Xem mẫu
- PHÒNG GD&ĐT TP BẮC NINH CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN TOÁN
Năm 2010-2011
Thời gian: 120 phút
Bài 1(3 ®iÓm): T×m x biÕt:
a) x2 – 4x + 4 = 25
x 17 x 21 x 1
b) 4
1990 1986 1004
c) 4x – 12.2x + 32 = 0
1 1 1
0.
Bài 2 (1,5 ®iÓm): Cho x, y, z ®«i mét kh¸c nhau và
x y z
yz xz xy
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A 2 2 2
x 2 yz y 2 xz z 2xy
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1
đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào
chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính
phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
HA ' HB' HC'
a) Tính tổng
AA' BB' CC'
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc
AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
(AB BC CA ) 2
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất?
AA' 2 BB' 2 CC' 2
- ĐÁP ÁN
Bài 1(3 điểm):
a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )
c) 4 – 12.2 +32 = 0 2 .2 – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
x x x x
x x x x x
2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0 (2 – 8)(2 – 4) = 0 ( 0,25điểm )
x 3 x 2 x 3 x 2
(2 – 2 )(2 –2 ) = 0 2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0( 0,25điểm )
x 3 x 2
2 = 2 hoặc 2 = 2 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )
Bài 2(1,5 điểm):
1 1 1 xy yz xz
0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x y z xyz
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
yz xz xy
Do đó: A ( 0,25điểm )
( x y)(x z) ( y x )( y z ) (z x )(z y )
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )
Bài 3(1,5 điểm):
Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a , b, c, d 9, a 0 (0,25điểm)
2
Ta có: abcd k
với k, m N, 31 k m 100 (0,25điểm)
(a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m2
abcd k 2
abcd 1353 m2 (0,25điểm)
Do đó: m2–k2 = 1353
(m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 hoặc m–k = 33
m = 67 m = 37
k = 56 hoặc k = 4 (0,25điểm)
Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)
Bài 4 (4 điểm):
- Vẽ hình đúng (0,25điểm)
1
.HA'.BC
S HBC 2 HA'
a) ; (0,25điểm)
S ABC 1 AA '
.AA '.BC
2
SHAB HC' SHAC HB'
Tương tự: ; (0,25điểm)
S ABC CC' SABC BB'
HA' HB' HC' SHBC S HAB SHAC
1 (0,25điểm)
AA' BB' CC' SABC SABC SABC
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
BI AB AN AI CM IC
; ; (0,5điểm )
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
. . . . . 1 (0,5điểm )
IC NB MA AC BI AI AC BI
BI .AN.CM BN.IC.AM
(0,5điểm )
c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)
- BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
2 2 2
AB + AD (BC+CD)
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
2 2 2
Tương tự: 4AA’ (AB+AC) – BC
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
(AB BC CA ) 2
4 (0,25điểm)
AA'2 BB'2 CC'2
Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
ABC đều
Kết luận đúng (0,25điểm)
A
C’
B’ x
H
N
M
I A’ C
B
D
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó
- PHÒNG GD&ĐT TP BẮC NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS
ĐÁP CẦU NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN - LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (2 điểm)
1 1 x 1
a) Rút gọn biểu thức: A 2 : x 2 2x 1
x x x 1
b) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = x3 ax b chia hết cho đa thức x2 x 6
Câu II: (2 điểm)
Giải các phương trình sau:
15x 12 4
a) 2 1
x 3x 4 x 4 x 1
b) x x 2 x 1 x 1 24
Câu III: (2 điểm)
1 1 1
a) Cho x, y, z là các số khác không và đôi một khác nhau thỏa mãn: 0.
x y z
yz xz xy
Tính giá trị của biểu thức: A 2
2 2 .
x 2yz y 2xz z 2xy
x2 2x 2011
b) Cho biểu thức M = với x > 0
x2
Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu IV: (3 điểm )
Cho hình thoi ABCD có BAD 1200 . Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB, hai đường thẳng
DM và BC cắt nhau tại N, CM cắt AN tại E. Chứng minh rằng:
a) AMD ∽ CDN và AC 2 AM.CN
b) AME ∽ CMB .
Câu V: (1 điểm)
Cho a , b là các số dương thỏa mãn: a 3 b 3 a 5 b 5 . Chứng minh rằng: a 2 b 2 1 ab
=============Hết============
Họ và tên thí sinh:...................................................Số báo danh:..................................
Chữ ký của giám thị số 1:................................ Chữ ký của giám thị số 2:..................................
- ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:
CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM
a) ĐKXĐ 0,25 đ
1đ Rút gọn A:
1 1 x 1
A 2 : x 2 2x 1
x x x 1
1 1 x 1
A : 0,25 đ
x x 1 x 1 x 12
2
I 1 x x 1
A . 0,25 đ
2đ x x 1 x 1
x 1
A
x 0,25 đ
2
b) f(x) chia hết cho x x 6 f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2)
1đ f(- 3) = 0 3a b 27 (1) 0,25 đ
Tương tự ta có f(2) = 0 2a b 8 (2) 0,25 đ
Trừ hai vế của (1) cho (2) ta được: - 5a = 35 a 7 0,25 đ
Thay a = - 7 vào (1) tìm được b = 6 0,25 đ
a) ĐKXĐ: x 4 ; x 1 0,25 đ
1đ 15x 12 4
2
1
x 3x 4 x 4 x 1
15x 12 4
1
x 4 (x 1) x 4 x 1
15x 12 x 1 4 x 4 x 2 3x 4 0,25 đ
2
x 4x 0
x 0
x x 4 0 0,25 đ
x 4
x = 0 (thỏa mãn đ/k) ; x = - 4(không thỏa mãn đ/k)
II Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 0,25 đ
2đ
b) x x 2 x 1 x 1 24
1đ x x 1 x 2 x 1 24
x2 x x 2 x 2 24 0,25 đ
2
Đặt x x = t . Phương trình trở thành:
t t 2 24
t 2 2t 24 0
Giải phương trình tìm được t = - 4 ; t = 6 0,25 đ
* Với t = - 4 => x2 x 4
2
2 1 15
x x 4 0 x 0 (phương trình vô
4 4 0,25 đ
- nghiệm)
* Với t = 6 => x2 x 6 x 2 x 3 0
Gi¶i ph¬ng tr×nh ®îc: x= - 2 ; x = 3 0,25 đ
a) Từ giả thiết:
1đ 1 1 1 yz xz xy
0 0 yz xz xy 0 (vì x,y,z >0)
x y z xyz
yz xy xz x 2 2yz x 2 yz xy xz x z x y
Tương tự ta có: z 2 2xy = z x z y 0,25 đ
y 2xz = y z y x
2
yz xz xy
Khi đó: A
x z x y y z y x z x z y
yz y z xz z x xy x y
0,25 đ
x z x y y z
yz y z xz x z xy x z y z
x z x y y z
yz y z xz x z xy x z xy y z
III x z x y y z 0,25 đ
2đ
x x z y z y y z x z
x z x y y z
x z x y y z 1
x z x y y z
0,25 đ
2 2 2
b) x 2x 2011 2011x 2.2011x 2011 0,25 đ
1đ Ta có: M =
x2 2011x 2
x2 2.2011x 1 20112 2010x 2
0,25 đ
2011x2
2 2
x 2011 2010x 2
x 2011
2010 2010
2 2
2011x 2011x 2011 2011 0,25 đ
2
Dấu “=” xấy ra x 2011 0 x 2011 (thỏa mãn)
2010
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là đạt được khi x 2011 0,25 đ
2011
A
E
N M
IV a) B D
1đ 1,5 đ
C
0,25 đ
- Vẽ hình chính xác
* Xét AMD và CDN có
AMD CDN ( so le trong)
ADM CND ( so le trong) 0,25 đ
AMD CDN ( g. g ) 0,25 đ
* Vì AMD CDN
AM . CN = AD . CD 0,25 đ
Vì BAD 1200 CAD 600 ACD đều
0,25 đ
AD = CD = AC
2 0,25 đ
AM . CN = AC
0,25 đ
2
Vì AM . CN = AC theo (a)
AM AC
AC CN
Chứng minh MAC ACN 600 0,25 đ
MAC CAN ( c . g . c)
0,25 đ
ACM CNA
b) 0,25 đ
1,25 đ Mà ACM ECN 600
CNA ECN 600
AEC 600 0,25 đ
Xét AME và CMB có
AME BMC ( đối đỉnh); AEM MBC 600
AME CMB ( g . g)
0,25 đ
2 2
a b 1 ab
a 2 b 2 ab 1
a b a 2 b 2 ab a b
a 3 b3 a b 0,25 ®
V 1đ 0,25 ®
1đ
a 3 b3 a 3 b3 a b a 5 b 5
2a 3b3 ab 5 a 5b 0,25 ®
ab a 4 2a 2 b 2 b 4 0
2
ab a 2
b2 0 đúng a, b > 0 0,25 ®
Ghi chó: NÕu HS cã c¸ch lµm kh¸c mµ kÕt qu¶ ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a
nguon tai.lieu . vn
