Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN THI: TOÁN - LỚP 9
Ngày thi: 6/10/2016
Thời gian làm bài:150 phút
PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1 (4,0 điểm)
xy x
1) Rút gọn biểu thức A x 1
1 : 1
xy 1 1 xy
x 0; y 0; xy 1 .
2) Cho x
3 1 . 3 10 6 3
21 4 5 3
xy x
xy 1
x 1 với
xy 1
2017
, tính giá trị biểu thức P x 2 4x 2
.
Câu 2 (5,0 điểm)
1) Cho x
2 1
2 1
là một nghiệm của phương trình: ax 2 bx 1 0 . Với a, b là các số hữu
tỉ. Tìm a và b.
2) Cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh P 20 – 1 chia hết cho 100.
3) Cho a, b, c là độ dài của 3 cạnh một tam giác, chứng minh rằng:
a4 b4 c 4 2a2b2 2a2c2 2b2c2
Câu 3 (4,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên x sao cho x 3 – 3x 2 x 2 là số chính phương.
2) iai phương tr nh:
x 2 3x 2 x 2 2x x
6
5
x
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho hình thoi ABCD có AB = BD = a. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N, trên tia đối của
tia DB lấy điểm K sao cho AN + DK = 2a. ọi giao điểm của CN với BD và AD thứ tự là I và M.
Tia BM cắt ND tại P.
1) Chứng minh IC.CN = IN.CM.
2) Chứng minh DM.BN = a2 từ đó tính số đo góc BPD.
3) Tìm vị trí điểm N và K để diện tích tứ giác ADKN lớn nhất.
Câu 5 ( 1, 0 điểm)
1
a
1
b
1
c
Cho a, b, c 0 và a b c 3 . Chứng minh rằng a 5 b5 c5 6.
------ HẾT -----Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: .........................................................Số báo danh:..................................
iám thị 1 (Họ tên và ký)......................................................................................................
iám thị 2 (Họ tên và ký)......................................................................................................
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 1
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM
Câu
Câu 1
Hướng dẫn giải
1.1
xy 1 xy 11 xy
xy 11 xy
xy 11 xy xy x xy 1 x 1 1 xy
xy 11 xy
x 1 1 xy xy x xy 1 xy 11 xy
xy 11 xy xy x xy 1 x 1 1 xy
x 1 1 xy
xy x
1 x 1
x y xy
xy
x
3 1 . 3 ( 3 1)3
( 20 1) 3
(2.0 điểm)
2
2( 5 2)
0.75
0.5
0.75
( 3 1)( 3 1)
2
1.2
Điểm
với x; y 0, xy 1
A
(2.0 điểm)
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN THI: TOÁN - LỚP 9
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)
0.75
20 4
5 2.
0.5
x2 4 x 1 0 P 1
0.5
0.25
Câu 2
Ta có
Vì x
2.1
(2.0 điểm)
2 x
2 1
2 1
2 1
3 2 2
2 1
0.25
là một nghiệm của phương trình: ax 2 + bx + 1 = 0
Nên 17a 12a 2 3b 2b 2 1 0
0.5
2 12a 2b 17a – 3b – 1
Do a, b là các số hữu tỉ nên - 17a – 3b – 1 và 12a + 2b là các số hữu tỉ
0.5
2 12a 2b là một số hữu tỉ
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 2
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
12a 2b 0
a 1
17a 3b 1 0
b 6
=>
0.25
Kết luận…
Ta có
p20
1
(p4
1)(p16
p12
p8
p4
1)
Do P là số nguyên tố lớn hơn 5 => p là một số lẻ
=> p2 + 1 và p2 – 1 là các số chẵn
0.5
=> p4 -1 chia hết cho 4
=> p20 -1 chia hết cho 4
2.2
(1.5 điểm)
Vì P là số nguyên tố lớn hơn 5 => p là một số không chia hết cho 5
Lập luận được p4 -1 chia hết cho 5
Lập luận được p16
p12
p8
p4
1 chia hết cho 5
0.75
=> p20 -1 chia hết cho 25
Mà (4 ; 25) = 1
0.25
=> p20 -1 chia hết cho 100
a4 b4 c4 2a2b2 2a2c2 2b2c2
a4 b4 c4 2a2b2 2a2c2 2b2c2 0
0.75
a 2 b2 c 2 2b c 0
2
2
a 2 b2 c 2 2bc a 2 b2 c 2 2bc 0
2.3
(2.0 điểm)
a b c)( a b c (a b c)(a b c) 0
0.5
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác nên:
a b c 0; a b c 0; a b c 0; a b c 0
a b c)( a b c (a b c)(a b c) 0
0.75
Kết luận…
Câu 3
Ta có: x3 - 3x2 + x + 2 = (x-2)(x2 – x -1)
* Xét x – 2 = 0 x = 2 thỏa mãn bài toán; x 2 – x -1 = 0 (loại)
3.1
(2.0 điểm)
0.5
* Xét x - 2 = x2 – x -1 Suy ra x = 1
Xét x ≠ 2; x ≠ 1
Với x nguyên ta chứng minh được: (x – 2 ; x2 – x -1) = 1
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
0.5
Trang | 3
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Nên x3 - 3x2 + x + 2 là số chính phương khi x – 2 và x2 – x -1 cùng là số
chính phương.
Để x2 – x -1 là số chính phương thì x2 – x -1 = y2 với y Z.
0.5
Tìm được x = 2 (không thỏa mãn x ≠ 2); x = -1
Thử lại x = - 1 ta có x3 - 3x2 + x + 2 có giá trị là -1 không phải là số chính
phương => x = - 1 loại
0.5
Vây x = 2 hoặc x = 1 thì x3 - 3x2 + x + 2 là số chính phương.
iai phương tr nh:
Đieu kien: x
x x
x
3.2
(2.0 điểm)
x 2 3x 2 x 2 2x x
6
5 (*)
x
0.25
0.
3
x 3
x
2 x
2 2x
x 2 x 3 2
x
x2
5x
x
6
0
x 2 2x 0
1.0
x 3
x x 2 2 x x 2 0
x
x 3
x x 2
2 0
x
x x 2 0 hoặc
x 3
20
x
Nếu x x 2 0 Tìm được x = 2 thỏa mãn
x 3
2 0 Tìm được x = 1 thỏa mãn
Nếu
x
0.75
Câu 4
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 4
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
B
A
C
I
M
N
D
P
K
+ Do ABCD là hình thoi => AB =BC = CD = AD = a
+ BI là đường phân giác của tam giác BNC =>
IC BC
a
IN BN BN
0.75
+ AM // BC, Áp dụng định lý Ta lét trong tam giác NBC ta có:
4.1
(2.0 điểm)
0.75
MC AB
a
CN BN BN
Nên
MC IC a
IC.CN IN .CM .
CN IN BN
0.5
+ Chứng minh được hai tam giác BNC và DCM đồng dạng (g.g)
1.5
BC BN
DM.BN = a2
DM DC
Ta có AB = AD = a và BD = a => tam giác ABD đều ABD BDM 600 (1)
4.2.
(2.5 điểm)
Lại có DM.BN = a2
a
BN
BD BN
(2)
DM
a
DM BD
Từ (1) và (2) => Hai tam giác MDB và DBN đồng dạng (c.g.c)
BND DBM
Xét hai tam giác DBP và DNB có góc D chung và BND DBM
=> Hai tam giác DBP và DNB đồng dạng (g.g) NBD BPD 600
0.5
0.25
0.25
Vì S(ABD) không đổi => S(ADKN) lớn nhất khi S(ADKN) + S(ABD) lớn nhất hay
S(NBK) lớn nhất
4.3.
(2.0 điểm)
Thật vấy: S(NBK) =
1
NB.BK .Sin600 (HS phải chứng minh công thức này)
2
1
=> S(NBK) = NB.BK . 3
4
NB BK
2
Lại có NB.BK
=4a
2
0.5
2
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
0.5
T: 098 1821 807
Trang | 5
nguon tai.lieu . vn