Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1.
a) Giải bất phương trình
x2  6 x  2  2(2  x) 2 x  1.
 x5  xy 4  y10  y 6

b) Giải hệ phương trình: 
2
 4x  5  y  8  6


Câu 2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm
 x 2  m  y ( x  my)

 2
 x  y  xy


Câu 3.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (2; 4) và các đường thẳng d1 : 2 x  y  2  0,
d2 : 2 x  y  2  0 . Viết phương trình đường tròn (C ) có tâm I sao cho (C ) cắt d1 tại A, B

và cắt d2 tại C , D thỏa mãn AB 2  CD 2  16  5 AB.CD.
Câu4.
1. Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân giác
trong AL và
Tính

CM 3

52 5 .
AL 2

b
và cos A .
c

2. Cho a,b 

thỏa mãn: (2  a )(1  b) 

9
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  16  a 4  4 1  b 4

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

Trang | 1

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

Câu 5.
Cho f  x   x 2  ax  b với a,b

thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên m, n, p đôi

một phân biệt và 1  m, n, p  9 sao cho: f  m   f  n   f  p   7 .
Tìm tất cả các bộ số (a;b).

_____________ Hết _____________

-

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

Trang | 2

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Câu1

Đáp án

Điể
m

1
2

Điều kiện: x  . Đặt t  2 x  1 ( t  0 ) thì 2 x  t 2  1. Khi đó ta có
1.0

x 2  6 x  2  2(2  x)t  0  x 2  2tx  4t  3(t 2  1)  2  0
 ( x  t )2  (2t  1) 2  0  ( x  3t  1)( x  t  1)  0

0.5
1
2

 x  1  t (do x  3t  1  0; x  ; t  0 ).

0.5

3 điểm
x  1

Với x  1  t ta có x  1  2 x  1  

2
x  2x  1  2 x 1

 x  2  2.

Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S  [2  2; ).

 x 5  xy 4  y10  y 6 (1)


2
 4 x  5  y  8  6 (2)


Điều kiện: x  

5
4

Th1: y  0  x  0 không thỏa mãn

1.0

0.5

0.5

Th2: y  0 ta có:
3
điểm

5

x x
(1)      y 5  y  (t  y )(t 4  t 3 y  t 2 y 2  ty 3  y 4 )  0 với t=x/y
 y y

0,5

 (t  y )  (t 2  y 2 ) 2  (t  y ) 2 (t 2  yt  y 2 )  2   0


 t=y hay y 2  x

Thay vào (2):

4 x  5  x  8  6  2 4 x 2  37 x  40  23  5 x

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

1

Trang | 3

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
23

x 

 x  1  y  1
5
2
 x  42 x  41  0


Đối chiếu đk ta được nghiêm hệ là: ( x; y)  (1;1);(1;1)
Câu2

my 2  y  m  0 (1)

2
 x  yx  y  0 (2)


Hệ đã cho tương đương với: 

0,5
y  0
 y  4

Phương trình (2) (ẩn x ) có nghiệm là  x  y 2  4 y  0  
Th1: m  0, ta có y  0, x  0. Suy ra m  0 thỏa mãn.
Th2:

m  0. Phương trình (1) (ẩn

( ; 4]  [0; ) (*)

0.5

0,5
0,5

y ) không có nghiệm thuộc khoảng

là (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều thuộc (4; 0),

điều kiện là

3 điểm

   1  4m 2  0


  1  4m 2  0
2
    1  4m  0

2

   1  4m  0
 

1  1  4m 2

 4  y  0
0
4 

1


2m

 4  y2  0

1  1  4m 2

0
4 

2m


1
1

 m  (;  2 )  ( 2 ; )

  1  m  0
 2
(B)


1  4m 2  1  8m ( A)


2
  1  4m  1  8m



0.5

(với y1 , y2 là 2 nghiệm của phương trình (1)).
1
 1
1
4
4
1
 2  m   8
(A)  
   m    (B)  m  (;  )  ( ; )
17
2
2
17
 1  4m 2  1  8m


Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) (ẩn y ) có ít nhất
một nghiệm thuộc khoảng (; 4]  [0; ) hay (*) không xảy ra, điều kiện là
4
1
4
1
 m  ; m  0. Vậy tất cả các giá trị m cần tìm là
m .
17
2
17
2

Câu3
3 điểm

0,5

0,5

Gọi hình chiếu của I trên d1 , d2 lần lượt là E , F . khi đó
IE  d ( I ;d1 )

2
6

; IF  d ( I ;d 2 ) 
.
5
5

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

0,5

Trang | 4

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
Gọi R là bán kính của đường tròn (C ) cần tìm ( R 

6
)
5

1
4
36
AB  2 AE  2 R 2  ; CD  2CF  2 R 2 
5
5
4





36 

4

36

R2  .
Theo giả thiết ta có: 4  R 2    4  R 2    16  20 R 2 
5 
5 
5
5


0,5

 8 R 2  16  4 (5 R 2  4)(5 R 2  36)  2 R 2  4  (5 R 2  4)(5 R 2  36)

 (2R 2  4) 2  (5R 2  4)(5R2  36) (do R 

6
6
)  R  2 2 ( do R 
)
5
5

Vậy phương trình đường tròn (C ) cần tìm là (C ) : ( x  2)2  ( y  4)2  8.



Ta có: AL 


b 
c 
AB 
AC
bc
bc

0.5
0.5
0.5

  


 
 CA  CB AB  2 AC

CM 

2
2

0.25

 
 

0.25

Theo giả thiết: AL  CM  AL.CM  0

  
 
 bAB  c AC AB  2 AC  0  bc2  bc 2 cos A  2cb2 cos A  2cb2  0







  c  2b 1  cos A  0  c  2b (do cos A  1)

0.5

b2  a2 c 2 a2  b2
Khi đó: CM 
 
2
4
2

0.25

4.a
3 điểm

2

AL2 


1  
AB  AC
9





2



 

1
2
AB 2  AC 2  2 AB. AC   9b 2  a 2 
9
9





CM 3
CM 2 9 a 2  b 2
9

52 5 
 . 2
 52 5
2
2
AL 2
AL
4 9b  a
4



0.5


0.5

a 2  b2
a2
 2
 52 5  2  6 5
9b  a 2
b

cos A 

b 2  c 2  a 2 5b 2  a 2
5 1


2
2bc
4b
4

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

0.25

Trang | 5