Xem mẫu
- TRƯỜNG THCS VINH QUANG ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG
Tổ: Tự nhiên Môn: TOÁN - Lớp 9
Đề số 1
Thời gian 90 phút (Không kể giao đề)
Câu 1: (2 điểm) Các biểu thức sau có thể âm được không? Có thể bằng 0 được
không?
A = 4x4 – 4x3 + x2
B = 2x2 – 2x + 1
Câu 2: (2 điểm) Cho hai số có tổng bằng và hiệu bằng tìm tích hai số ấy?
Câu 3: (2 điểm) Cho A = .
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A> -6
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là hình
chiếu của H trên AB, N là hình chiếu của H trên AC.
a) Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC
b) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMHN có diện tích lớn
nhất? Biết BC = a (Không đổi).
Câu 5: (1 điểm) Một người đo chiều cao AB bằng cách ngắm
từ C (Hình vẽ). Tính độ dài AB biết CH = 1,5m, = 450,
= 150.
TRƯỜNG THCS VINH QUANG ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG
Tổ: Tự nhiên Môn: TOÁN - Lớp 9
Đề số 2
Thời gian 90 phút (Không kể giao đề)
Câu 1: (1 điểm) Tìm chỗ sai trong bài toán Ngụy biện sau:
a2 – 2ab +b2 = b2 – 2ab + a2
(a – b)2 = (b – a)2
a–b=b–a
2a = 2b
a=b
Câu 2: (2 điểm) Cho hai số không âm a và b. Gọi trung bình nhân của hai số là .
Chứng minh rằng trung bình cộng của hai số không nhỏ hơn trung bình nhân?
(BĐT CôSi)
x + x 2 - 4x x - x 2 - 4x
Câu 3: (3 điểm) Cho biểu thức A = 2
-
2
.
x - x - 4x x + x - 4x
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm giá trị của x để A <
Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng = = .
Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = b (a>b), = α < 900.
Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành một tứ giác.
a) Tứ giác đó là hình gì?
b) Tính diện tích tứ giác đó theo a, b, α.
- HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ 1
Câu Đáp án Điể
m
1 A = 4x4 – 4x3 + x2 = x2(4x2- 4x + 1) = x2(2x-1)2 1
1a A = x2(2x-1)2≥ 0 ∀ x∈ R
A = 0 ⇔ 2x - 1 = 0 ⇔ x =
1b B = 2x2 – 2x + 1 = x2 + x2 - 2x + 1 = x2 + (x - 1)2 > 0 ∀ x∈ R 1
2 Gọi hai số là a và b ta có a + b = và a - b = 0,5
Vậy a = = ; b = =
⇒ a.b = . = = = 1 1
0,5
3 A = . Điều kiện 0 < x ≠ 1
3a Rút gọn: 1
Đặt = a ta có
A= . = .
= = = = -2a
Vậy A = -2
3b A = -6 ⇔ x = 1 1
A > -6 ⇔ < 3 ⇔ x < 9
Vậy để A > - 6 thì
4 0,5
H
4a Trong tam giác vuông AHB ta có: 0,5
AM.AB = AH2 (1)
Trong tam giác vuông AHC ta có:
AN.AC = AH2 (2) 0,5
Từ (1)&(2) ⇒ AM.AB = AN.AC
4b SAMHN = AM.AN = . = = 0,5
Gọi I là trung điểm của BC ta có:
AH ≤ AI = = nên SAMHN ≤ =
Do đó Max SAMHN = ⇔ H ≡ I ⇔ ∆ABC vuông cân tại A
0,5
0,5
5
- Ta có: KC = KB.Cotg 150 = 1,5.3,732 = 5,6 (m). 1
KA = KC = 5,6 (m).
AB = KA + KB = 5,6 + 1,5 = 7,1 (m)
TRƯỜNG THCS VINH QUANG ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG
Tổ: Tự nhiên Môn: TOÁN - Lớp 9
Đề số 2
Thời gian 90 phút (Không kể giao đề)
Câu 1: (1 điểm) Tìm chỗ sai trong bài toán Ngụy biện sau:
a2 – 2ab +b2 = b2 – 2ab + a2
(a – b)2 = (b – a)2
a–b=b–a
2a = 2b
a=b
- Câu 2: (2 điểm) Cho hai số không âm a và b. Gọi trung bình nhân của hai số là .
Chứng minh rằng trung bình cộng của hai số không nhỏ hơn trung bình nhân?
(BĐT CôSi)
x + x 2 - 4x x - x 2 - 4x
Câu 3: (3 điểm) Cho biểu thức A = - .
x - x 2 - 4x x + x 2 - 4x
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm giá trị của x để A <
Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng = = .
Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = b (a>b), = α < 900.
Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành một tứ giác.
a) Tứ giác đó là hình gì?
b) Tính diện tích tứ giác đó theo a, b, α.
Câu Đáp án Điể
m
1 Sai lầm trong bài là:
(a – b)2 = (b – a)2 0.5
=
Vì thế không thể suy ra a-b = b-a 0.5
2 Ta có BĐT: = (1) Với a ≥ 0; b ≥ 0 0.5
(1) ⇔ 2≥ ab ⇔ ≥ ab ⇔ a2+2ab+b2≥ 4ab
⇔ a2- 2ab + b2≥ 0⇔(a+b)2≥ 0 (Đúng với mọi a, b)
Đẳng thức xảy ra khi a = b. 0.5
0.5
0.5
- 3 x + x 2 - 4x x - x 2 - 4x
A= -
x - x 2 - 4x x + x 2 - 4x
3a Điều kiện để A có nghĩa:
0.25
* x -4x≥ 0⇔x(x-4)≥ 0⇔ ⇔ ⇔ x≥ 4 (1)
2
* Xét x2 = 2 ⇔ x2 = x2 - 4x ⇔ 4x = 0 ⇔ x = 0
Do đó với x≠0 thì x≠ ± (2) 0.25
(1)(2) ⇒ với x≥ 4 thì A có nghĩa.
0.25
0.25
3b Rút gọn: 1
A= = =
3c Giải Bpt:
< 1
⇔ x2-4x-5
- EFGH có 4 góc vuông vậy EFGH là hình chữ nhật.
5b DMBN là h.b.h, HD = HM, FB = FN nên HF//MB 1
HF = MB = AB - AM = a-b
Tương tự EG//AD. Tính được: = = α, EI = =
Kẻ EK ⊥ HF ta có EK = EI.sinα =
Do đó S EFGH = 2S∆EFH = HF.EK = (a-b)2.sinα
nguon tai.lieu . vn
