Xem mẫu
- PHÒNG GD&ĐT TP BẮC NINH CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI HSG TOÁN 6
Năm học 2013-2014
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4… (-1)2010.(-1)2011
131313 131313 131313
b) B = 70.( + + )
565656 727272 909090
2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d
c) C = + + + biết = = = .
3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 2a
Câu 2. Tìm x là các số tự nhiên, biết:
x 1 8
a) =
2 x 1
2 2
0,4
1 3 9 11
b) x : ( 9 - ) =
2 2 8 8
1,6
9 11
Câu 3.
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho 34x5y chia hết cho 36 .
b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh
9 19 9 19
A 2010
2011 ; B 2011 2010
10 10 10 10
n 1
Câu 4. Cho A =
n4
a) Tìm n nguyên để A là một phân số.
b) Tìm n nguyên để A là một số nguyên.
Câu 5. Cho tam giác ABC có ABC = 550, trên cạnh AC lấy điểm D (D không trùng
với A và C).
a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.
b) Tính số đo của DBC, biết ABD = 300.
c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx = 900. Tính số đo ABx.
d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2
đoạn thẳng BD và CE cắt nhau.
………….Hết………….
- ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Câu 1 a) (1,5 đ)
1,5
(4,5 A = -1.1.(-1).1…(-1).1(-1) = -1
đ) b) (1,5 đ)
13 13 13 1 1 1
B = 70.( + + ) = 70.13.( + + ) 1,0
56 72 90 7 .8 8.9 9.10
1 1
= 70.13.( - ) = 39 0,5
7 10
c) (1,5 đ)
2a 3b 4c 5d
Đặt = = = =k 0,5
3b 4c 5d 2a
2a 3b 4c 5d
Ta có . . . = k4 => k4 = 1 k = 1. 0,5
3b 4c 5d 2a
2a 3b 4c 5d
C= + + + = 4 0,5
3b 4c 5d 2a
Câu 2 a) (2,0 đ)
(3,5đ) x 1 = 8 (x + 1)2 = 16 = ( 4)2 0,75
2 x 1
0,5
+) x + 1 = 4 => x = 3
0,5
+) x + 1 = - 4 => x = -5 (loại)
0,25
Vậy x = 3
b) (1,5 đ)
2 2 2 2
0,4 0,4
1 3
x : (9 - ) =
19 3
9 11 x :( ) = 9 11 x 1
2 2 8 8 2 2 2 2 8 4
1,0
1,6 4 0,4
9 11 9 11
0,5
=> x = 2
Câu 3 a) (1,5 đ)
(3,0 Ta có 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1 0,25
đ) Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho 4 và 9 0,5
34x5y chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y 9 => 12 + x + y 9 (1) 0,25
34x5y chia hết cho 4 khi 5y 4 => y = 2 hoặc y = 6 0,25
Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x 9 => x = 4 0,25
Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x 9 => x = 0 hoặc x = 9 0,25
Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6)
0,25
b) (1,5 đ)
9 19 9 10 9
Ta có A 2010
2011 2010 2011 2011
10 10 10 10 10 0,5
- CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
9 19 9 10 9
B 2011
2010 2011 2010 2010
10 10 10 10 10
10 10 0,5
Ta thấy 2011 2010 => Vậy A > B
10 10
0,5
Câu 4 a) (1,0 đ)
(3,0 A = n 1 là phân số khi n + 4 0 => n - 4 1,0
đ) n4
b) (2,0 đ)
A=
n 1
=
n 45
1
5 0,5
n4 n4 n4
Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên 5 n + 4 hay n + 4 Ư(5) 0,5
Lập luận tìm ra được n = -9, -5, -3, 1 1,0
Câu 5 A
(6,0
đ) E
D
B C
a) (1,5 đ)
1,5
D nằm giữa A và C => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm
b) (1,5 đ)
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên ABC = ABD + DBC 1,0
=> DBC = ABC –ABD = 550 – 300 = 25 0 0,5
c) (1,5 đ)
Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là
AB
Tính được ABx = 900 – ABD
0,75
Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên 00
- CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
d) (1,5 đ)
- Xét đường thẳng BD.
Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa
MP có bờ BD chứa điểm C và nửa MP bờ BD chứa điểm A => tia BA
thuộc nửa MP chứa điểm A.
E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa MP bờ BD chứa điểm A
=> E và C ở 2 nửa MP bờ BD
=> đường thẳng BD cắt đoạn EC 0,75
- Xét đường thẳng CE. 0,5
Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD.
Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau. 0,25
- PHÒNG GD&ĐT TP BẮC NINH CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2011 - 2012
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
-----------------------------
Bài 1: ( 2 điểm)
1. Thực hiện tính A bằng cách nhanh( hợp lý) nhất:
2010 x 2011 1005
A=
2010 x 2010 1005
2. Thực hiện phép tính:
2 2 2
B = 331 1 ...1
3 5 99
Bài 2: (2 điểm)
Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220
a. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5.
b. Tìm chữ số tận cùng của M.
Bài 3: ( 2 điểm )
1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho :
n+5 n–2
2. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho :
(2x + 1)(y – 3) = 10
Bài 4: ( 3 điểm)
1. Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm giữa A và B, điểm M là trung điểm
a
của AC , điểm N là trung điểm của CB. Hãy chứng tỏ rằng MN = .
2
2. Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông. Đường chéo AC cắt
đường cao BH tại I. So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác
BHC.
Bài 5 (1 điểm)
Cho A = 3.(2 2+1).(24+1).(28+1).(216+1)
Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của A
-------------------------------
- HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: ( 2 điểm)
1) Thực hiện tính A bằng cách nhanh (hợp lý) nhất:
2010 x 2011 1005 2010 x (2010 1) 1005 2010 x 2010 2010 1005
A= =
2010 x 2010 1005 2010 x 2010 1005 2010 x 2010 1005
2010 x 2010 1005
= 1
2010 x 2010 1005
2) Thực hiện phép tính:
2 2 2 1 3 5 97 1 1
B = 331 1 ...1 = 33. . . ... = 33. =
3 5 99 3 5 7 99 99 3
Bài 2: (2 điểm)
Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220
a) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5 :
M = 2 + 22 + 23 + … + 220
= (2 + 2 2 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 2 8) + … + (2 17 + 2 18 + 219 + 220)
= 2.(1 + 2 + 22 + 23 ) + 2 5.(1 + 2 + 22 + 23) + … +217.(1 + 2 + 22 +23)
= 2. 15 + 25.15 + …+ 217.15
= 15. 2(1 + 24 + …+ 216)
= 3 . 5 .2 .(1 + 24 + …+ 216) 5
b) Tìm chữ số tận cùng của M:
Dễ thấy M 2 ; M 5 mà ƯCLN( 2; 5) = 1 nên M 10.
Do đó M tận cùng bằng chữ số 0.
Bài 3: ( 2 điểm )
1) Ta có : n + 5 = (n – 2) + 7 n – 2 7 n – 2
n – 2 Ư(7) = 1 ; 7
n–2 1 -1 7 -7
n 3 1 9 -5
Vậy : n 3 ; 1 ; 9 ; 5
2) Ta có x , y N nên (2x + 1) và (y - 3) là các ước của 10. Hơn nữa 2x + 1 > 0
và là số lẻ nên 10 = 1 . 10 = 5 . 2
2 x 1 1 2 x 1 5
Do đó : hoặc
y 3 10 y 3 2
x 0 x 2
Suy ra : hoặc
y 13 y 5
Bài 4: ( 3 điểm)
1
1) M là trung điểm của AC nên : AM = MC = .AC
2
- 1
N là trung điểm của CB nên : CN = NB = .CB
2
1
Suy ra : MC + CN = ( AC + CB )
2
C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N .
C nằm giữa M và N MC + CN = MN
C nằm giữa A và B AC + CB = AB = a
a
Do đó : MN = .
2
2) Nối BD. Ta có : SBDC = SADC ( cùng đáy DC và chiều cao BH bằng AD)
1
SBDH = SDBA (= SABHD) ; SDBA = SIAD ( cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau)
2
Do đó :
SBHC = SBDC – SBDH = SBDC - SDBA = SADC – SIAD = SIDC
Vậy : SBHC = SIDC .
Bài 5 (1 điểm)
Rút gọn A ta có:
A = 3(22+1).(24+1).(2 8+1).(216+1)
= (4-1).(22+1).(2 4+ 1).(28+1).(216+1)
= [(2 2 - 1).(22+1)] x (24+ 1).(28+1).(216+1)
= (2 4-1).(24+1).(28+1).(216+1)
= (2 8-1).(28+1).(216+1)
= (2 16-1)(216+1)
= 232 - 1
Biết 2 32 tận cùng là 2 A = 232 – 1 tận cùng bằng 1 (ĐS)
nguon tai.lieu . vn
