Xem mẫu
- ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2009 - 2010
HUYỆN TRỰC NINH
MÔN: TOÁN - LỚP 9
ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
1 1 2x + x − 1 2x x + x − x
Cho biểu thức A = − ÷: + ÷
1− x x 1− x 1+ x x
1
Với x > 0; x ≠ ; x ≠ 1
4
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = 17 − 12 2
c) So sánh A với A .
Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng:
(
a) 2 a − b < ) 1
b
( )
< 2 b − c Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện:
a = b + 1 = c + 2 ; c >0.
20082 2008
b) Biểu thức B = 1 + 20082 + + có giá trị là một số tự nhiên.
20092 2009
Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình
a) x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2x − 3
x+3
b) 4x + 1 − 3x − 2 = .
5
Bài 4.(8,0 điểm)
Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đ ường
tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt
tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R).
c) Chứng minh K là trung điểm của CH.
d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị
lớn nhất đó theo R.
( ) ( )
2008 2008
Bài 5: (1,5 điểm) Cho M = 3+ 2 + 3− 2
a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên.
b) Tìm chữ số tận cùng của M.
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính.
----- Hết -----
Họ tên thí sinh:…………………………. Chữ ký giám thị 1:……………………….
Số báo danh : ………………………… Chữ ký giám thị 2:……………………….
- HƯỚNG DẪN CHẤM THI
HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN LỚP 9
Bài 1 (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)
1 1 2x + x − 1 2x x + x − x 1
A = − ÷: 1 − x + ÷ x > 0;x ≠ ;x ≠ 1÷
1− x x 1+ x x ÷
4
= :
x − 1 + x 2x + 2 x − x − 1
+
x 2x + x − 1
( ) 0.5
x 1− x ( 1− x 1+ x
) ( 1+ x 1− x + x )(
) ( )( )
=
2 x −1 x + 1 2 x −1
:
( +
x x + 1 2 x −1 )(
) ( )( ) 0.5
(
x x − 1 1− x 1+ x
) ( 1+ x 1− x + x )( ) ( )( )
0.25
2 x −1 1
= : 2 x −1 + (
x
1 − x 1 − x + x ÷ )
x x −1 ( ) ÷
0.25
1− x + x + x 1− x ( )
=
2 x −1
(
: 2 x −1 : )
x ( x −1 ) ( 1− x ) ( 1− x +x ) 0.5
1 1 1− x + x
= : =
x ( ) ( 1− x ) ( 1−
x −1 x +x ) x
b) Tính giá trị của A khi x = 17 − 12 2 (1 điểm).
( ) ( 3− 2 2 ) = 3− 2
2 2
Tính x = 17 − 12 2 = 3 − 2 2 ⇒ x= 2 = 3− 2 2 0.5
A=
(
1 − 3 − 2 2 + 17 − 12 2 ) =
15 − 10 2 5( 3 − 2 2 )
= =5
0.5
3− 2 2 3− 2 2 3− 2 2
c) So sánh A với A (1 điểm).
1− x + x 1 0.25
Biến đổi A = = x+ −1
x x
1 1 0.25
Chứng minh được x + > 2 với mọi x > 0;x ≠ ;x ≠ 1
x 4
⇒A = x+
1
x
−1 > 1⇒ A > 1⇒ A −1 > 0 ⇒ A A −1 > 0 ( ) 0.5
⇒ A − A > 0⇒ A > A
Bài 2 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng 2 ( a− b < ) 1
b
- kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (2 điểm).
Ta có: a = b + 1 ⇒ a − b = 1 ⇒ a > b ( 1) . 0.5
b + 1 = c + 2 ⇒ b − c = 1 ⇒ b > c > 0 ( 2 ) . (c > 0 theo (gt)) 0.25
Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0. 0.25
Mặt khác a − b = 1 ⇒ ( a− b )( )
a + b = 1⇒ a − b =
1
<
1
a+ b 2 b
(Vì a >b>0)
0.5
⇒2 ( a− b < ) 1
b
.
Chứng minh tương tự cho trường hợp:
1
b
- ( 1) ⇔
( 4x + 1 − 3x − 2 . )( 4x + 1 + 3x − 2 ) = x+3 ⇔ 4x + 1 − 3x + 2
=
x+3
0.25
4x + 1 + 3x − 2 5 4x + 1 + 3x − 2 5
0.25
4x + 1 − 3x + 2 x+3 x+3 x+3
⇔ = ⇔ = ⇔ 4x + 1 + 3x − 2 = 5 (2)
4x + 1 + 3x − 2 5 4x + 1 + 3x − 2 5
2 0.5
(Vì x ≥ nên x + 3 > 0).
3
Giải tiếp phương trình (2) ta được nghiệm của phương trình là x = 2.
Bài 4 (8 điểm)
M
C
I
K
A B
O H
1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. (2 điểm)
Chứng minh OI ⊥ AC. 0.75
Suy ra ∆ OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính OC. 0.25
CH ⊥ AB (gt) ∆ CHO vuông tại H ⇒ H thuộc đường tròn đường kính OC. 0.75
Suy ra I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC. hay C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn. 0.25
2) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). (2 điểm)
· ·
- Chứng minh AOM = COM . 0.75
- Chứng minh ∆ AOM = ∆ COM 0.75
- Chứng minh MC ⊥ CO 0.25
⇒ MC là tiếp tuyến của (O; R). 0.25
3) Chứng minh K là trung điểm của CH. ( 2 điểm)
KH HB AM.HB AM.HB 1
∆ MAB có KH//MA (cùng ⊥ AB) ⇒ = ⇒ KH = = (1)
AM AB AB 2R
Chứng minh cho CB // MO ⇒ AOM = CBH (đồng vị).
· ·
MA AO AM.HB AM.HB 0.75
C/m ∆ MAO đồng dạng với ∆ CHB ⇒ = ⇒ CH = = (2)
CH HB AO R
Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH ⇒ CK = KH ⇒ K là trung điểm của CH. 0.25
4) Xác định vị trí của C để chu vi ∆ ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó.
Chu vi tam giác ACB là P = AB + AC + CB = 2R + AC + CB
ACB
0.5
Ta lại có
- ( AC − CB)
2
≥ 0 ⇒ AC2 + CB2 ≥ 2AC.CB ⇒ 2AC2 + 2CB2 ≥ AC2 + CB2 + 2AC.CB
( ) (
2 AC2 + CB2 ≥ ( AC + CB) ⇒ AC + CB ≤ 2 AC2 + CB2 ⇒ AC + CB ≤ 2AB2 (Pitago)
2
) 0.75
AC + CB ≤ 2.4R2 ⇒ AC + CB ≤ 2R 2 .
Đẳng thức xảy ra khi AC = CB ⇔ M là điểm chính giữa cung AB. 0.25
( )
Suy ra P ≤ 2R + 2R 2 = 2R 1 + 2 , dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB
ACB
0.25
( )
Vậy max P = 2R 1 + 2 đạt được khi M là điểm chính giữa cung AB.
ACB
0.25
Bài 5 (1,5 điểm)
a) Chứng minh giá trị của M là một số nguyên. (1 điểm)
( ) ( )
1004 1004
Biến đổi M = 5 + 2 6 + 5−2 6 . 0.25
Đặt a = 5 + 2 6 ; b = 5 − 2 6 ⇒ a + b = 10 và a.b = 1 .
Đặt U n = a + b với n ∈ N . Khi đó M = U1004
n n
Ta có U n + 2 = a + b = a.a + b.b = ( 10 − b ) a + ( 10 − a ) b
n+2 n+2 n +1 n +1 n +1 n +1
= 10 ( a n +1 + b n +1 ) − ab ( a n + b n ) = 10U n +1 − U n (vì ab = 1). 0.25
⇒ U n + 2 = 10U n +1 − U n (*).
Ta thấy U0 = 2 ∈ Z ; U1 = a + b = 10 ∈ Z.
U 2 = a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab = 102 − 2.1 = 98 ∈ Z .
2
Theo công thức (*) thì U 3 = 10U 2 − U1 mà U1, U2 ∈ Z suy ra U 3 ∈ Z . 0.25
Lại theo (*) U 4 = 10U 3 − U 2 cũng có giá trị nguyên.
Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n ∈ N* . 0.25
Suy ra M = U1004 có giá trị là một số nguyên.
a)Tìm chữ số tận cùng của M. (0.5 điểm)
Từ (*) suy ra U n + 2 + U n = 10U n +1 M
10
⇒ U n + 4 − U n = ( U n + 4 + U n + 2 ) − ( U n + 2 + U n ) M ⇒ ( U n + 4 − U n ) M ⇒ U 4k + r và Ur
10 10 0.25
có chữ số tận cùng giống nhau.
1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống nhau.
0.25
Mà U0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2.
Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương.
2. Điểm toàn bài không được làm tròn.
nguon tai.lieu . vn
