Đề thi HSG THCS cấp huyện môn Toán năm 2012-2013 kèm đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐT HUYỆN CỜ ĐỎ KÌ THI CHỌN HSG THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI TOÁN Thời gian 150’ không kể thời gian giao đề ĐỀ BÀI Câu 1: ( 4 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 + 64 2) Chứng minh rầng nếu 1 + 1 + 1 = 2 và a +b + c = abc thì ta có 1 + 1 + 1 = 2 mx − y = 2 Câu 2 ( 5 điểm): Cho hpt: 3x + my =5 ( m là tham số ) 1) Giải và biện luận hệ đã cho 2) Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2 x + y = 1 - m2 + 3 Câu 3 ( 3 điểm): Chứng minh rằng a2 + b2 + 1  ab+a+b với mọi số thực a, b Câu 4 (4 điểm): Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2 Câu 5 ( 4 điểm): Cho tứ giác ABCD. Chứng minh SABCD  1(AC + BD)2 ---------------------------------------------Hết------------------------------------------- PHÒNG GIÁO DỤC & ĐT KÌ THI CHỌN HSG THCS CẤP HUYỆN HUYỆN CỜ ĐỎ NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI TOÁN Thời gian 150’ không kể thời gian giao đề HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: ( 4 điểm) 1) (2 điểm): x4 + 64 = (x4 + 16x2 + 64) -16x2 = ( x2 + 8)2 – (4x)2 = ( x2 - 4x + 8)( x2 + 4x +8) 2) (2 điểm) 1 + 1 + 1 = 2 1 + 1 + 12 = 4  a2 + b2 + c2 +2ab + bc + ca  = 4  1 + 1 + 1 +2 a +b+c = 4 Theo giả thiết: a +b + c = abc  a +b+c =1 1 a2 + 1 + 1 = 2 Câu 2 ( 5 điểm): mx − y = 2 y = mx −2 1. 3x +my = 5 3x + m(mx −2)= 5 y = mx −2 x = 2m+5 (3+m2 )x = 2m+5  5m−6  m2 +3 Hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m 2. Theo đề bài ta có : x+ y =1- m2 2m+5 5m−6 m2 m2 +3 m2 +3 m2 +3 m2 +3  m = 4 Câu 3 ( 3 điểm): Ta có a2+ b2 +1  ab+a +b  2 a2+ b2 +1  2(ab+a +b) (a2+ b2 −2ab)+(a2 −2a +1)+(b2 −2b+1) 0 (a-b)2 +(a−1) +(b−1)2  0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi số thực a, b, suy ra a2+ b2 +1  ab+a +b ∀a,b Câu 4 (4 điểm): Ta có :x + 2y = 3 x = 3−2y  E = (3−2y)2 +2y2 =9−12y +4y2 +2y2 = 6(y2 −2y +1)+3= 6(y −1)2 +3 3 min E = 3 Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi y = 1 và x = 1 Câu 5 ( 4 điểm): Cho tứ giác ABCD. Chứng minh SABCD  1(AC + BD)2  Nếu AC  BD thì SABCD = 2 AC.BD  8(AC + BD)2 Theo bđt (x + y)2 4xy mọi x, y  Nếu AC không vuông góc với BD Từ B kẻ BH  AC, từ D kẻ DK  AC SABCD = 1 BH.AC + 1 DK.AC = 1 AC(BH + DK) mà BH < BO, DK < DO ( O là giao điểm của AC và BD) Nên SABCD = 2 AC(BH + DK) 2 AC(BO + DO)= 2 AC.BD  8(AC + BD)2 Vậy SABCD  8(AC + BD)2 --------------------------------------Hết--------------------------------------- ... - tailieumienphi.vn