CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
SỞ GD&ĐT HÀ NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT
ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1(5,0 điểm).
Cho Parabol (P) có phương trình y 4 x 2 1 , đường thẳng d có phương trình y x 3 .
a. Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d sao cho cắt (P) tại hai
điểm phân biệt A, B và AB=1.
b. Gọi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt thuộc (P) và không trùng với I sao cho
IA vuông góc với IB. Tìm quỹ tích trung điểm N của đoạn AB khi A, B thay đổi.
Câu 2 (5, 0 điểm).
1. Giải phương trình
x 1 x2 1 x x .
x 2 21 y 1 y 2
2. Giải hệ phương trình
y 2 21 x 1 x 2 .
Câu 3 (5, 0 điểm).
1. Cho tam giác ABC có AC b, BC a, AB c (b a ) . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của
AB, AC . Đường phân giác trong của góc C cắt DE tại P . Đường tròn nội tiếp của tam giác
ABC tiếp xúc với AB, BC lần lượt tại N , M .
a.Tính BM , BN , BP theo hai vectơ BA, BC và theo a , b, c .
b. Chứng minh rằng P, M , N thẳng hàng.
2. Cho tam giác ABC có AC b, BC a , AB c là độ dài ba cạnh của tam giác; ma , mb , mc
là độ dài ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ A, B, C . Gọi R, S lần lượt là bán kính
đường tròn ngoại tiếp, diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu
1
1
1
3
thì tam giác ABC đều.
abmc bcma acmb 2 RS
Câu 4 (3,0 điểm).
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
Trang | 1
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC có
phương trình x+2y-17=0, đường cao CK có phương trình 4x+3y-28=0, đường cao BH qua
điểm M(1; 6). Tìm tọa độ đỉnh A và tính diện tích tam giác ABC.
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho ba số dương a , b, c thỏa mãn a 2 b 2 c 2 12 . Chứng minh rằng:
1
1
1
8
8
8
2
2
2
.
a b b c c a a 28 b 28 c 28
Hết
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
Trang | 2
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
Nội dung
Điểm
Câu 1(5,0 điểm).
a. (3,0 điểm) Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d sao
cho cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B và AB=1.
Đường thẳng song song với d có dạng y x m (m 3) .
Phương trình hoành độ giao điểm 4 x 2 x 1 m 0(1).
Để cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) có hai nghiệm phân biệt, điều kiện
0,5
15
là 0 m .
16
Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của (1). Theo định lý Viet, ta có
1
1 m
x1 x2 ; x1 x2
.
4
4
A( x1; x1 m), B( x2 ; x2 m)
0,5
0,5
AB 1 2( x2 x1 )2 1 2 ( x2 x1 ) 2 4 x1 x2 1
1,0
1 m
23
1
2 4.
1 m
4
16
16
23
Kết hợp điều kiện ta được m .
16
b. (2, 0 điểm)
Gọi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt, không trùng với đỉnh và nằm trên
(P) sao cho IA vuông góc với IB. Tìm quỹ tích trung điểm N của AB khi A, B thay
đổi.
Gọi A(a;4a 2 1) nằm trên (P), đỉnh I(0;1).
Đường thẳng IB qua I(0;1), nhận IA( a;4a 2 ) là vectơ pháp tuyến. Phương trình của
đường thẳng IB là x 4ay 4a 0 .
y 4 x2 1
1 1
B
;
1
2
16a 64a
x 4ay 4a 0
Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình
a
1
1
;2a 2
1
N là trung điểm của AB, suy ra N
128a 2
2 32a
5
4
0,5
0,5
0,5
5
4
2
Nhận xét y N 8 x N . Vậy quĩ tích của điểm N là Parabol y 8 x 2 .
0,5
Câu 2 (5, 0 điểm).
1. (2,0 điểm). Giải phương trình
Điều kiện: x 1.
0,5
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
x 1 x2 1 x x .
Trang | 3
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
x x x 1 0
pt x 2 1 x x x 1
2
3
2
x 1 x x 1 2x x x
1,0
x 1
x ( x 1) 2 x ( x 1) 1 0
x ( x 1) 1
1 5
x
2
x 1
0,5
1 5
.
Vậy phương trình có nghiệm x
2
x 2 21 y 1 y 2 (1)
2.(3,0 điểm) Giải hệ phương trình
y 2 21 x 1 x 2 (2)
Điều kiện: x 1; y 1.
Trừ
vế
2
với
2
x 21 y 21
2
x y
2
vế
2
y 1 x 1 y x
2
2
của
x 21 y 21
(1)
cho
(2)
ta
có
2
0,5
yx
( y x )( y x )
y 1 x 1
x y
1
(x y)
x y 0
x 2 21 y 2 21
y 1 x 1
x y
1
x y vì
x y 0x 1; y 1.
x 2 21 y 2 21
y 1 x 1
0,5
0,5
Thay x = y vào (1) ta có
x 2 21 x 1 x 2 x 2 21 5 x 1 1 x 2 4
x2 4
x2
( x 2)( x 2)
x 1 1
x 2 21 5
x2
( x 2) 2
x2
x 21 5
0,5
1
0
x 1 1
x 2 21 4
1
0
( x 2) ( x 2)
x 2 21 5
x 1 1
x 2 21 4
x 2 vì ( x 2)
x 2 21 5
1
nguon tai.lieu . vn