Xem mẫu
- ĐỀ ĐỀ NGHỊ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 9 –Thời gian: 150 phút
NĂM HỌC 2012 – 2013
NGƯỜI RA ĐỀ: HUỲNH MINH HUỆ
Câu 1: (2điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì:
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Câu 2: (5điểm)
a/ (2điểm) Phân tích đa thức sau ra thành nhân tử:
A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
b/ Cho biểu thức(3điểm):
x y xy
P=
( x y )(1 y ) ( x y )( x 1) ( x 1)(1 y )
( x 0 , y 0 , y 1, x + y 0
* Rút gọn P(2,0điểm).
* Tìm x, y nguyên thoả mãn phương trình P = 2.(1,0điểm)
Câu 3: (5điểm)
a/ (2,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002(
b/ (2,5điểm) Giải phương trình:
x 2 3x 2 x 3 x 2 x 2 2 x 3
Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A, BC = 3 5 cm, gọi I là giao điểm của các
đường phân giác. Biết IA = 2 5 cm, IB = 3cm. Tính độ dài AB.
Câu 5:(4điểm) Cho đường tròn t âm O, điểm K nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ
các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn ( A,B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính
AOC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt AB ở E. Chứng minh rằng
a/ Tam giác KBC đồng dạng tam giác OBE.
b/ CK vuông góc OE.
...........................Hết.............................
- PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học : 2012-2013
MÔN THI : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 150 phút
(Không tính thời gian phát đề)
Bài 1 (3 điểm). Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình x2 + y2 = z2
Chứng minh rằng:
a. Trong hai số x, y có ít nhất một số chia hết cho 3
b. Tích xy chia hết cho 12
Bài 2 (4 điểm).
1) Cho biểu thức A = x + 2y + 1 – 2 x – 2 xy .
Tìm x, y để A đạt giá trị nhỏ nhất ?
1 1 x 1
; x 1; x 2 .
2) Cho b`iểu thức M = 1 x 1 1 x 1 : x 1 1
2
a. Chứng minh rằng: M=
x 1 1
b. Với giá trị nguyên nào của x thì M có giá trị nguyên.
Bài 3 (4 điểm).
1) Cho a a 2 5 b b 2 5 5 . Tính a + b
1 1 1 1
2) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a 2 b 2 c 2 3 . Chứng minh:
a b c abc
Bài 4 (4 điểm).
Cho tam giác ABC cân tại A. Từ trung điểm H của BC, kẻ HK AB. Gọi M là
trung điểm của HK.
Chứng minh góc KCB = góc MAH và AM vuông góc với CK .
Bài 5 (5 điểm).
Cho hình vuông OABC có độ dài cạnh bằng r, vẽ đường tròn tâm O bán kính r.
Trên đường tròn (O) lấy điểm M (M nằm trong hình vuông OABC). Tiếp tuyến của
đường tròn qua M cắt AB tại D và cắt BC tại E.
a. Chứng minh AB và BC là các tiếp tuyến của (O)
b. Tính chu vi (theo r) của tam giác BDE
c. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác BDE.
HẾT
- PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (NĂM HỌC 2012 - 2013)
ĐỀ ĐỀ NGHỊ Môn: TOÁN (Thời gian: 150 phút)
Họ và tên GV ra đề: HỒ THỊ SONG
Đơn vị: Trường THCS HOÀNG VĂN THỤ
Bài 1 : (4 đ)
a) Chứng minh rằng : 3 32 33 34 ... 328 329 330 chia hết cho 13.
b) Giải phương trình nghiệm nguyên : xy = x + y
Bài 2 : (6 đ)
a) Cho x x 2 2012 y y 2 2012 2012 . Tính x + y.
b) Cho 10 2 21 a b . Tính a – b.
a b c 1 1 1
c) Cho a,b,c >0. Chứng minh : 2
bc ca ab a b c
x 8 3x 4 4
Bài 3 : (1 đ) Rút gọn :
x4 x2 2
Bài 4 (2 đ)
Tính S = 1 2 3 4 ... 1012 1
Bài 5 : (3 đ) Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung
điểm của AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh BM vuông góc với MK.
Bài 6 : (4 đ) Cho đường tròn tâm O bán kính là 1cm. Tam giác ABC thay đổi và
luôn ngoại tiếp đường tròn tâm O. Một đường thẳng đi qua tâm O cắt các đoạn AB,
AC lần lượt tại M,N.
AM AN
a) Chứng minh S AMN
2
b) Xác định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN.
- PHÒNG GD&ĐT ĐẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013
LỘC MÔN : TOÁN 9
========== Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
----------------------------------------------
Họ và tên GV ra đề: Lâm Thanh Tuấn
ĐỀ ĐỀ NGHỊ Đơn vị: Trường THCS Lê Lợi
Câu 1: (2,0 điểm):
a) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên lẻ thì n3 + 3n2 - n - 3 chia hết cho 48.
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5 x 7 y 112
Câu 2: (5,0 điểm)
a) Rót gän c¸c biÓu thøc sau : (Không sử dụng máy tính bỏ túi)
1 1 1 1 1
A= + + ..... + +
1 5 5 9 9 13 2005 2009 2009 2013
B = x3 - 3x + 2006 víi x = 3 3 2 2 + 3 3 2 2
b) Phân tích đa thức thành nhân tử: M = xy(x - 2)(y + 6) + 12x2 - 24x + 3y2 + 18y + 36.
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình sau: 3x2 + 4x + 10 = 2 14 x 2 7
x 3 x 1 1
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: N = ; (x 1)
x 4 x 1 2
c) Cho x, y, z d¬ng tho¶ m·n: x + y + z = 1. Chứng minh: x y y z z x 6
Câu 4: (4,5 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD (AB//CD, Â = 900) đường cao BH. Điểm M thuộc đoạn
HC. Từ D kẻ đường thẳng vuông với BM, đường thẳng này cắt BH và BM theo thứ tự ở
E và F.
a) Chứng minh bốn điểm B, F, H, D cùng nằm trên một đường tròn và EB.EH =
ED.EF.
b) Cho AB = 10 cm, BM = 13 cm, DM = 15 cm.Tính độ dài của các đoạn thẳng AD,
DF và BF (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
c) Khi M di chuyển trên đoạn HC thì F di chuyển trên đường nào?
Câu 5: ( 3,5 điểm) Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a, gäi R vµ r lÇn lît lµ c¸c b¸n kÝnh c¸c
®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABD vµ ABC.
1 1 4
a) Chøng minh : 2
2 2
R r a
- 8 R3r 3
b) Chøng minh : S ABCD ; ( KÝ hiÖu S ABCD lµ diÖn tÝch tø gi¸c ABCD )
( R 2 r 2 )2
===================== Hết ====================
- PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (NĂM HỌC 2012-2013)
MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút)
Họ và tên GV ra đề: Phan Thị Thu
ĐỀ ĐỀ NGHỊ Đơn vị: Trường THCS Lý Thường Kiệt
Câu 1 (3 điểm)
Cho đa thức f(x) = x 4 + 6x 3 + 11x 2 + 6x
a) Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì f(x) + 1 luôn có giá trị là một số
chính phương.
Câu 2 (4 điểm)
a)Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
11x – 20y = 49.
b) Cho x 3 5 2 3 3 5 2 3 . Tính giá trị của biểu thức
2
A x 2x 2
Câu 3 (5 điểm)
3x 2
a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn y 2 + yz + z 2 = 1 - . Tìm giá trị nhỏ nhất
2
và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z .
b) Chứng minh rằng: Nếu các số dương a, b, c có tổng a + b + c = 1 thì
1 1 1
9
a b c
Câu 4: (8 điểm)
1. Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC.
a) Giả sử BPC = 1350. Chứng minh rằng AP2 = CP2 + 2BP2.
b) Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và AB tương ứng tại các điểm M
và N. Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn MN. Chứng minh
rằng khi P thay đổi trong tam giác ABC, đường thẳng PQ luôn đi qua D.
2. Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc
cạnh AC. Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 không lớn hơn 1.
1
Chứng minh rằng SABC (SABC là diện tích tam giác ABC).
3
.
……Hết……
- PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (NĂM HỌC 2012 - 2013)
Môn: TOÁN 9 (Thời gian: 150 phút)
Họ và tên GV ra đề: Nguyễn Cúc ĐỀ ĐỀ NGHỊ
Đơn vị: Trường THCS Lý Tự Trọng
Câu I`/ (2đ)
1/ Cho P (a 2 ab 1) 3 (b 2 3ab 1) 3 (a b) 2 . Chứng minh rằng P chia hết cho 6
với mọi số nguyên a,b.
2/Tìm số tự nhiên n sao cho số n2 + 2n + 12 là số chính phương
Câu II/(5đ)
1/ Cho biểu thức :
x 1 2 x
P = 1
: 1
x 1 x 1 x x x x 1
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Q = P - x nhận giả trị nguyên.
2/Cho biểu thức A = x – 2 xy + 3y - 2 x + 1. Tìm giá trị nhỏ nhất mà A có thể đạt
được.
Câu III/(5đ)
1/Giải phương trình: x 2 5 x x 2 5 x 4 2
2/Cho ba số thực a, b, c không âm sao cho a b c 1 .
Chứng minh: b c 16abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
3/Tìm x để biểu thức A x x 2012 có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó
Câu IV/ (3đ)
Cho hình chữ nhật ABCD, đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường
thẳng AB, AD lần lượt tại E, F. Chứng minh:: BE CF DF CE AC EF
Câu V/ (5đ)
Cho (O; R), AB và CD là hai đường kính cố định vuông góc với nhau. M là một
điểm thuộc cung nhỏ AC, K, H lần lượt là hình chiếu của M trên CD, AB.
1/ Tính Sin 2 MBA Sin 2 MAB Sin 2 MCD Sin 2 MDC
2/ Chứng minh: OK 2 AH (2 R AH )
3/ Tìm vị trí điểm H để giá trị của P = MA.MB.MC.MD lớn nhất
.......................................
- PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐẠI LỘC
TRƯỜNG THCS MỸ HOÀ
CẤU TRÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
Năm học: 2012- 2013
Câu Phân Thành Nội dung Điểm
môn phần của từng
câu câu
1 Số học 1 - Toán số chính phương 2
(C.2)
2 Đại số 2 Thực hiện phép biến đổi về căn bậc hai. 5
(C.1.1;2) Rút gọn biểu thức đại số . Tìm giá trị nguyên, điều kiện
để có giá trị nguyên.
Phân tích thành nhân tử
3 Đại số 2 - Giải phương trình vô tỉ một hoặc hai căn thức 5
(C.3.1;2) - Chứng minh bất đẳng thức. Toán áp dụng bất đẳng thức
Cô
– si cho 2 số
-Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức .
4 Hình 2 Các bài toán có liên quan đến tam giác , tứ giác . chu vi, 4
học (C.5.1;2) diện tích
Các bài toán có liên quan đến hệ thức lượng trong tam
giác, tỉ số lượng giác
5 Hình 2 Các bài toán hình học có liên quan đến đường tròn 4
học (C.4.1;2) Toán cực trị hình học – Bất đẳng thức hình học
- PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐẠI LỘC
Trường THCS MỸ HOÀ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1( 5 điểm ) :
2 2 x 1
; x 1; x 2 .
1. Cho biểu thức M = 1 x 1 1 x 1 : x 1 1
4
a. Chứng minh rằng: M= .
1 x 1
b. Với giá trị nguyên nào của x thì M có giá trị nguyên.
2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x3 + 4x - 16
b) x4 + 6x3 + 7x2 - 6x – 24
Câu 2 (2 điểm ): Tìm x,y N biết : 2013x + 440 = y2
Câu 3 ( 4 điểm ):
2 2011 2 2012 2 2013
1. Chứng minh rằng : 1 2011 2
2 2 2012 2 2012 2 2013 2 2013 2 2011
2. Tìm x biết: ( x 2013) (2 x 1) 2013x 2013 2 x 2012
Câu 4 ( 4 điểm ):
Cho đường tròn ( O ; R ), đường kính BC = 2R. Lấy điểm A bất kì thuộc (O); A B;
C. Vẽ AH BC tại H; HE AB tại E; HF AC tại F.
1. Chứng minh AE.AB = AF.AC.
2. Chứng minh rằng EF 2 R 2 .
Câu 5 ( 4 điểm ):
1. Cho tam giác nhọn ABC có số đo góc A bằng 600, các đường cao BD, CE. Gọi M là
trung điểm của BC. Tam giác MDE là tam giác gì, chứng minh.
2. Cho tam giác nhọn ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao
OM ON OP
cho AM, BN, CP cắt nhau tại O. Tính
AM BN CP
.................... Hết ......................
- PHÒNG GD & ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (NĂM HỌC 2012 - 2013)
Môn: TOÁN 9 - Thời gian: 150 phút
ĐỀ ĐỀ NGHỊ Họ và tên GV ra đề: Lê Thị Ngọc Bích
Đơn vị: Trường THCS NGUYỄN HUỆ
a3 a2 a
Bài 1( 2 đ) . Cho biểu thức A = + + với a là số tự nhiên chẵn.
24 8 12
Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên.
Bài 2( 3 đ)
1. Rút gọn biểu thức sau
B = 3 5 3 5 2
x4 x4 x4
2. Cho biểu thức: A
x 1 2 x 1 1
a/ Rút gọn A.
b/ Tìm x Z để A Z
Bài 3 (6đ)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 – 9x2 + 13x – 6
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau với x >1
9
P = x+ +3
x 1
3. Giải phương trình: x - 2 + 6 - x = x 2 - 8x + 24
Bài 4 (4đ)
1.Cho ΔABC cân ở A, đường cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở đáy bằng α. Chứng
minh rằng:
h2
SABC =
4 sin cos
2. Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO
lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh :
OM ON OP
1
AM BN CP
Bài 5(5đ) Cho đường tròn(O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho
OA=R 2 .Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy
D thuộc AB, E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R.
1. Chứng minh tứ giác ABOC là hình vuông.
2. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).
3. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ADE.
------------------------HẾT--------------------------
- TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI
GV RA ĐỀ: PHẠM VĂN THANH
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN: TOÁN
ĐỀ ĐỀ NGHỊ
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (3 điểm)
a) Cho a là số nguyên. Chứng minh a3 – a chia hết cho 6.
b) Cho ba số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng:
Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 cũng chia hết cho 6.
Bài 2: (3 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 5 21 5 21 2 4 7 2
2 3 6 8 16
b) B =
2 3 4
Bài 3: (3 điểm) Giải các phương trình sau:
7
a) x2 x 2
5 b) x 2 5 x 8 2 x 3
x x 1
Bài 4: (3 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
M = x2 + 5y2 + 4xy + 2x + 2018
b) Chứng minh rằng:
a2 b2
2 2 với a > b > 0 và a.b =1
ab
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK.
1 1 1
Chứng minh: 2
2
BK BC 4 AH 2
Bài 6: (5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By
(Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi C là điểm bất kì
trên tia tiếp tuyến Ax vẽ tiếp tuyến CM (M là tiếp điểm, M khác A) cắt tiếp tuyến By ở D.
a) Cho AB = 4cm, xác định vị trí của điểm C trên tia Ax để chu vi tứ giác ABDC
bằng 14cm.
- b) Đặt AB = 2R và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD bằng r.
1 r 1
Chứng minh
3 R 2
- Phòng GD&ĐT Đại Lộc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012– 2013
Thời gian làm bài : 150 phút (Không kể thời gian phát đề )
Môn : Toán Lớp : 9
Người ra đề : Nguyễn Văn Tiến
Đơn vị : THCS Phan Bội Châu
ĐỀ ĐỀ NGHỊ
ĐỀ BÀI.
Bài 1: ( 4 điểm) Cho biểu thức
a3 a a 2 a 3 9a
A 1 :
a 9 a 3 2 a a a 6
a) Rút gọn A.
b. Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên
Bài 2 (1 điểm): Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1, luôn
là số chính phương
Bài 3 (4 điểm) giải phương trình
1 1 1
1) 1
x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x
2) x 3 2 x 4 2 x 4 3
Bài 4: (4điểm)
Chứng minh đẳng thức:
abc 4 bc
4
a a 1
với a > 0, b > 0 và abc 2
abc 2 a
Bài 5: (4điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By
của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ
AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của
nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E.
a) Chứng minh rằng: DOE là tam giác vuông.
b) Chứng minh rằng: AD BE = R 2 .
c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ
giác ADEB nhỏ nhất.
Bài 6 ( 3 điểm)
Cho đường tròn ( O, 15 cm) dây BC = 20 cm các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C
cắt nhau tại A. Gọi H là giao điểm OA và BC
a. Chứng minh rằng: HB = HC
b. Tính độ dài OH
c. Tính độ dài OA
1
- PHÒNG GD – ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (NĂM HỌC 2012-2013)
Môn: Toán (Thời gian: 150 phút)
Họ tên người ra đề: Phạm Thị Lệ Dung
ĐỀ ĐỀ NGHỊ
Đơn vị: Trường THCS Quang Trung
Bài 1: 2 điểm
a) Chứng minh rằng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x + 3y = 11
Bài 2: 5 điểm
1. a) Rút gọn: A = 5 3 29 12 5
b) Cho x, y thỏa mãn 3x + 4y = 5. Chứng minh rằng x2 + y2 1
a 6
2. Cho M = ( a 0)
a 1
Tìm các số nguyên a để M là số nguyên.
Bài 3: 3điểm
a) Giải phương trình: 2 x 1 x 2 x 1
b)Cho A (3; -1); B (-1;-3); C (2;-4). Xác định dạng của tam giác ABC và tính diện
tích của tam giác đó.
Bai 4:(2điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 9 x 2 6 x 1 9 x 2 30 x 25
Bài 5: 3 điểm
Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường chéo AC và
BD vuông góc với nhau, BD bằng 15cm
Bài 6 : 5 điểm
Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc
với AB, AC tại H, K. Một tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt các cạnh AB, AC ở
M, N.
a) Cho góc B = góc C = . Tính góc MON.
b)Cho BC = 2a. Tính tích BM.CN.
c)Tiếp tuyến MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?
----Hết----
- PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9(NĂM HỌC:2012-2012)
Môn:Toán.Thời gian:150 phút
Người ra đề:Nguyễn Thị Bảo Duyên
ĐỀ ĐỀ NGHỊ Trường THCS Tây Sơn
Câu 1: (4điểm)
a/So sánh: 2011 2013 với 2 2012
b/Cho a, b là 2 số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng: a2 – b2 chia hết cho 8
Câu 2:( 4 điểm )
2
x 2 x 2 1 x
Cho biểu thức : P
x 1 x 2 x 1 2
( với x 0; x 1 )
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng : nếu 0 < x < 1 thì P > 0
c) Tìm giá trị lớn nhất của P
Câu 3: (3 điểm)
Cho hàm số: y = mx +m + 1 (d) (m là tham số)
a) Tìm m để đồ thị hàm số (d) cắt đường thẳng y = -2 tại điểm có hoành độ
bằng 1 ?
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đồ thị hàm số (d) bằng
(đơn vị đo trên các trục toạ độ là centimet)
Câu 4 :(3 điểm )
a/Giải phương trình sau
x 2 3x 2 x 1 4 .
b/Cho ba số a, b, c thoả a + b+ c = 0. CMR: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0
Câu 5: (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã AB = c; AC = b; BC = a, ph©n gi¸c AD
a) Chøng minh hÖ thøc AD2 = AB.AC – BD.DC
b) TÝnh ®é dµi ph©n gi¸c AD. ?
Câu 6:(3 điểm) Cho nửa đường (O, R) đường kính AB, bán kính OC vuông góc với
AB. M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn (O) ( M khác A và B). Tiếp tuyến của nửa
đường tròn (O) tại M cắt OC, cắt tiếp tuyến tại A và cắt tiếp tuyến tại B của nửa đường
tròn (O) lần lượt tại D, E và H. Gọi F là giao điểm của AE và BD.
a) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABHE là
nhỏ nhất.
AB 2
b) Chứng minh EA. EF= .
4
**********************&&&**********************
- TRƯỜNG THCS TRẦN HƯNG ĐẠO
ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN :9
ĐỀ ĐỀ NGHỊ
NĂM HỌC 2012-2013
Bài 1 (2 điểm).
a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương, ta có: 5n(5n + 1) – 6n(3n + 2n) chia hết
cho 91.
b/ Phân tích đa thức Q = 2x2 - 9x + 9 thành nhân tử.
Bài 2 (2,0 điểm). Tính:
B = 3 20 14 2 3 20 14 2
2 2
C = (- x3 + 3x2 - 1)2011 biết x =
3 5 3 5
x x x4
Bài 3 (4,0 điểm). Cho biểu thức: S =
x 2 x 2 4x
a) Rút gọn biểu thức S.
b) Tìm x để S - 3 < 0.
3
c) Tìm số nguyên x để biểu thức H = có giá trị nguyên
S 1
Câu 3: (4 điểm). Tìm giá trị bé nhất của biểu thức:
P = 3x 2 -18x+28 + 4x 2 - 2x + 45 .
2
Áp dụng hãy giải phương trình: 3x 2 -18x+28 + 4x 2 - 2x + 45 = -5 – x + 6x
Câu 4: (2 điểm). Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5
Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab.
Câu 5: (6 điểm). Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vuông góc với AD (
H AD); kẻ CK vuông góc với AB ( K AB). Chứng minh rằng:
a) Hai tam giác KBC và HDC đồng dạng
b) Hai tam giác CKH và BCA đồng dạng
c) AB. AK + AD. AH = AC2
d) HK = AC.cosKCB
- PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (NĂM HỌC 2012 - 2013)
Môn: TOÁN (Thời gian: 150 phút)
ĐỀ ĐỀ NGHỊ Họ và tên GV ra đề : Nguyễn Văn Tân
Đơn vị : Trường THCS Võ Thị Sáu
5125 1
Bài 1(2đ): Chứng minh rằng số N là hợp số.
5 25 1
Bài 2 (5đ):
2 3 2 3
a) Tính S .
2 3 2 3
2 2
4 2
b) Cho B a 2 2 8 a 48 (a 0)
a a
1) Rút gọn B.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
Bài 3 (5đ):
1 1
a) Giải phương trình: x x x 2.
2 4
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
a b c
2
bc ac ab
Bài 4 (4đ):
a) Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, AB=c nội tiếp đường tròn (O; R). Biết
a2+b2+c2=8R2. Tam giác ABC là tam giác gì ?
b) Cho góc xOy. Hai điểm A, B thuộc tia Ox; hai điểm C, D thuộc tia Oy. Tìm
tập hợp những điểm M nằm trong góc xOy sao cho hai tam giác MAB và
MCD có cùng diện tích ?
Bài 5 (4đ): Cho tam giác ABC cân tại A. Từ H là trung điểm của BC, kẻ HI AC. Gọi D là
trung điểm của HI.
a) Chứng minh hai tam giác AHD và BCI đồng dạng.
b) Chứng minh AD BI.
========= HẾT =========
- UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo LỚP 9 THCS năm học 2008 - 2009
Môn : toán
Đáp án và thang điểm:
Bài Câu Nội dung Điểm
1 (4 điểm)
1.1
(2 đ) 2 4 5 21 80
A
10 2
2 0,5
21 80 1 4 5 2 5 1 2 5
5 21 80 6 2 5 1 5 0,5
2
A
2 3 5
62 5
5 1 1 1,0
2( 5 1) 5 1 5 1
1.2 x 2 x 6 x 2 x 18 0 .
(2 đ) 0,25
Điều kiện để phương trình có nghĩa: x 2 x 6 0
Đặt t x 2 x 6 t 0 x 2 x 18 t 2 12 t 0 0,5
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
t 2 t 12 0 t 0 t 3 (t 4 0 loại)
0,5
1 61 1 61
t 3 x 2 x 6 9 0 x 2 x 15 0 x1 ; x2
2 2 0,5
1 61
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1,2
2 0,25
2 (3 điểm)
2.1 m 1 x 3 3m 1 x 2 x 4m 1 0 (1)
0,5
m 1 x 3 m 1 x 2 4mx 2 x 4m 1 0
m 1 x 2 x 1 4m x 2 1 x 1 0 0,5
x 1 m 1 x 2 4mx 4m 1 0
0,25
2.2 Ta có:
x 1 m 1 x 2 4mx 4m 1 0
x 1 (a )
2
g ( x ) m 1 x 4mx 4m 1 0 (b) 0,5
- Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (b) phải có hai 0,25
nghiệm phân biệt khác 1, tương đương với:
m 1
m 1
1 1
' 1 3m 0 m m 1, m 0, m (*) 0,50
g (1) 0 3 3
9m 0
Với điều kiện (*), phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có một
nghiệm x = 1 > 0 và hai nghiệm còn lại x1 và x2 (x1 < x2 ) là nghiệm của (b).
Do đó để (1) có 3 nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm âm thì x1 < x2
- 2
P sin 2 cos 2 3sin 2 cos 2 1 3sin 2 cos 2 0,25
áp dụng kết quả câu 3.1, ta có:
2 1 0,25
sin 2
cos 2 4sin 2 cos 2 1 4sin 2 cos 2 sin 2 cos 2
4
3 1 0,25
Suy ra: P 1 3sin 2 cos 2 1
4 4
1
Do đó: Pmin khi và chỉ khi: sin 2 cos 2 sin cos (vì là góc
4
sin
nhọn) 1 tg 1 450 0,5
cos
4 (6,0 điểm)
4.1.a + Ta có: BD = BF, CD = CE
và AE = AF (Tính chất của
hai tiếp tuyến cắt nhau).
Do đó: 0,5
BC x y , AC y z ,
AB x z
Theo định lí Pytago:
BC 2 AB 2 AC 2 0,5
2 2 2
x y x z y z
0,5
2 xy 2 z x y 2 z 2 xy z x y z (a)
4.1.b Gọi r là bán kính, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
1 1 1 1 0,5
Ta có: S ABC AB AC BC r CA r AB r x y z r (b)
2 2 2 2
Tứ giác AEIF có 3 góc vuông, nên là hình chữ nhật.
Nhưng AE = AF (cm trên), nên AEIF là hình vuông, 0,5
Do đó: z EI r (c)
Từ (a), (b), (c) suy ra: AB AC 2 xy AB AC 2 DB DC 0,5
4.2 + Theo giả thiết: AM 2MC và AN 2 NC
Suy ra:
AM AN 2 MN AM 2
MN // BC . 0,5
AC AB 3 BC AC 3
+ Gọi E là giao điểm của BM và CN, theo định lí Ta-lét,
EM EN MN 2
ta có: .
EB EC BC 3
0,5
Gọi BK là đường cao hạ từ B của tam giác ABC, ta có:
1
AC BK
S ABC AC
2 3 S ABC 3S BCM 1,0
S BCM 1 CM BK CM
2
2
nguon tai.lieu . vn
