập luận được p16

p12

p8

p4

1 chia hết cho 5

0.75

=> p20 -1 chia hết cho 25
Mà (4 ; 25) = 1
0.25

=> p20 -1 chia hết cho 100
a4  b4  c4  2a2b2  2a2c2  2b2c2
 a4  b4  c4  2a2b2  2a2c2  2b2c2  0

0.75

  a 2  b2  c 2    2b c   0
2

2

  a 2  b2  c 2  2bc   a 2  b2  c 2  2bc   0
2.3

(2.0 điểm)

  a  b  c)( a  b  c  (a  b  c)(a  b  c)  0

0.5

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác nên:
a  b  c  0; a  b  c  0; a  b  c  0; a  b  c  0

  a  b  c)( a  b  c  (a  b  c)(a  b  c)  0

0.75

Kết luận…
Câu 3

Ta có: x3 - 3x2 + x + 2 = (x-2)(x2 – x -1)
* Xét x – 2 = 0  x = 2 thỏa mãn bài toán; x 2 – x -1 = 0 (loại)
3.1
(2.0 điểm)

0.5

* Xét x - 2 = x2 – x -1 Suy ra x = 1
Xét x ≠ 2; x ≠ 1
Với x nguyên ta chứng minh được: (x – 2 ; x2 – x -1) = 1

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

0.5

Trang | 3

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Nên x3 - 3x2 + x + 2 là số chính phương khi x – 2 và x2 – x -1 cùng là số
chính phương.
Để x2 – x -1 là số chính phương thì x2 – x -1 = y2 với y  Z.

0.5

Tìm được x = 2 (không thỏa mãn x ≠ 2); x = -1
Thử lại x = - 1 ta có x3 - 3x2 + x + 2 có giá trị là -1 không phải là số chính
phương => x = - 1 loại

0.5

Vây x = 2 hoặc x = 1 thì x3 - 3x2 + x + 2 là số chính phương.
iai phương tr nh:
Đieu kien: x
x x

x

3.2
(2.0 điểm)

x 2  3x  2 x  2  2x  x 

6
 5 (*)
x

0.25

0.

3

x 3

x

2 x

2 2x

 x  2 x  3  2



x

 

x2

5x
x

6

0

x  2  2x  0
1.0



x 3

x  x 2 2 x  x 2 0
x

 x 3

 x  x 2 
 2  0


x







x  x  2  0 hoặc

x 3
20
x

Nếu x  x  2  0 Tìm được x = 2 thỏa mãn
x 3
 2  0 Tìm được x = 1 thỏa mãn
Nếu
x

0.75

Câu 4

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 4

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

B

A

C
I
M

N
D

P

K

+ Do ABCD là hình thoi => AB =BC = CD = AD = a

+ BI là đường phân giác của tam giác BNC =>

IC BC
a


IN BN BN

0.75

+ AM // BC, Áp dụng định lý Ta lét trong tam giác NBC ta có:
4.1

(2.0 điểm)

0.75

MC AB
a


CN BN BN

Nên

MC IC  a 


  IC.CN  IN .CM .
CN IN  BN 

0.5

+ Chứng minh được hai tam giác BNC và DCM đồng dạng (g.g)


1.5

BC BN

 DM.BN = a2
DM DC

Ta có AB = AD = a và BD = a => tam giác ABD đều  ABD  BDM  600 (1)
4.2.

(2.5 điểm)

Lại có DM.BN = a2 

a
BN
BD BN



(2)
DM
a
DM BD

Từ (1) và (2) => Hai tam giác MDB và DBN đồng dạng (c.g.c)
 BND  DBM

Xét hai tam giác DBP và DNB có góc D chung và BND  DBM
=> Hai tam giác DBP và DNB đồng dạng (g.g)  NBD  BPD  600

0.5
0.25
0.25

Vì S(ABD) không đổi => S(ADKN) lớn nhất khi S(ADKN) + S(ABD) lớn nhất hay
S(NBK) lớn nhất
4.3.
(2.0 điểm)

Thật vấy: S(NBK) =

1
NB.BK .Sin600 (HS phải chứng minh công thức này)
2

1
=> S(NBK) = NB.BK . 3
4

 NB  BK 
2
Lại có NB.BK  
 =4a
2



0.5

2

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

0.5
T: 098 1821 807

Trang | 5

nguon tai.lieu . vn