Xem mẫu
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT Chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (3,0 điểm).
1. Giải hệ phương trình
1
1
x 3 y 3 x y
x 2 y
1
1
2 y 2 x2
x 2 y
x, y
2. Tìm tất cả các giá trị của a, b sao cho phương trình x 3 ax 2 bx 3a 0 có các
nghiệm đều là các số nguyên dương.
Câu 2 (2,0 điểm). Giả sử a, b, c, d là các số nguyên sao cho a b c d là số nguyên lẻ và
chia hết a 2 b 2 c 2 d 2 . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n đều có
a b c d chia hết a n b n c n d n .
Câu 3 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròn
tâm I. Lấy E và F lần lượt trên các đường thẳng AC và AB sao cho CB CE BF ,
đồng thời chúng nằm về cùng một phía với A đối với đường thẳng BC. Các đường
thẳng BE và CF cắt nhau tại G.
1. Chứng minh rằng bốn điểm C, E, I và G cùng nằm trên một đường tròn.
2. Trên đường thẳng qua G và song song với AC lấy điểm H sao cho HG AF đồng
thời H khác phía với C đối với đường thẳng BG.
1
2
Chứng minh rằng EHG ·CAB.
Câu 4 (1,0 điểm). Ký hiệu å để chỉ tập hợp các số thực khác 0. Tìm tất cả các hàm số f
xác định trên å , nhận giá trị thực và thỏa mãn
1
y
1
x
xf x yf ( y ) yf y xf ( x) x, y 0
y
x
x
y
Câu 5 (1,0 điểm). Một số nguyên dương được gọi là dễ thương nếu trong biểu diễn thập
phân của nó không có chứa chữ số 0 và tổng bình phương các chữ số của nó là một số
chính phương.
1. Tìm số dễ thương lớn nhất có hai chữ số.
2. Hỏi có hay không số dễ thương có 2013 chữ số?
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
Trang | 1
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
ĐÁP ÁN
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học
sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với
phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
1(3đ
)
Điể
m
Nội dung trình bày
1.1 (1,5 điểm)
Điều kiện x, y 0
Đặt
0,25
x a 0, y b 0; viết hệ đã cho về dạng
1 1
2
2
2
2
a 2b a 3b 3a b
1 1 2 b4 a4
a 2b
(1)
0,25
(2)
2
a 4 10a 2b 2 5b 4 a5 10a 3b 2 5ab 4 2
a
1
(2)-(1) thu được 5a 4 10a 2b 2 b 4 5a 4b 10a 2b3 b5 1
b
(1)+(2) thu được
(3)
(4)
Từ (3) và (4) thu được ( a b )5 3 và ( a b )5 1 .
5
Từ đó, tìm được a
0,25
0,25
0,25
5
3 1
3 1
và b
.
2
2
0,25
( 5 3 1)2
( 5 3 1)2
,y
Và do đó, tìm được x
4
4
1.2 (1,5 điểm)
Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm nguyên dương . Khi đó, theo
định lý Vietta, a, b và 3a và do đó
(1)
0,25
3
3 3 3 3 3 3 2 9 (2).
Nếu 3 thì 3 và
3
3
3
, mâu thuẫn với (1). Vậy
0,25
1 3
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
Trang | 2
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
2
Với 3 : khi đó 3, 3 3 3 3 3.3 9 1 1 4. Từ đó
0,25
3 a 9, b 27.
Với 2 : 2, 2 3 2 3 3.2 2 9 2 3 2 3 21. Giải phương
trình này với chú ý 2 ta được ; 12; 2 , 5;3 . Với
12, 2 a 16, b 52 . Với 5, 3 a 10, b 31.
0,5
Với 1: 1, 2 3 2 3 3.12 9 2 3 2 3 12, vô lí
Vậy tất cả các cặp số a; b 9;27 , 16;52 , 10;31 .
2(2đ
)
0,25
+ Chứng minh được nhận xét: “Với a,b,x,y,z,t là các số nguyên sao cho a b là
ước của x y và là ước của z t thì a b | xz yt ”
0,25
+ Mặt khác, do ( a c ) 2 (b d ) 2 ( a b c d )(a b c d ) ( a b c d ) nên suy
ra
a b c d | a 2 b 2 c 2 d 2 2( ac bd ) .
Từ đó, do giả thiết nên thu được a b c d | ac bd
(1)
+ Ta sẽ chứng minh kết luận của bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với n 1, 2 : thì kết luận hiển nhiên đúng.
0,25
0,25
Giả sử khẳng định đúng tới n, tức là a b c d | a n b n c n d n với n , n 2
Ta cần chứng minh a b c d | a n 1 b n 1 c n 1 d n 1
(2)
Thật vậy, do a b c d | (a c ) (b d ) và nhận xét ở trên suy ra a b c d là
ước của
( a c )( a n c n ) (b d )(b n d n ) a n 1 b n 1 c n 1 d n 1 ac( a n 1 c n 1 ) bd (b n 1 d n 1 )
Nhưng, do (1), giả thiết quy nạp và nhận xét ở trên suy ra
a b c d | ac( a n 1 c n 1 ) (bd (b n 1 d n 1 )
0,25
0,25
0,25
Vậy suy ra a b c d là ước của
( a c)( a n c n ) bd (b n d n ) ac( a n 1 c n 1 ) bd (b n 1 d n 1 ) a n 1 b n 1 c n 1 d n 1
3(3đ
)
0,25
(2) được chứng minh.
Từ đó, theo nguyên lý quy nạp, suy ra a b c d | a n b n c n d n với mọi số
nguyên dương n.
3.1 (2,0 điểm)
0,25
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
Trang | 3
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
H
F
G
A
E
N
M
I
C
B
Không mất tính tổng quát, xét trường hợp AB BC CA, các trường hợp khác xét
tương tự. Khi đó, E nằm trên đoạn CA, F nằm trên tia đối của tia AB, … (hình vẽ)
Từ giả thiết, suy ra F đối xứng với C qua phân giác trong của góc ABC . Do đó
CFA CFB 900
ABC
CAB BCA
ABC
900
và AIC 1800
. Suy
2
2
2
0,5
ra tứ giác AFCI nội tiếp.
BCA
CAB
IAC IFC ICF
và
2
2
BCA
CAB
CAB
) CAB
IBE
Do EBA BEC CAB (900
2
2
2
Từ đó AFI ACI
Hơn nữa, do tính đối xứng nên IEB IBE 900 MGC MCG ICG suy
ra tứ giác CIEG nội tiếp.
3.2 (1,0 điểm)
0,5
0,5
0,5
BCA
AFI
0,25
2
Hơn nữa, do IAB IEB nên GEI FAI suy ra GEI đồng dạng FAI
EG EG AF
HG AF AI
0,25
Suy ra
BI
EI
AI
GE GE BI
BCA
AIB suy ra HGE đồng dạng AIB
Nhưng HGE AEB 900
0,25
2
CAB
Từ đó EHG BAI
0,25
2
Chú ý. Nếu không có sự giả sử AB BC CA để có được thứ tự các điểm như trên hình
Do tứ giác CIEG nội tiếp, nên EGI ECI
4(1đ
vẽ, thì yêu cầu phải sử dụng góc định hướng trong chứng minh ở cả hai phần (với cách
giải như trên); trong trường hợp thí sinh không sử dụng góc định hướng, cũng không có
sự giả sử về thứ tự của các cạnh, đề nghị giám khảo trừ đi 0,5 điểm cho cả hai phần.
Đặt f ( x) x g ( x) , phương trình hàm đã cho được viết lại về dạng
0,25
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
Trang | 4
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
1
1
xg ( x ) yg ( y ) yg ( y ) xg ( x ) x, y 0
y
x
)
(1)
1
x
Cho y 1 thu được xg ( x 1) g (1) g (1 ) xg ( x) x 0
(2)
1
, ta được
x
1 1
1 1
1
1
g ( 1) g (1) g (1 x) g ( ) g (1 ) xg ( x 1) g ( ) xg (1) x 0 (3)
x x
x x
x
x
1
Từ (2) và (3) suy ra xg ( x ) g ( ) ( x 1) g (1) x 0
(4)
x
Trong (1), cho y 1 , bằng lập luận tương tự, cũng được
Trong (2), thay x bởi
0,25
0,25
1
xg ( x) g ( ) g (1)( x 1) n 0
(5)
x
Từ (4) và (5) suy ra 2 xg ( x) ( g (1) g (1)) x ( g (1) g (1) x 0 hay
b
b
x 0 , ở đây a, b là hai hằng số. Suy ra f ( x) a x x 0
x
x
b
Thử lại ta thấy f ( x) a x x 0 thỏa mãn phương trình đã cho.
x
g ( x) a
5(1đ
)
0,25
5.1 (0,5 điểm)
Giả sử số dễ thương có hai chữ số lớn nhất là ab,1 a, b 9 . Theo giả thiết ta có
a 2 b 2 c 2 là số chính phương. Nếu a, b đều không chia hết cho 3 thì
a 2 b 2 2 mod 3 , vô lý vì a 2 b 2 là số chính phương suy ra ab 0 mod 3 .
0,25
+) Nếu a 9 81 b 2 c 2 c 2 b2 81 không có nghiệm nguyên dương với
1b 9
+) Nếu a 8 b 3 b 3;6;9 , thử trực tiếp ta thấy b 6 thỏa mãn. Vậy số dễ
thương lớn nhất có 2 chữ số là 86.
5.2 (0,5 điểm)
2
Xét số A 222211...1 . Khi đó 22 22 22 22 1 ...12 2025 452 suy ra
2009 so1
2009 so12
A 222211...1 là số dễ thương.
0,25
0,5
2009 so1
------------------Hết------------------
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
Trang | 5
nguon tai.lieu . vn
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT Chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (3,0 điểm).
1. Giải hệ phương trình
1
1
x 3 y 3 x y
x 2 y
1
1
2 y 2 x2
x 2 y
x, y
2. Tìm tất cả các giá trị của a, b sao cho phương trình x 3 ax 2 bx 3a 0 có các
nghiệm đều là các số nguyên dương.
Câu 2 (2,0 điểm). Giả sử a, b, c, d là các số nguyên sao cho a b c d là số nguyên lẻ và
chia hết a 2 b 2 c 2 d 2 . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n đều có
a b c d chia hết a n b n c n d n .
Câu 3 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròn
tâm I. Lấy E và F lần lượt trên các đường thẳng AC và AB sao cho CB CE BF ,
đồng thời chúng nằm về cùng một phía với A đối với đường thẳng BC. Các đường
thẳng BE và CF cắt nhau tại G.
1. Chứng minh rằng bốn điểm C, E, I và G cùng nằm trên một đường tròn.
2. Trên đường thẳng qua G và song song với AC lấy điểm H sao cho HG AF đồng
thời H khác phía với C đối với đường thẳng BG.
1
2
Chứng minh rằng EHG ·CAB.
Câu 4 (1,0 điểm). Ký hiệu å để chỉ tập hợp các số thực khác 0. Tìm tất cả các hàm số f
xác định trên å , nhận giá trị thực và thỏa mãn
1
y
1
x
xf x yf ( y ) yf y xf ( x) x, y 0
y
x
x
y
Câu 5 (1,0 điểm). Một số nguyên dương được gọi là dễ thương nếu trong biểu diễn thập
phân của nó không có chứa chữ số 0 và tổng bình phương các chữ số của nó là một số
chính phương.
1. Tìm số dễ thương lớn nhất có hai chữ số.
2. Hỏi có hay không số dễ thương có 2013 chữ số?
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
Trang | 1
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
ĐÁP ÁN
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học
sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với
phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
1(3đ
)
Điể
m
Nội dung trình bày
1.1 (1,5 điểm)
Điều kiện x, y 0
Đặt
0,25
x a 0, y b 0; viết hệ đã cho về dạng
1 1
2
2
2
2
a 2b a 3b 3a b
1 1 2 b4 a4
a 2b
(1)
0,25
(2)
2
a 4 10a 2b 2 5b 4 a5 10a 3b 2 5ab 4 2
a
1
(2)-(1) thu được 5a 4 10a 2b 2 b 4 5a 4b 10a 2b3 b5 1
b
(1)+(2) thu được
(3)
(4)
Từ (3) và (4) thu được ( a b )5 3 và ( a b )5 1 .
5
Từ đó, tìm được a
0,25
0,25
0,25
5
3 1
3 1
và b
.
2
2
0,25
( 5 3 1)2
( 5 3 1)2
,y
Và do đó, tìm được x
4
4
1.2 (1,5 điểm)
Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm nguyên dương . Khi đó, theo
định lý Vietta, a, b và 3a và do đó
(1)
0,25
3
3 3 3 3 3 3 2 9 (2).
Nếu 3 thì 3 và
3
3
3
, mâu thuẫn với (1). Vậy
0,25
1 3
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
Trang | 2
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
2
Với 3 : khi đó 3, 3 3 3 3 3.3 9 1 1 4. Từ đó
0,25
3 a 9, b 27.
Với 2 : 2, 2 3 2 3 3.2 2 9 2 3 2 3 21. Giải phương
trình này với chú ý 2 ta được ; 12; 2 , 5;3 . Với
12, 2 a 16, b 52 . Với 5, 3 a 10, b 31.
0,5
Với 1: 1, 2 3 2 3 3.12 9 2 3 2 3 12, vô lí
Vậy tất cả các cặp số a; b 9;27 , 16;52 , 10;31 .
2(2đ
)
0,25
+ Chứng minh được nhận xét: “Với a,b,x,y,z,t là các số nguyên sao cho a b là
ước của x y và là ước của z t thì a b | xz yt ”
0,25
+ Mặt khác, do ( a c ) 2 (b d ) 2 ( a b c d )(a b c d ) ( a b c d ) nên suy
ra
a b c d | a 2 b 2 c 2 d 2 2( ac bd ) .
Từ đó, do giả thiết nên thu được a b c d | ac bd
(1)
+ Ta sẽ chứng minh kết luận của bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với n 1, 2 : thì kết luận hiển nhiên đúng.
0,25
0,25
Giả sử khẳng định đúng tới n, tức là a b c d | a n b n c n d n với n , n 2
Ta cần chứng minh a b c d | a n 1 b n 1 c n 1 d n 1
(2)
Thật vậy, do a b c d | (a c ) (b d ) và nhận xét ở trên suy ra a b c d là
ước của
( a c )( a n c n ) (b d )(b n d n ) a n 1 b n 1 c n 1 d n 1 ac( a n 1 c n 1 ) bd (b n 1 d n 1 )
Nhưng, do (1), giả thiết quy nạp và nhận xét ở trên suy ra
a b c d | ac( a n 1 c n 1 ) (bd (b n 1 d n 1 )
0,25
0,25
0,25
Vậy suy ra a b c d là ước của
( a c)( a n c n ) bd (b n d n ) ac( a n 1 c n 1 ) bd (b n 1 d n 1 ) a n 1 b n 1 c n 1 d n 1
3(3đ
)
0,25
(2) được chứng minh.
Từ đó, theo nguyên lý quy nạp, suy ra a b c d | a n b n c n d n với mọi số
nguyên dương n.
3.1 (2,0 điểm)
0,25
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
Trang | 3
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
H
F
G
A
E
N
M
I
C
B
Không mất tính tổng quát, xét trường hợp AB BC CA, các trường hợp khác xét
tương tự. Khi đó, E nằm trên đoạn CA, F nằm trên tia đối của tia AB, … (hình vẽ)
Từ giả thiết, suy ra F đối xứng với C qua phân giác trong của góc ABC . Do đó
CFA CFB 900
ABC
CAB BCA
ABC
900
và AIC 1800
. Suy
2
2
2
0,5
ra tứ giác AFCI nội tiếp.
BCA
CAB
IAC IFC ICF
và
2
2
BCA
CAB
CAB
) CAB
IBE
Do EBA BEC CAB (900
2
2
2
Từ đó AFI ACI
Hơn nữa, do tính đối xứng nên IEB IBE 900 MGC MCG ICG suy
ra tứ giác CIEG nội tiếp.
3.2 (1,0 điểm)
0,5
0,5
0,5
BCA
AFI
0,25
2
Hơn nữa, do IAB IEB nên GEI FAI suy ra GEI đồng dạng FAI
EG EG AF
HG AF AI
0,25
Suy ra
BI
EI
AI
GE GE BI
BCA
AIB suy ra HGE đồng dạng AIB
Nhưng HGE AEB 900
0,25
2
CAB
Từ đó EHG BAI
0,25
2
Chú ý. Nếu không có sự giả sử AB BC CA để có được thứ tự các điểm như trên hình
Do tứ giác CIEG nội tiếp, nên EGI ECI
4(1đ
vẽ, thì yêu cầu phải sử dụng góc định hướng trong chứng minh ở cả hai phần (với cách
giải như trên); trong trường hợp thí sinh không sử dụng góc định hướng, cũng không có
sự giả sử về thứ tự của các cạnh, đề nghị giám khảo trừ đi 0,5 điểm cho cả hai phần.
Đặt f ( x) x g ( x) , phương trình hàm đã cho được viết lại về dạng
0,25
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
Trang | 4
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
1
1
xg ( x ) yg ( y ) yg ( y ) xg ( x ) x, y 0
y
x
)
(1)
1
x
Cho y 1 thu được xg ( x 1) g (1) g (1 ) xg ( x) x 0
(2)
1
, ta được
x
1 1
1 1
1
1
g ( 1) g (1) g (1 x) g ( ) g (1 ) xg ( x 1) g ( ) xg (1) x 0 (3)
x x
x x
x
x
1
Từ (2) và (3) suy ra xg ( x ) g ( ) ( x 1) g (1) x 0
(4)
x
Trong (1), cho y 1 , bằng lập luận tương tự, cũng được
Trong (2), thay x bởi
0,25
0,25
1
xg ( x) g ( ) g (1)( x 1) n 0
(5)
x
Từ (4) và (5) suy ra 2 xg ( x) ( g (1) g (1)) x ( g (1) g (1) x 0 hay
b
b
x 0 , ở đây a, b là hai hằng số. Suy ra f ( x) a x x 0
x
x
b
Thử lại ta thấy f ( x) a x x 0 thỏa mãn phương trình đã cho.
x
g ( x) a
5(1đ
)
0,25
5.1 (0,5 điểm)
Giả sử số dễ thương có hai chữ số lớn nhất là ab,1 a, b 9 . Theo giả thiết ta có
a 2 b 2 c 2 là số chính phương. Nếu a, b đều không chia hết cho 3 thì
a 2 b 2 2 mod 3 , vô lý vì a 2 b 2 là số chính phương suy ra ab 0 mod 3 .
0,25
+) Nếu a 9 81 b 2 c 2 c 2 b2 81 không có nghiệm nguyên dương với
1b 9
+) Nếu a 8 b 3 b 3;6;9 , thử trực tiếp ta thấy b 6 thỏa mãn. Vậy số dễ
thương lớn nhất có 2 chữ số là 86.
5.2 (0,5 điểm)
2
Xét số A 222211...1 . Khi đó 22 22 22 22 1 ...12 2025 452 suy ra
2009 so1
2009 so12
A 222211...1 là số dễ thương.
0,25
0,5
2009 so1
------------------Hết------------------
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
Trang | 5