Xem mẫu
- UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011
================
Câu 1:(5 điểm)
1/ Cho hàm số y x 3 3x 2 có đồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng
hàng trên (T), tiếp tuyến của (T) tại các điểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các
điểm A’, B’, C’ (tương ứng khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng
hàng.
2/ Cho hàm số y x 2n 1 2011x 2012 (1) , chứng minh rằng với mọi số nguyên
dương n đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm.
Câu 2:(5 điểm)
1/ Giải phương trình: log 2 x log 4 x log 6 x log 3 x log 5 x log 7 x x .
2 1 1
2/ Giải phương trình: 5x 6 x2 x .
5x 7 x 1
Câu 3:(3 điểm)
Kí hiệu C k là tổ hợp chập k của n phần tử 0 k n; k, n , tính tổng sau:
n
S C0 2C1 3C 2 ... 2010C2009 2011C2010 .
2010 2010 2010 2010 2010
Câu 4:(5 điểm)
1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành,
AD 4a a 0 , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tìm cosin
của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp
S.ABCD là lớn nhất.
2/ Cho tứ diện ABCD có BAC 600 ,CAD 1200 . Gọi E là chân đường phân giác
trong góc A của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông.
Câu 5:(2 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x 2 y 2 . Chứng minh rằng:
cos x cos y 1 cos xy .
…………………… HẾT……………………
(Đề thi gồm có 01 trang)
- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
HÀ TĨNH NĂM HỌC 2010 2011
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút
3 2y
x y 1 x 1
2 2
Bài 1. a) Giải hệ phương trình:
x 2 y 2 2x 4
y
b) Trong mặt phẳng, với hệ toạ độ Oxy, chứng minh đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại ít
2 x x 1
nhất 1 điểm: y log 2 2x 1 2 log 2 2x 1 4
3 2
Bài 2. Tìm tham số m để hàm số y x 3mx 3 m 1 x 1 nghịch biến trên một đoạn có
độ dài lơn hơn 4.
Bài 3. Hai số thực x, y thoả mãn: x2 + 4y2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
3 3
thức: A = x 4y 3xy .
Bài 4. Hình chóp A.BCD có ACB ADB 900 . AB = 2a. Đáy BCD là tam giác cân tại B, có
CBD 2 và CD = a. Tính thể tích khối chóp A.BCD theo a và .
Bài 5. Tam giác ABC không nhọn có các góc thoả mãn đẳng thức:
sin B sin A sin C
1 1 1 43 2 .
sin A sin C sin B
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
_______________ Hết _______________
- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÀO CAI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 16/12/2010
Câu 1 (5,5 điểm)
2
1. Giải phương trình: 2010 2011 2 . 2010 2011 .
2 2
30
2. Giải hệ phương trình: 3 3
.
35
Câu 2 (3,0 điểm)
2
Tìm tất cả các hàm số : thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) 2010 , với
mọi số thực và mọi số hữu tỷ .
Câu 3 (6,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng , cho tam giác có đỉnh 5; 2 , đường trung trực cạnh ,
đường trung tuyến kẻ từ đỉnh của tam giác lần lượt có phương trình là d: 6 0 và
d' : 2 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác .
2. Cho hình chóp tam giác đều . , có cạnh đáy bằng a . Gọi là góc giữa mặt bên và
mặt đáy, là góc giữa hai mặt bên kề nhau. Tính thể tích của hình chóp . và chứng minh
4
rằng: tan 2 .
2
3 tan 1
2
Câu 4 (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng cho đường thẳng 3 trong đó không có hai đường thẳng nào
song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác
được tạo thành từ ba đường thẳng đã cho mà tam giác này không bị chia cắt bởi bất kỳ đường
thẳng nào trong các đường thẳng còn lại.
Câu 5 (3,0 điểm)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm bẩy chữ số khác nhau
sao cho ba chữ số lẻ không đứng cạnh nhau.
- - - - - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - - - - -
Ghi chú:
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
WWW.MATHVN.COM Trang /4
- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
THANH HOÁ Năm học 2010- 2011
Đề chính thức
Môn thi: Toán
Lớp: 12 THPT
Số báo danh
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).
Câu I. (4,0 điểm).
Cho hàm số y x3 (m 1) x2 (4 m2 ) x 1 2m ( m là tham số thực), có đồ thị là (Cm ).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m 1.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Câu II. (6,0 điểm).
1) Giải phương trình: cos 2 x cos3 x sin x cos 4 x sin 6 x.
2) Giải bất phương trình: 6( x 2 3x 1) x 4 x 2 1 0 ( x ).
x x
3) Tìm số thực a để phương trình: 9 9 a3 cos( x) , chỉ có duy nhất một nghiệm thực
2
sin x
.Câu III. (2,0 điểm). Tính tích phân: I 3
dx.
0
sin x 3 cos x
Câu IV. (6,0 điểm).
1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc
các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt
AM x, AN y . Tìm x , y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
2) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng : x y 5 0 và hai elíp
x2 y 2 x2 y 2
( E1 ) : 1 , ( E2 ) : 2 2 1 ( a b 0) có cùng tiêu điểm. Biết rằng ( E2 )
25 16 a b
đi qua điểm M thuộc đường thẳng . Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp ( E2 ) có độ dài
trục lớn nhỏ nhất.
3) Trong không gian Oxyz, cho điểm M (0;2;0) và hai đường thẳng
x 1 2t x 3 2s
1 : y 2 2t (t ); 2 : y 1 2 s ( s ) .
z 1 t , z s,
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục O x , sao cho (P) cắt hai
đường thẳng 1 , 2 lần lượt tại A, B thoả mãn AB 1 .
Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực a, b, c thoả mãn:
a 2 b 2 c 2 6
ab bc ca 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a6 b6 c 6 .
.............................................................. HẾT ........................................................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
- SỞ GD & ĐT THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
HƯỚNG DẪN CHẤM NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN
LỚP: 12 THPT
(Gồm có 4 trang) Ngày thi: 24 - 3 - 2011
Câu Ý Hướng dẫn chấm Điêm
Câu I 1) Với m 1, ta được hàm số y x 3 3 x 1.
4,0 đ 2,0đ Tập xác định: . 0,5
Giới hạn tại vô cực: lim y , lim y .
x x
2
Sự biến thiên: y ' 3 x 3 0 x 1.
y ' 0 x ( ; 1) (1; ). Hàm số đồng biến trên các khoảng
( 1) và (1; ) . 0,5
y ' 0 x (1;1). Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1).
Điểm cực đại của đồ thị ( 1;3), điểm cực tiểu của đồ thị (1; 1).
Bảng biến thiên: x
1 1
y' 0 0 0,5
3
y
1
Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3).
y
Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng 3
1 0,5
-2 -1 1 2
O x
-1
2) Ta có y ' 3x 2 2( m 1) x 4 m 2 , là tam thức bậc hai của x.
2,0đ y' có biệt số ' 2m 2 2m 13. 0,5
Nếu ' 0 thì y ' 0, x , suy ra yêu cầu bài toán không thoả mãn.
1 3 3 1 3 3 0,5
Nếu ' 0 m ; , thì y ' 0 có hai nghiện x1, x2 (x1 x2 ).
2 2
x - x1 x2 +
Dấu của y': y' 0 0
Chọn x0 ( x1; x2 ) y '( x0 ) 0. Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao
1
cho y '( x). y '( x0 ) 1 pt: 3x2 2(m 1) x 4 m2 0 (1) có 0,75
y '( x0 )
- 3 1 3 3 1 3 3
nghiệm . Pt (1) có: 1 ' 2m2 2m 13 0, m ; .
y '(x0 ) 2 2
1 3 3 1 3 3
Vậy giá trị cần tìm của m là m ; . 0,25
2 2
Câu II 1) PT (cos 2 x cos 4 x) sin x (cos 3x 2 sin 3x. cos 3x) 0 0,5
6,0 đ 2,0đ (2 sin x sin 3x sin x) (2 sin 3x cos 3x cos 3x) 0
(2 sin 3 x 1)(sin x cos 3 x) 0 0,5
2
x 18 k 3
0,5
1 x 5 k 2
sin 3 x 2 18 3
( k ).
cos 3 x cos x x k
2 8 2
0,5
x k
4
2) Tập xác định: .. 0,5
2,0đ BPT 6 2( x 2 x 1) ( x 2 x 1) 6( x 2 x 1)( x 2 x 1) 0
x2 x 1 6( x 2 x 1) 0,5
12. 2 2
6 0 (vì x 2 x 1 0, x )
x x 1 x x 1
6( x 2 x 1) 3
Đặt: t 2
(t > 0), ta được 2t 2 t 6 0 0 t . 0,5
x x 1 2
BPT đã cho tương đương với
6( x 2 x 1) 9 11 21 11 21
2
5 x 2 11x 5 0 x ; . 0,5
x x 1 4 10 10
3) 9 x 9 a3x cos( x) 3x 32 x a.cos( x) (2). 0,5
2,0đ Nhận xét: Nếu x là nghiệm của (2) thì 2 x cũng là nghiệm của (2),
0 0
suy ra điều kiện cần để (2) có nghiệm duy nhất là x0 2 x0 x0 1. 0,5
Với x0 1 , thì từ (2) suy ra a 6.
Với a 6, thì phương trình (2) trở thành 3x 32 x 6 cos( x) (3). 1,0
3 x 32 x 6
Ta có VT (3) 6, VP(3) 6. Vậy (3) x 1.
6cos( x) 6
Vậy a 6.
Câu 1 3
III Ta có: sin x (sin x 3 cos x) (cos x 3 sin x) 0,5
4 4
2,0đ
1 3
(sin x 3 cos x) (sin x 3 cos x)'.
4 4
2 2
1 1 3 (sin x 3 cos x) '
Suy ra I (sin x 3 cos x)2 dx 4 (sin x 3 cos x)3 dx
40 0
0,25
-
2 2
1 1 3
2
dx
16 0 8(sin x 3 cos x) 2 0,75
cos x 0
6
0,5
1 2 3 3 3 3
tan x .
16 6 0 12 12 12 6
Câu 1) Kẻ DH MN , do (DMN) (ABC) suy ra DH (ABC).
IV 2,0đ Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. 0,5
6,0đ
1 3
Ta có: SAMN = .AM.AN.sin600 = xy ; SAMN = SAMH + SANH
2 4
0,5
1 1 1 3
= .AM.AH.sin300+ .AN.AH.sin300 = . (x+y).
2 2 4 3
3 1 3
Suy ra xy = . (x+y) x+y= 3xy (0 x,y 1 ).
4 4 3
Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN: D
S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN
1 1
= AD.AM.sin600+ AD.AN.sin600
2 2
1 1
+ DH.MN + AM.AN.sin600.
2 2
6
= 3 xy + 3xy (3xy 1) . 0,5
6
2 C4 B
Từ 3 xy x y 2 xy xy xy .
3 9 H
N M
3(4 2) 2
Suy ra min S , khi x y . 0,5
9 3
A
2) Hai elíp có các tiêu điểm F1 (3;0), F2 (3;0). 0,5
2,0đ Điểm M ( E ) MF MF 2a . Vậy ( E ) có độ dài trục lớn nhỏ 0,5
2 1 2 2
nhất khi và chỉ khi MF1 MF2 nhỏ nhất.
Gọi N ( x; y ) là điểm đối xứng với F1 qua , suy ra N ( 5;2). 0,5
Ta có: MF1 MF2 NM MF2 NF2 (không đổi).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M NF2
17 0,5
x 4 y 3 0 x 5
17 8
Toạ độ điểm M : M ; .
x y 5 0 y 8 5 5
5
3) Giả sử đã xác định được (P) thỏa mãn ycbt.
2,0đ A 1 A(1 2t ; 2 2t ; 1 t ); B 2 B (3 2s; 1 2s; s ). 0,5
Suy ra AB 2 2( s t ); 3 2( s t ); 1 ( s t )
- s t 1
0,5
AB 9( s t ) 22( s t ) 14 1
2 2
s t 13 .
9
Với s t 1 AB (0; 1;0) (P) có một vtpt n1 AB; i (0;0;1) , 0,5
suy ra ( P ) : z 0 (loại do (P) chứa trục O x ).
13 8 1 4
Với s t AB ; ; ,
9 9 9 9 0,5
4 1
suy ra ( P ) có một vtpt n2 AB; i (0; ; ) ,
9 9
suy ra ( P ) : 4 y z 8 0 (thỏa mãn bài toán).
Câu V Từ giả thiết suy ra : a b c 0 0,25
2,0đ
Ta có: a, b, c là ba nghiệm thực của phương trình ( x a)( x b)( x c) 0
x3 3x abc 0 x3 3x 1 abc 1 (3) 0,5
Từ đồ thị hàm số y x 3 3x 1, suy ra pt (3) có ba nghiệm thực a, b, c
khi và chỉ khi 1 abc 1 3 2 abc 2.
abc 2 , khi trong ba số a, b, c có hai số bằng 1 và một số bằng -2. 0,5
abc 2 , khi trong ba số a, b, c có hai số bằng -1 và một số bằng 2.
P a 6 b 6 c 6 P 3(abc ) 2
( a 2 b 2 c 2 )(a 4 b4 c 4 a 2b2 b2 c 2 c 2 a 2 ) 0,5
. ( a 2 b 2 c 2 )3 3( a 2 b 2 c 2 )(a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 ) 216 18.9 54 .
P 3( abc) 2 54 max P 66, khi có hai số bằng -1 và một số bằng 2, 0,25
hoặc hai số bằng 1 và một số bằng -2.
GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
nguon tai.lieu . vn
