Xem mẫu
- SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011
————————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc )
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (4,0 điểm)
xy 2 + y 3 + 3 x − 6 y = 0
1. Giải hệ phương trình 2
x + xy − 3 = 0
2. Giải phương trình 18 x + 16 + 4 2 x 2 + 5 x − 3 = 7 4 x 2 + 2 x − 2 + 7 2 x 2 + 8 x + 6
Câu II (1,0 điểm)
Tìm tất cả các bộ ba số hữu tỷ dương ( m; n; p ) sao cho mỗi một trong các số
1 1 1
m+ ; n+ ; p+
np pm mn
là một số nguyên.
Câu III (2,0 điểm)
a 2012 b 2012 c 2012
1. Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2010 + 2010 + 2010 < 2011 . Chứng minh rằng
b c a
n+3 n+3 n +3 n+2
bn+ 2 c n+2
a b c 2011 a
luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho n +1 + n +1 + n +1 ≤ + n+ n+ n
b c a 2010 b c a
2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m ta có bất
a m+3 bm+ 3 c m +3 a m+ 2 bm+ 2 c m + 2
+ + ≥ m+ m+ m
đẳng thức
b m +1 c m+1 a m+1 b c a
Câu IV (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Tiếp tuyến tại B,
C của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và
EF cắt nhau tại điểm S. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường
thẳng TB, TC; M là trung điểm của cạnh BC.
1. Chứng minh rằng H, M lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác DEF và XTY.
2. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC.
Câu V (1,0 điểm)
Kí hiệu ¥ chỉ tập hợp các số tự nhiên. Giả sử f : ¥ → ¥ là hàm số thỏa mãn các điều kiện
( )
f ( 1) > 0 và f m 2 + 2n 2 = ( f ( m ) ) + 2 ( f ( n ) ) với mọi m, n ∈ ¥ . Tính các giá trị của f ( 2 ) và
2 2
f ( 2011) .
-------------Hết-------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………
Tham khảo đáp án: http://www.violet.vn/haimathlx
nguon tai.lieu . vn
