Xem mẫu
- SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011
Môn : TOÁN – THCS
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 1 trang) Ngày thi : 18/02/2011
Câu 1: (2,0 điểm ) Rút gọn A = 127 − 48 7 − 127 + 48 7 .
Câu 2:(2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (3m2 – 7m +5) x – 2011 (*) . Chứng minh hàm số (*)
luôn đồng biến trên R với mọi m.
Câu 3:( 2,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Trên đường
thẳng AB lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B . Từ M kẻ cát tuyến
MCD
với đường tròn (O) và tiếp tuyến MT với đường tròn (O’) (T là tiếp điểm)
Chứng minh MC.MD = MT2 .
Câu 4: (2,0 điểm ) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y – 1 = 0 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3x2 + y2 .
Câu 5: (1,5 điểm) Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 22 + … + 22011 chia hết cho 15 .
Câu 6: (1,5 điểm ) Phân tích đa thức x3 – x2 – 14x + 24 thành nhân tử .
x+y+z = 2
Câu 7: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình
2xy − z 2 = 4
Câu 8: (1,5 điểm ) Chứng minh D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không phải là số chính phương
với moi n
̣ N *.
1 1 4
Câu 9: (1,5 điểm ) Cho hai số dương a và b . Chứng minh + .
a b a+b
Câu 10:(1,5 điểm ) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : 2x2 – xy – y2 – 8 = 0
ﾵ ﾵ
Câu 11: (1,5 điểm ) Cho hình thang vuông ABCD ( A = D = 900 ) , có DC = 2AB . Kẻ DH vuông
góc với AC (H AC) , gọi N là trung điểm của CH .
Chứng minh BN vuông góc với DN .
ﾵ
Câu 12: (1,5 điểm). Cho tam giác MNP cân tại M ( M < 900 ) . Gọi D là giao điểm các đường
phân giác trong của tam giác MNP . Biết DM = 2 5 cm , DN = 3 cm .
Tính độ dài đoạn MN .
---------- HẾT---------
Họ và tên thí sinh :……………………………………………...Số báo danh :
- ………………………
Giám thị 1 :……………………………………………………..Ký tên : …………………………….
Giám thị 2 :……………………………………………………..Ký tên : …………………………….
(Thí sinh không được sử dụng máy tính )
SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN – THCS
Ngày thi 18/02/2011
Câu Hướng dẫn chấm Điểm
Câu 1 A = 127 − 48 7 − 127 + 48 7
(2 điểm ) 0,5 điểm
= (8 − 3 7) − (8 + 3 7)
2 2
0,5 điểm
= |8−3 7 | − |8+3 7 |
= 8−3 7 −8−3 7 (8>3 7) 0,5 điểm
= −6 7 0,5 điểm
Câu 2 �2 7 5�
(2 điểm ) 3m2 – 7m + 5 = 3 � − m + �
m 0,5 điểm
� 3 3�
�
� 7 � 49 60 �
2
0,5 điểm
= 3 �m − �− + �
�
� 6 � 36 36 �
�
�
� 7 � 11 �
2
0,5 điểm
= 3 �m − �+ � 0 ∀m
� >
� 6 � 36 �
�
0,5 điểm
Vây f(x) đồng biến trên R với mọi m
Câu 3
(2 điểm)
Chứng minh MC. MD = MA. MB 0,75 điểm
Chứng minh MT2 = MA. MB 0,75 điểm
Suy ra MC.MD = MT2 0,5 điểm
Câu 4 3x + y – 1 = 0 y = 1 – 3x
(2 điểm )
0,5 điểm
- B = 3x 2 + (1 − 3x) 2
0,5 điểm
= 12x 2 − 6x + 1
� 1� 1 �
�
2
= 12 �x − �+ �
� 0,5 điểm
� 4 � 48 �
�
2
� 1� 1 1 0,5 điểm
= 12 � − �+
x
� 4� 4 4
1 1 1
Vây GTNN của B là khi x = và y =
4 4 4
Câu 5 C = 1 + 2 + 22 + … + 22011
(1,5 điểm ) = (1 + 2 + 22 + 23 ) + (24 + 25 + 26 + 27 ) + …+ ( 22008 + 22009 +22010 + 22011) 0,5 điểm
= (1 + 2 + 22 + 23 )+ 24 (1 + 2 + 22 + 23 )+ …+22008(1 + 2 + 22 + 23 ) 0,5 điểm
= 15 ( 1 + 24 + …+ 22008 ) chia hết cho 15 0,5 điểm
Câu 6 x3 – x2 – 14x +24
(1,5 điểm ) = x3 + 4x2 – 5x2 – 20x + 6x + 24 0,5 điểm
= (x + 4) (x2 – 5x + 6 ) 0,5 điểm
= (x + 4) (x – 2) (x – 3) 0,5 điểm
Câu 7 � + y+z = 2
x �= 2−x −y
z � − x − y) 2 = 2xy − 4
(2
(1,5 điểm ) � � �2 �� 0,5 điểm
� −z = 4 � = 2xy − 4 �= 2−x−y
2
2xy z z
(x − 2) 2 + (y − 2) 2 = 0
z = 2−x −y 0,5 điểm
x=y=2 0,5 điểm
z = −2
Câu 8 D = n(n + 1) (n + 2) (n + 3)
(1,5 điểm ) = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2 ) 0,5 điểm
= (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n)
(n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n) +1
(n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n +1)2 0,5 điểm
Nên D không phải là số chính phương vì (n2 + 3n)2 và (n2 + 3n +1)2 là 2 số
chinh phương liên tiếp
́ 0,5 điểm
Câu 9 Ta có (a – b)2 0
(1,5 điểm ) � a 2 + b2 � 2ab 0,5 điểm
� (a + b) 2 � 4ab
0,5 điểm
a+b 4
۳ ( vì (a+b)ab >0 )
ab a+b
1 1 4
� + � 0,5 điểm
a b a+b
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b ( thiêu câu nay không trừ điêm)
́ ̀ ̉
2 2
Câu 10 2x – xy – y – 8 = 0
(1,5 điểm) (2x + y) (x – y) = 8 0,5 điểm
2x + y = 8 2x + y = 4
hoặc
x − y =1 x−y=2
0,5 điểm
- x=3 x=2 0,5 điểm
hoặc
y=2 y=0
Câu 11
(1,5 điểm )
Gọi M là trung điểm của DH 0,25 điểm
Chứng minh tứ giác ABNM là hình bình hành AM // BN (1) 0,5 điểm
Chứng minh MN ⊥ AD ̉
0,25 điêm
Suy ra M là trực tâm của ∆ADN � AM ⊥ DN (2) 0,25 điểm
Từ (1) và (2) � BN ⊥ DN 0,25 điểm
Câu 12
(1,5 điểm )
Qua M kẻ tia Mx vuông góc với MN cắt ND tại E , kẻ MF ⊥ ND
ﾵ ﾵ
Chứng minh D1 = E � MD = ME = 2 5 cm và EF =DF 0,5 điểm
ME2 = EF .EN = EF .(2EF + DN )
(2 5) 2 = EF(2EF + 3)
2EF2 + 3EF − 20 = 0
(EF + 4)(2EF − 5) = 0
� EF = 2,5 (vì EF >0) 0,5 điểm
� MN = 2 11 cm 0,5 điểm
(Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng , giám khảo dựa theo biểu điểm để cho điểm tương
ứng )
nguon tai.lieu . vn
